热点专题2-5对数与对数函数12类题型（解析版）--2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

热点专题 2-5 对数与对数函数 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年II卷第8题，5分 从近四年的高考情况来看， 2024年北京卷第7题，4分 对数运算与对数函数是高考 的一个重点也是一个难点， 2024年天津卷第5题，5分 常与二次函数、幂函数、指 （1）对数的概念及运算性 2023年北京卷第11题，5分 质 数函数、三角函数综合，考 （2）对数函数的图象 2023年I卷第10题，5分 查数值大小的比较和函数方 （3）对数函数的性质 程问题.在利用对数函数的图 2022年I卷I卷第7题，5分 像与性质应用上，体现了逻 2022年浙江卷第7题，5分 辑推理与数学运算素养. 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】指数对数混合运算 【题型2】换底公式的应用 【题型3】 对数函数的图象及应用 【题型4】对数函数过定点问题 【题型5】指对幂比较大小 【题型6】解对数方程或不等式 【题型7】对数函数模型的实际应用 【题型8】对数型复合函数的单调问题 【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题 【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题 【题型11】反函数问题 【题型12】对数函数的综合问题 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】指数对数混合运算1、对数计算公式 （1）同底对数加减运算： ； （2）底数和真数是乘方数时： （3）对数恒等式： 1 log b= （4）倒数式： a log a b 2、对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最 简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真 数的积、商、幂再运算. (3)指对互化： (a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算 中应注意互化. 1．化简下列各式： (1) ； (2) . 【解析】（1）原式 . （2）原式 . 【巩固练习1】化简 的值为（ ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【解析】 【巩固练习2】求值（1） （2） （3） （4） 【答案】（1） ；；（2）0；；（3）3；；（4）13 【解析】（1）原式= ; （2）原式= = ; （3）原式= ; （4）原式 . 【题型2】换底公式的应用 log b 换底公式： log b= c (a＞0，且a 1；c＞0，且c 1；b＞0)． a log a c ¿ ¿ 2．已知 ， ，则 （用 ， 表示） 【答案】 【解答】解：因为 ， ， 所以 ， ， ， 所以 ． 故答案为： ． 3．已知 ， ，则 .（用 表示） 【答案】【解析】因为 ，所以 ， 又 ，所以 . 4．已知 ，则 ． 【答案】3 【解析】依题意， ， 则 ． 【巩固练习1】设 ， ， （1）用含 ， 的式子表示 ，形式为___________. （2）用含 ， 的式子表示 ，形式为___________. 【答案】（1） ，（2） 【解析】（1） ； （2） 【巩固练习2】设 ，求 的值． 【解答】依题意有 ， ， ，【题型3】 对数函数的图象及应用 对数函数的图象（底大图低） a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 性质 当0＜x＜1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0； 函数值的变化 当x＞1时，y＞0 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、 平移、对称等变换得到，当 时，对数函数的图像呈上升趋势；当 时，对数函数的图 像呈下降趋势. 5．已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列 不等关系正确的是（ ） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 【答案】A 【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又 a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A. 6．函数 的图象是（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定. 【详解】解： ， 因为 ， 所以 是偶函数，故排除AD， 当 时，令 ，得 或 ， 当 或 时， ，当 时， 7．已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 【答案】D 【解析】 的图象是由 的图象向左平移 个单位所得． 的图象过 点，函数为增函数，因此 ．故选：D． 【巩固练习1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数 的大致图象 不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】函数 的定义域为 ， 因为 ，所以函数 为偶函数， 当 时， 为减函数，且过定点 ，故函数 的大致图象不可能为BCD选项. 【巩固练习2】已知函数 （ 且 ， ， 为常数）的图象如图，则下列结 论正确的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【解析】因为函数 为减函数，所以 又因为函数图象与 轴的交点在正半轴，所以 ，即 又因为函数图象与 轴有交点，所以 ，所以 ，故选：D 【巩固练习3】已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围为 . 【答案】 【解析】画出 的图象如图： ∵ ，且 ， ∴ 且 ， ， ∴ ，即 ，∴ ， ， 由图象得 在 上为减函数， ∴ ， ∴ 的取值范围是 . 故答案为： .【题型4】对数函数过定点问题 对数函数过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0； 函数 过定点 8．函数 ( 且 )的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对数函数 ( 且 )恒过定点 ， 所以函数 ( 且 )的图象必过定点 . 9．（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数 恒过定点 ，则 的最小值为（ ）． A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由题意可知 ， 则 ， 当且仅当 ， 时， 的最小值为 【巩固练习1】已知函数f(x)=1+log (2x−3)(a>0,a≠1)恒过定点(m,n)，则m+n=（ ） a A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】令2x−3=1，即可求解f(x)恒过定点(2,1)，进而求解. 【解答过程】令2x−3=1，解得x=2，此时f(2)=1+log 1=1， a所以f(x)恒过定点(2,1)，则m=2,n=1， 所以m+n=3. 【巩固练习2】已知直线 经过函数 图象过的定点（其中 均大于 0），则 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为 ，所以函数 图象过的 定点为 ， 将其代入直线方程 得 ，即 ， 又 ， 所以 ， 当且仅当 即 时，等号成立，故 有最小值4. 【巩固练习3】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若 且 ， ，则 的最小值为（ ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】当 时， ， 所以，函数 过定点 ，得 ， 所以， ， 因为 ， ， 所以， ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以， 的最小值为8.【题型5】指对幂比较大小 1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法． 2、当底数和真数的差或倍数一样时， 可以考虑拆出一个1 例1： 和 （倍数一致） 简析： ； ，由图像可知 例2： 和 （差一致） 简析： ； ，由图像可知 10．设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ， ， 则 11．设 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， ， ， 又由对数函数的性质:当 时，底数越大，图像越低，可得 ， 所以 ，故选: D. 【巩固练习1】（2024·天津·二模）设 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ，， ， . 【巩固练习2】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， 则 ， ， 的大小关系为 【巩固练习3】已知 ， ， ，则 A． B． C． D． 【 解 答 】 解 ： 由 对 数 运 算 公 式 得 ， ， ， ，易知 ， ． 故选： ． 【巩固练习4】设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到 ， ，对 利用换底公式变形后作差，结合基本不 等式，得到 ，从而得到答案. 【详解】因为 单调递减，所以 ， 又 与 均单调递增，故 ， ， 其中 ， ， ，其中 ，故 ， 其中 ，故 ， 所以 ，即 ，故 . 【题型6】解对数方程或不等式 【方法技巧】 （ 1 ） 对 于 形 如 的 形 式 ， 利 用 转 化 ； 对 于 形 如 的形式，可借助换元法转化为二次方程求解. （2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这 个不等式即可． 12．方程 的解为________ 【答案】 【解析】方程 ，化为：x 13．设 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． ， 【答案】C 【解析】由 ，得： ，因为 ，所以 ，取交集得： ． 所以 的取值范围是 ，故选：C. 14．不等式 的解集为 ． 【答案】 【解析】设函数 ， 则应有 ，解得 ，所以， 定义域为 .又 ， 所以，由 ，可得 . 因为 以及 均在 上单调递增， 所以， 在 上单调递增，所以， . 综上所述， .所以，不等式的解集为 . 【巩固练习1】方程 的解是（ ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【解析】∵ ，∴ ，∴ . 【巩固练习2】已知 ，则 的值为____． 【答案】 【解析】由 ，得 ，所以 ， 即 ，所以 ， ，所以 ． 【巩固练习3】若实数x满足不等式 ，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 ， ，解得 或 . 【巩固练习4】已知实数 ，且满足不等式 ，则不等式 的解 集为________． 【答案】 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 ， 而 ， 则 ， 于 是. 【题型7】对数函数模型的实际应用 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析 式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代 入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 15．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠 起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据： ．） 【答案】 【分析】构造不等式 ，利用对数运算法则解不等式可求得结果. 【详解】假设需要 块这样的玻璃，则 ， ， ， 至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的 . 16．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超 过 ．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 ，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少 ．那么此 人在开车前至少要休息 （参考数据： ， A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时 【解答】解：设经过 小时，血液中的酒精含量为 ， 则 ， 由 ，得 ，则 ， 因为 ，所以 ， 所以开车前至少要休息4.2小时 【巩固练习1】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，经过 分钟后物体的温度 可由公式： 求得．其中 是一个随着物体与空气的接触 状况而定的大于0的常数．现有 的物体，放在 的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是 ，则 约等于 （参考数据： A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55 【解答】解：由题意可得， ， ， ，即 ， ． 【巩固练习2】2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（ ， ， ） 【答案】2037 【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可. 【详解】 由题意，列方程得： .∴ ， ∴ 【巩固练习3】我们可以把 看作每天的"进步”率都是1%，一年后是 ；而把 看作每天的“落后”率都是1%，一年后是 .利用计算工具计算并回答下列问题： （1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？ （2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？【解析】（1） . ∴一年后“进步”的大约是“落后”的 倍 （2）由 得 ∴大约经过 天“进步”的是“落后”的 倍. 由 得 . ∴大约经过 天“进步”的是“落后”的 倍. 由 得 解得 ∴大约经过 天“进步”的是“落后”的 倍. 【题型8】对数型复合函数的单调问题 对数型复合函数的单调问题 1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”. 2、模板解决步骤 第一步：求函数的定义域． 第二步：将函数分解成内层函数和外层函数． 第三步：判断内层函数和外层函数的单调性． 第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性． 17．函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知 的定义域为 ， 令 ，则 ，函数单调递增， 当 时， 关于 单调递减， 关于 单调递减， 当 时， 关于 单调递增， 关于 单调递增，故 的递增区间为 ．故选：D． 18．若函数 在区间 上是单调增函数，则实数a的取值范围是___． 【答案】 【解析】由函数 在区间 上是单调增函数， 只需函数 在 上是单调增函数，且当 时 恒成立， 所以满足 解得 ． 【巩固练习1】函数 的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ， 二次函数 的对称轴为： ， 所以二次函数的单调递增区间为 ，递减区间为 ， 而函数 是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知： 函数 的单调增区间为 ，故选：C 【巩固练习2】已知函数 在定义域上是增函数，则 k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 在定义域上是增函数， 当 时 单调递增且 ， 当 时 也单调递增，所以 ，即 ， 所以 ，即 ；故选：B 【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实 数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 在 上单调递增， 所以 ，解得 . 【巩固练习4】若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解. 【详解】 ， 令 ，为增函数， 所以 ，所以 在 单调递减， 所以 ，即 ，解得 【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题 对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的 问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的 构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与 化归思想的应用. 19．函数 的最小值是（ ）．A．10 B．1 C．11 D． 【答案】B 【解析】设 ，则 ， 因为 ， 所以 ，所以 的最小值为1，故选：B 20．已知函数 的最大值为2，则 ． 【答案】6 【解析】因为函数 由 与 复合而成， 而 在定义域上单调递增，所以当 取最大值时，函数 取得最大值， 由二次函数的性质易知当 时， ，此时 ，所以 ， 解得 ． 【巩固练习1】已知函数 f xlg  x21  ,x1,3 ，则 f x 的值域为（ ） A． 0, B． 0,1 C． lg2,1 D． 0,1 【答案】D 【解析】因为x1,3 ，所以x211,10 ， 所以 f xlg  x21  0,1 ，故选：D 【巩固练习2】若函数 的最大值为0，则实数a的值为___________. 【答案】 【解析】因为 的最大值为0，所以 应有最小值1， 因此应有 解得 . 【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上有最大值 或最小值，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数 在区间 上有最大值或最小值， 由于 开口向上， 故需函数 在区间 上有最小值，且 ． 该函数图像的对称轴为直线 ，所以 ，解得 ， 所以 ，且 ，即实数 的取值范围为 ． 【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题 常见指对型函数奇偶模型 （1） （2） （3） （4） （ 5 ） 是 偶 函 数 ， 如 ， 21．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围为（ ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】方法一 : 由 得 ， 则 ，解得 或 . 方法二 :根据题意，函数 ，其定义域为 ， 有 ，即函数 为偶函数， 设 ，则 ， 在区间 上， 为增函数且 ， 在区间 上为增函数， 则 在 上为增函数， ， 解得 或 ，故选：D． 22．函数 的部分图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数 的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的 ， ，则函数 的定义域为 ， 因为 ， ，则函数 为偶函数，排除CD选项， 又因为 ，当且仅当 时，等号成立，排除B选项. 【巩固练习1】已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．(1)求 ； (2)解不等式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性和部分解析式即可求出 ， ，则得到最后答案； （2）根据复合函数单调性函数奇偶性即可得到 在 上的单调性，则得到不等式，解出 即可. 【详解】（1）因为 是定义在 上的奇函数， 则 ， ， 则 . （2）当 时， ，因为 为单调增函数， 根据复合函数单调性知 为单调减函数，又因为 为单调减函数， 所以函数 为单调减函数， 又因为 是定义在 上的奇函数， 所以 是在 为单调减函数， 因为 ， 所以 ，解得 ， 所以不等式的解集为 . f(x)log (4x1)kx,xR 【巩固练习2】设函数 2 为偶函数． (1)求k的值； y f(x) f(2x1) f(x1) (2)写出函数 的单调性（不需证明），并解不等式 ． 【答案】(1)1 (2)单调性见解析，不等式解集为 ,0  2, 【分析】（1）根据 f xf x 得到方程，求出k 1； （2）根据定义法得到函数的单调性，并根据单调性解不等式. 【详解】（1）∵ f x 为定义在R上的偶函数，∴ f xf x ，即log (4x 1)kxlog (4x1)kx， 2 2 4x 1 故2kxlog log 4x 2x，即 ， 2 4x1 2 2k 2 解得k 1； （2） f x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增， 理由如下： f(x)log  4x 1  xlog  4x 1  log 2x log  2x 2x ， 2 2 2 2 设gx2x2x 任取x,x 0, ，且x x ， 1 2 1 2 则gx gx 2x1 2x1   2x2 2x2  2x1 2x2    1  1   1 2 2x1 2x2  2x 1 2x 2  2x 2 2x 1   2x 1 2x 2    2x 1 x 2 1 ， 2x 1 x 2  2x 1 x 2  因为x,x 0, ，且x x ， 1 2 1 2 所以 ，gx gx   2x 1 2x 2    2x 1 x 2 1 0， 2x 1 2x 2 0,2x 1 x 2 10 1 2  2x 1 x 2  故gx gx  ， 1 2 所以gx2x2x 在 0, 单调递增， 由复合函数同增异减可得， f(x)在 0, 单调递增， 又 f(x)在R上为偶函数，故 f(x)在 ,0 上单调递减， f 2x1 f x1 f 2x1 f  x1 ， ∴ 2x1  x1， 解得x0或x2， ∴不等式解集为 ,0  2, . 【题型11】反函数问题 指数函数 （a>0且a≠1）与对数函数 （a>0且a≠1）互为反函数 23．（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程 和方程 的根分别为 ，设函 数 ，则（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【解析】由 得 ，由 得 ， 所以令 ，这3个函数图象情况如下图所示： 设 交于点 ， 交于点 ， 由于 的图象关于直线 对称， 而 的交点为 ，所以 ， 注意到函数 的对称轴为直线 ，即 ， 且二次函数 的图象是开口向上的抛物线方程， 从而 . 【巩固练习1】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数 和 的图象与直线 交 点的横坐标分别为 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数 和 的图象以及直线 的图象，如图， 由函数 和 的图象与直线 交点的横坐标分别为 ， ， 结合图象可知 ，A错误； 由题意知 ，也即 ， 由于函数 和 互为反函数，二者图象关于直线 对称，而 为 和 的图象与直线 的交点， 故 关于 对称，故 ，B错误； 由 ，故 ，C错误； 因为 ，故 ， 结合 ，即得 ，D正确 【巩固练习2】（2024·广东佛山·模拟预测）已知 ， 分别是关于 的方程 ， 的根，则下面为定值2023的是（ ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【解析】由已知条件可知， ， ， 令 ， ， ， 如图所示， 曲线 与曲线 关于直线 对称，曲线 关于直线 对称， 设曲线 分别与曲线 ， 交于点 ， ， 则点 ， 关于直线 对称， 而点 关于直线 对称的点为 ，即为点 ， 则 ，即 . 【题型12】对数函数的综合问题 1、对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规 律求解． 2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解； （2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，再利用数形结合的方法来解决． 24．若不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 变形为： ，即 在 上恒成立， 若 ，此时 在 上单调递减， ，而 当 时， ，显然不合题意； 当 时，画出两个函数的图像， 要想满足 在 上恒成立，只需 ，即 ， 解得： ，综上：实数a的取值范围是 . 【巩固练习】设定义域为R的函数 ，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设， 的图象如下图示： 令 ，则 化为 ， ∴要使原方程有8个不同实根，则 有2个不同的实根且两根 、 ， ∴ ，可得 ，又 在 上递减，在 上递增，且 ， ，即 ， 综上， .