数学试题_全国高考模拟卷_2026年2月_260205广东省华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考1月期末

华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考 数学 命题学校:广东广雅中学 定稿人:黄淑珍 胡玲 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.已知集合A= x|x   ≤2  ,B=x∣3x-1<1  ，则A∩B= A. -2,2  B. -2,1  C. -2,1  D. 1,2  2.已知数列a n  是公差不为零的等差数列,若s,t,p∈N+,则“2a =a +a ”是“2t=s+p”的 t s p A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2025年到该地旅游的游客 中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的游客比例，如下图 所示，则估计2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13% 4.有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有 A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种 5.任意一个复数z=a+bia,b∈R  都可以表示成三角形式，即a+bi=r(cosθ+isinθ)θ∈R,r≥0  .法国 数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是:设两个复数z 1 =r 1cosθ 1 +isinθ 1  ,z 2 =r 2cosθ 2 +isinθ 2  ，则z z = 1 2 r 1 r 2 cosθ 1 +θ 2  +isinθ 1 +θ 2     1 3 ，已知复数z= - i，则z2026= 2 2 1 3 1 3 1 A. - - i B. - + i C. D. -1 2 2 2 2 2 6.设动直线l:mx-y-2m+3=0m∈R  交圆C:x-4  2+y-5  2=12于A,B两点(点C为圆心)，当 ∠ACB最小时其余弦值为 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 3 6 数学试题 第 1 页 共 4 页7.已知函数 fx  =ex-2m,gx  =x2-mx，gx  在点m,0  处的切线与曲线y= fx  也相切，则实数m 的值为 A. 1 B. -1 C. -2 D. 2 8.已知数列a n  lnn -1 满足a = - n n  n ，则关于a n n  说法正确的是 A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 1 9.已知二项式ax2+ x  n (其中a∈R,n≤8,n∈N+)的展开式中存在常数项,则下列说法正确的是 A. n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素 B. 若当n取最大值时常数项为30,则a=± 2 C. 若当n取最小值时函数fx  1 =ax2+ x  n 的图象在点 1,f1    1 处的切线与x轴平行,则a= 2 D. 若二项展开式中的所有项的系数和为0,则a=-1 y2 x2 10.已知O为坐标原点，椭圆C 1 : a2 + b2 =1a>b>0  3 的长轴长为4，离心率为 ，过抛物线C :y2=4x 2 2 的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点，连接AO,BO并分别延长交椭圆C 于M,N两点，则下列结论 1 正确的是 y2 A. 椭圆C 的方程为 +x2=1 1 4   B. 若AF=2FB，则AB=4 1 C. 若直线OM,ON的斜率分别为k ,k ,则k k =- 1 2 1 2 4 D. OM 2+ON 2=5 11.在棱长为a的正四面体ABCD中，P,Q分别为棱AB和CD(包括端点)的动点，直线PQ与平面ABC、平 面ABD所成角分别为α,β，则 A. 点Q到平面ABC和平面ABD的距离之和是定值 B. sinα-sinβ的正负由点Q位置确定，与点P位置无关 4 3 C. sinα+sinβ的最大值为 3 3 3πa2 D. 正四面体顶点在球O的球面上，当CQ= CD时，则过点Q截球O的截面面积最小值为 4 16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等比数列a n  的前n项和为S ，且S ，2S ，3S 成等差数列，则数列a n 1 2 3 n  的公比为 . 13.已知函数 fx  = 3sinx+cosx  1 cosx- ，若 fx 2  π 在区间 - ,m  6  1 上的值域为 - ,1  2  ，则实数m的 取围是 . 14.已知函数 fx  π 的定义域为0, 2  π ，且满足 f 6  π =e6，fx  1 ≥1- tanx  fx  π ，则 f 3  的最小值为 数学试题 第 2 页 共 4 页四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 π 15.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知a=6，2acos -C 3  =b+c. (1)求角A的大小； (2)若D为BC的中点，且AD=3 3，求△ABC的面积. 16.如图，圆台O O 的轴截面为等腰梯形A ACC ,AC=2AA =2A C =4,B为底面圆周上异于A,C的任 1 2 1 1 1 1 1 一点.  (1)若劣弧BC中点为E(如图1)，过点E作出平面α⊥平面BCC ，请说明平面α的作法，并证明平行；α 1 ⊥平面BCC ; 1 (2)现定义:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交点所 形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长度,叫做这两条异面直的距离.  当B为半圆弧AC的中点(如图2)所示,设平面A AB∩平面C CB=l,Q∈l,求异面直线CQ与A l距离 1 1 1 的最大值. A 1 O 1 C 1 A 1 O 1 C 1 A O 2 C A O 2 C E B B 图1 图2 数学试题 第 3 页 共 4 页17.(15分)某商场为庆祝元旦，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其 中3个黑球和2个红球. 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 (1)消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖 金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望; (2)若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一位抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖 箱里仍然是3个黑球和2个红球,每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球,若取出黑球,则放回小盒中, 无奖励；若取出红球，则将球放回后再往盒子中加1个黑球，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在 前一位抽奖后的箱中继续抽奖.该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖. 设“第i个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件A ，设“第 j个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼 1 品”记为事件B. j (i)求PA 1 B 3  和PA 2 ∣B 3  ; (ii)求第kk≥2  位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率Pk  . 18.已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于2，右焦点F到其渐近线的距离等于 3. (1)求双曲线C的方程； (2)经过点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，以AB为直径的圆记作⊙M. (i)求证:⊙M恒过某个定点,并求出此定点的坐标; (ii)是否存在某个定圆与⊙M相切,若存在,请求出此定圆的方程,若不存在,请说明理由. 19.已知函数fx  =x+1  lnx+1  -asinx a∈R  . (1)讨论函数fx  在区间0,π  内的零点个数; (2)若∃a∈0,1  ，使得fx-1  1 +ax2≤ bebx对∀x∈1,+∞ 2  恒成立，求实数b的取值范围； (3)若方程fx-1  =x+1  lnx-2axa>0  1 有两个不相等的实根x ,x ，求证:x ⋅x < . 1 2 1 2 a2 数学试题 第 4 页 共 4 页