热点专题3-1导数的概念与运算（解析版）-2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

专题 3-1 导数的概念与运算 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年甲卷第6题，5分 2024年I卷第13题，5分 高考对本节内容的考查相对稳 （1）导数的概念和定义 定，考查内容、频率、题型、 2023年甲卷第8题，5分 （2）导数的运算 难度均变化不大．重点考查导 （3）求过某点的切线方 数的计算、四则运算法则的应 程 2021年I卷第7题，5分 用和求切线方程为主． 2021年甲卷第13题，5分 模块一 【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率） 1.求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x)－f(x). 2 1 (2)再计算自变量的改变量热Δ点x＝题x 2型－x解1 .读（目录） (3)得平均变化率＝. 2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t 到t＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平 0 0 均速度二者不可混淆． 1．函数 在区间 ， 上的平均变化率为15，则实数 的值为 A． B． C．1 D．2 【解答】解：由区间 ， ，可知 ，可得 ，f(2a) f(a) 16a4 a4 又由  15a3 15，解得 ． 2aa a a1 2．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x 处的瞬时变化率为－8，则f(x )＝________． 0 0 【答案】 9 lim lim 【解析】由题知－8＝ ＝ ＝4x，得x＝－2，所以f(x)＝2×(－2)2＋1＝9. x0 x0 0 0 0 s(3 t)s(3) 【巩固练习1】某物体的运动方程为 s(t)3t2，若v  li t m 0  t 18m/s（位移单位： m ， 时间单位：s)，则下列说法中正确的是( ) A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到(3△t)s这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到(3△t)s这段时间内的平均速度 s(3 t)s(3) 【解答】解：根据题意，v lim  18m/s， t0 t 即物体在3s这一时刻的瞬时速度是18m/s， 故选：C． 【巩固练习2】若函数 f(x)x2在区间[x ，x △x]上的平均变化率为k ，在区间[x △x，x ] 0 0 1 0 0 上的平均变化率为k ，则( ) 2 A．k k 1 2 B．k k 1 2 C．k k 1 2 D．k 与k 的大小关系与x 的取值有关 1 2 0 【解答】解： 函数 y f(x)x2在 x 到 x △ x之间的平均变化量为：△ y f(x △  0 0 0 x) f(x )(x △x)2 (x )2 △x(2x △x)， 0 0 0 0 y k   2x △ ， 1 x 0 x  函数 y f(x)x2在x △x到x 之间的平均变化量为：△ y f(x ) f(x △x)(x )2 (x   0 0 0 0 0 0 y △ △ △ ，k   2x △ ， △ ，而△ ，故 ． x)2  x(2x 0  x) 2  x 0 x  k 1 k 2 2 x x0 k 1 k 2 【巩固练习3】如图1，现有一个底面直径为 高为 的圆锥容器，以 的速度向该容 器内注入溶液，随着时间 （单位： ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示， 忽略容器的厚度，则当 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设注入溶液的时间为 （单位： ）时，溶液的高为 ， 则 ，得 . 因为 ， 所以当 时， ， 即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为 . 【题型2】 导数的定义中极限的简单计算 函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在 处的导数，记作 或 ． 知识点诠释： ①增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之间距离要多近 有多近，即 可以小于给定的任意小的正数； ②当 时， 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即 ． 导数的物理意义 函数 在点 处的导数 是物体在 时刻的瞬时速度 ，即 ； 在点 的 导数 是物体在 时刻的瞬时加速度 ，即 ． 3．若函数 在区间 内可导，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】由题意知， . 4．（2024·江苏南通·二模）已知 ，当 时， . 【答案】1 【分析】根据导数的定义即可直接求解. 【详解】由导数的定义知， ， 由 ，得 ， 所以 . f(1 x) f(1) 【巩固练习1】设函数 可导， （1） 则lim   ． f(x) f 1 x0 3  x f(1 x) f(1) 1 1 1 【解答】解：lim   f（1） ，故答案为： ． x0 3  x 3 3 3 f(x h) f(x h) 【巩固练习2】函数 在区间 内可导，且 若lim 0 0 2，则 y f(x) (a,b) x 0 (a,b) h0 h ( ) A． f(x )1 B． f(x )2 C． f(x )4 D． f(x )不确定 0 0 0 0f(x h) f(x h) 【解答】解：lim 0 0 2， h0 h f(x h) f(x h) f(x h) f(x h) 则2lim 0 0 2，即lim 0 0 1 f(x ) h0 2h h0 2h 0 【巩固练习3】（多选题）已知 ， 在R上连续且可导，且 ，下列关于导数与 极限的说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】 ，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对 【题型4】导数的运算 一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （c为常数）二、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则： ； （2）函数积的求导法则： ； （3）函数商的求导法则： ，则 ． 特别地： ① ， ② ， 5．求下列函数的导数． (1) (2) ； 【解析】（1） ； （2） 6．设函数 ，则 的值为（ ） A．10 B．59 C． D．0 【答案】C 【解析】函数 的定义域为 ， 设 ，则 ， 所以 所以 . 【巩固练习1】求下列函数的导数． (1) (2)(3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解. 【详解】（1）由 可得 （2）由 可得 （3）由 得 （4）由 得 【巩固练习2】求下列函数的导函数． (1) ； (2) ； 【答案】(1) (2) 【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算. 【详解】（1） ； （2） ； 【巩固练习3】在等比数列 中， ，若函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， 则 ， ， 所以， . 因为 是等比数列，且 ， 所以， ， 所以， ， 所以， . 【题型3】导数的几何意义初步 导数的几何意义 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的 大小，函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线 的斜率． 7．函数 的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得 表示切线 斜率 ， 表示切线 斜率 ， 又由平均变化率的定义，可得 ，表示割线 的斜率 ， 结合图象，可得 ，即 . 8．（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 的导函数 ，故曲线 在点 处的切线斜率为 ， 则切线方程 ，即 9．（23-24高三上·福建福州·期中）已知直线l与曲线 相切，则下列直线中可能与l 平行的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可. 【详解】 ， ，则 ，当且仅当 即 等号成立， 根据导数的几何意义知，切线的斜率 ，因为切线与直线l平行，所以l的斜率 ， 选项A中直线的斜率为 ，符合题意； 选项B中直线的斜率为 ，不符合题意； 选项C中直线的斜率为 ，符合题意； 选项D中直线的斜率为 ，符合题意 【巩固练习1】函数 y f(x)的图象如图所示， f(x)是函数 f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A．2f（2） f （4）f （2）2f（4）B．2f（4）2f （2） f （4）f （2） C．2f（2）2f （4） f （4）f （2）D． f （4）f （2）2f （4）2f （2） 【解答】解：由函数 f(x)的图象可知， 当x�0时， f(x)单调递增， 所以 f（2）0， f（4）0， f （4）f （2）0， 由此可知， f(x)在(0,)上恒大于0， 因为直线的斜率逐渐增大， 所以 f(x)单调递增，所以 f（2） f（4），则2f（2）2f （4）， f(4) f(2) 因为 （2）  f（4），所以 （2） （4） （2） （4） f 42 2f  f f 2f 【巩固练习2】（2024·全国·高考真题）设函数 ，则曲线 在点 处的 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标， 即可得其面积. 【详解】 ， 则 ， 即该切线方程为 ，即 ， 令 ，则 ，令 ，则 ， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 . 【巩固练习3】（2024·福建厦门·一模）已知直线 与曲线 在原点处相切，则 的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由 ，则 ，即直线 的斜率为 ， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知： 的倾斜角为 . 【巩固练习4】（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线 在 处的切线也是曲线 的切 线，则 （ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出 的导数，求得切线的斜率为 1，可得切线方程 ，再设与曲线 相切的切点为 ，求得函数 的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方 程可得 的值，进而得到 的值. 【详解】由曲线 ，得 ， 在 处的切线斜率为 ，当 时， ， 曲线 在 处的 ，即 ， 曲线 ，导数为 ， 设切点为 ，则 ，解得 ，切点在切线 上， 即有 ，得 . 【题型5】复合函数求导 简单复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这 个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). （2）复合函数的求导法则 正确地拆分复合函数是求导的前提 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. x u x 10．求下列函数的导数． (1) ； (2) ； 【解析】（1） （2） 【巩固练习1】求下列各函数的导数： (1) ；(2) 【答案】(1) ，(2) (1) ， . (2)因为 所以 . 【巩固练习2】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复合函数求导公式计算即可. 【详解】（1） ；（2） ； （3） ； （4） ． 【巩固练习3】求下列函数的导数． (1) ； (2) ； (3) (4) ； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果. 【详解】（1）因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 . （3）因为 ，所以 （4）因为 ，所以 【题型6】导数的赋值运算 若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解 11．已知函数 （ 是 的导函数），则 ________【答案】 【分析】对函数进行求导，求出 ，再令 代入解析式，即可得到答案； 【详解】 ， ， ， 12．已知函数 满足满足 ；求 的解析式 【解析】 令 得： 得： 13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 （ 是 的导函数），则曲线 在 处的切线方程为 ． 【答案】 ． 【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率 ，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可. 【详解】由题意设切点 ，因为 ， 令 ，得 ， 由导数几何意义知： ， 又 ，所以 ， 故曲线 在 处的切线方程为： ， 整理得： . 【巩固练习1】已知函数f(x)=f '(1)+xln x,则f(e)=________ 【答案】1+e ∵f '(x)=ln x+1,∴f '(1)=ln 1+1=1, 则f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+eln e=1+e. 【巩固练习2】已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 ______ 【答案】 【分析】先对 进行求导，然后把 代入 ，可列出关于 的等式，即可解出 ， 从而得出 的解析式，即可求出 .【详解】解：因为 ， 所以 ，把 代入 ， 得 ，解得： ， 所以 ，所以 . 【巩固练习3】已知函数y=f(x),其导函数y=f '(x)满足f(x)=2xf '(e)+ln x,则f '(e)= . 【答案】 【解析】∵f(x)=2xf '(e)+ln x, 1 1 1 ∴f '(x)=2f '(e)+ ,令x=e,得f '(e)=2f '(e)+ , ∴f '(e)=- . x e e 【巩固练习4】已知函数 ，则 __________. 【答案】-2 【解析】利用复合函数求导法则求导，求出函数 ，再求函数值作答. 【详解】由函数 求导得： ，当 时， ， 解得 ，因此， ，所以 . 【巩固练习5】已知 ，则 . 【答案】 【解析】因为 ， 所 以 ， 所 以 ， 故