昆明市第一中学2026届高三年级第六次联考数学+答案_全国高考模拟卷_2026年2月_260201云南省昆明市第一中学2026届高三上学期1月复习诊断（第六次联考）(全科）

昆明市第一中学 2026 届高三第 6 次月考 数学 学科 本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试 卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．校园AI编程创意赛有17位同学参赛，他们的作品评分互不相同，只有评分在前9名的同学能晋级决 赛．若某同学知道自己的作品评分后，想判断自己能否晋级，则他只需要知道这17位同学评分的 A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差 2．x(1+3x)3的展开式中 数学试卷·第 1 页 （共 4 页） x 3 的系数为 A．3 B．9 C．18 D．27 3．已知命题 p:xR，ax2 +2ax−30为真命题，则实数 a 的取值范围是 1 A. (−3，+) B. (−，− ) C. 3  − 1 3 ， 0  D. −3，0 4．已知，为两个平面，m，n是两条直线，   m ，   n ，则下列命题正确的是 A. 若m∥，则 ∥   B. 若∥，则 m ∥ n C.若m⊥，则⊥ D. 若 ⊥  ，则 ⊥  m x2 y2 5．已知双曲线C: − =1(a0,b0)的右焦点为F ， a2 b2 O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线的 其中一条渐近线交于点 A （除原点外），若 OA =b，则双曲线C的离心率为 A． 2 B． 3 C．2 D．3 6．昆明马拉松活动中，将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每 个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为 A．12 B．36 C．48 D．72 {#{QQABJYqUggggAoAAABgCEQUYCkOYkBCACIgOQBAUIAIAgBFABAA=}#}7. 化简 数学试卷·第 2 页 （共 4 页） ta n 5 0  c o s 2 0  (ta n 4 0  − 3 ) = A． − 1 B． − 2 3 3 C． D． 2 1 8．已知PA⊥PB， P A  P B ，以 A ， B 为焦点的椭圆经过点 P ，且该椭圆的离心率大于 5 3 ，则 ta n  A B P 的取值范围为 A． (1 ,2 ) B． ( 2 ,3 ) C． ( 2 ,+  ) D． ( 3 ,+  ) 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知z ,z 是两个虚数，则下列结论中正确的是 1 2 A．若 z 1 = z 2 ，则 z 1 z 2 均为实数 B．若z +z 为实数，则 1 2 z 1 = z 2 C． 若 z 1 , z 2 均为纯虚数，则 z z 1 2 为实数 D．若 z z 1 2 为实数，则 z 1 , z 2 均为纯虚数 10．已知函数 f ( x ) = 2 3 s in x c o s x + 2 c o s 2 x − 1    (  0 )  ，若 f ( x ) 在区间  π 2 , π  内不存在对称轴，则 的值可以为 A． 1 6 B． 1 3 C． 1 7 2 D． 1 11．已知直线 l : m x − y − 2 m + 4 = 0 ( m  R ) 及圆 C : ( x − 3 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 5 ，则下列选项中正确的是 A．直线l过定点 ( 2 , 4 ) B．直线l截圆 C 所得弦长最小值为2 3 C．存在 m ，使得直线 l 与圆 C 相切 D．存在 m ，使得圆 C 关于直线 l 对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知事件 A 和 B 互斥，且P(AB)=0.9， P ( B ) = 0 .4 ，则P(A)为 ． 13. 在△ABC中，角 A ，B， C 的对边分别是 a ，b， c B ，已知bsinC=csin ，则角B= ． 2 14．已知函数 f (x)=aex −lnx在区间 ( 1 , 2 ) 上单调递增，则 a 的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． {#{QQABJYqUggggAoAAABgCEQUYCkOYkBCACIgOQBAUIAIAgBFABAA=}#}15．（13分） 北京冬奥会的成功举办，不仅让世界进一步了解新时代的中国，而且极大促进了全国群众参与冰雪运 动，此后每年冬季，全国多地群众都会积极参与冰雪运动．某城市为调查居民对冰雪运动的了解情况， 随机抽取了该市男女市民各 数学试卷·第 3 页 （共 4 页） 6 0 人进行统计，统计结果如下表：（单位：人） 3 已知从参与调查的男性市民中随机抽取一名，他了解冰雪运动的概率为 ． 4 （1）求表中 m ，n， p ， q 的值； （2）根据小概率值=0.05的独立性检验，分析并判断该市居民对冰雪运动的了解是否与性别有关联． 附： 2 = ( a b ) ( n c ( a d d ) ( b a c 2 ) c ) ( b d )  + + − + + ， n = a + b + c + d 16．（15分） 已知数列a 中， n a 1 = 1 ，a =a +2n， n+1 n （1）求a ； n 1  （2）若b =a +2n−1， 的前 n n b  n n 项和为 S n ，证明： S n  1 性别 冰雪运动 合计 了解 不了解 男 m n ． 6 0 女 p q 6 0 合计 8 0 4 0 1 2 0 P ( 2 k )   0 .0 5 0 0 .0 1 0 0 .0 0 5 k 3 .8 4 1 6 .6 3 5 7 .8 7 9 {#{QQABJYqUggggAoAAABgCEQUYCkOYkBCACIgOQBAUIAIAgBFABAA=}#}17．（15分） 如图，几何体是由两个共底面 数学试卷·第 4 页 （共 4 页） A B C D 的四棱锥拼接而成， P ， D ， S 共线，且 P S ⊥ 平面 A B C D ，正方形 A B C D 的边长为 2 ， P D = D S = 2 ． （1）求证： P C ⊥ S B ； （2）求平面 P A B 与平面 S B C 的夹角的大小． 18．（17分） 已知抛物线 E : y 2 = 4 x 的焦点为 F ，过点A(0,y )的直线 0 l 与 E 相交于 B ( x 1 , y 1 ) ，C(x ,y )两点，且 2 2 y 0  0 ， （1）若 F 为线段AC的中点， （ⅰ）求直线l的斜率； （ⅱ）求 A C ； （2）若点 P ( x 3 , 2 y 0 ) 在抛物线E上，满足 B P ⊥ B C ，求y 取值范围. 2 19．（17分） 已知函数 f(x)=x−1−lnx． （1）证明： ln x  x − 1 ； （2）证明： n i= 1 1 i  ln ( n + 1 ) ( n  N + ) ； （3）若 f(x)mx−xex(mR)恒成立，求实数m的取值范围． A P D S B C {#{QQABJYqUggggAoAAABgCEQUYCkOYkBCACIgOQBAUIAIAgBFABAA=}#}昆明市第一中学 2026 届高三年级第六次联考 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C A B A C 1．解析：因为17位同学的评分，中位数是第9名，所以知道中位数即可判断是否在前9，选B. 2．解析：x3的系数为 1 C 23  3 2 = 2 7 ，选D. 3．解析：因为命题 p:xR，ax2 +2ax−30为真命题，所以不等式 a x 2 + 2 a x − 3  0 的解集为 R ， 若 a = 0 ，则不等式可化为 − 3  0 ，成立；若 a  0 ，则根据一元二次不等式解集的形式可知： a0  ，解得 =4a2 +12a0 − 3  a  0 ，综上所述，选D. 4．解析：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，选C. 5．解析：因为 O F = c  ，且为直径，所以OAF = ，结合渐近线斜率，则 2 O A = b = a ， A F = b ，所以 e = 2 ， 选A. 6．解析：将 4 名志愿者分配到 3 个不同的服务点参加志愿工作，每人只去 1 个服务点，每个服务点至少 安排1人，则不同的安排方法种类数为 C 24 A 33 = 3 6 ，选B. ( ) sin50 sin40 − 3cos40 cos202sin(40 −60) 7．解析：tan50cos20 tan40 − 3 = cos20 = cos50  cos40  cos50   −2cos20sin20 −sin40 = = =−1，选A． cos50 cos50 8．解析：设 P A = m ， P B = n PA m ，因为PA⊥PB，所以 AB = m2 +n2 ，令tanABP= = =t(t 1)， PB n m ( )2 +1 c 2c AB m2 +n2 n t2 +1 5 该椭圆离心率为e= = = = = =  ，解得 a 2a PA + PB m+n m t+1 3 +1 n t  1 2 或t2，结合 t 1，所以t2，则tanABP的取值范围为(2,+)，选C. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AC ABC ABD 9．解析：设z =a+bi，z =c+di(a,b,c,dR,b0,d 0)． 1 2 {#{QQABJYqUggggAoAAABgCEQUYCkOYkBCACIgOQBAUIAIAgBFABAA=}#}若 2 z 1 = z 2 ，则 a = c ， b + d = 0 ，所以 z 1 z 2 = a 2 + b 2  R ，A正确； 若 z 1 + z 2 为实数，则 b + d = 0 ，但 a 与 c 不一定相等，B错误； 若z ，z 均为纯虚数，则 1 2 a = c = 0 ，所以 z z 1 2 = b d  R ，C正确； 取 z 1 = 2 + 2 i ， z 2 = 1 + i ，则 z z 1 2 为实数，但z ， 1 z 2 不是纯虚数，D错误，选AC． 10．解析： f ( x ) = 2 3 s in x c o s x + 2 c o s 2 x − 1 = 3 s in 2 x + c o s 2 x = 2 s （ in 2 x + π 6 ）       ， 由 2 x + π 6 = k π + π 2  ， ( k  Z ) ，得 f(x)的对称轴为  x = k π 2 + π 3 ， ( k  Z ) ， 由题意知， π 2 + π 3  π 2  k 且 ( + 1 2 ) π + π 3  π  k 1 3k+4 ，即k+  ， 3 6 ( k  Z ) ，又因为  0  ，所以 k = 0 或 k = − 1 符合题意，从而   0 , 1 6    1 3 , 2 3   ，选ABC． 11．解析：对于A，直线l:mx− y−2m+4=0(mR)，可得， m ( x − 2 ) − ( y − 4 ) = 0 ，可得直线经过定点 ( 2 ,4 ) ， A正确；对于B，圆 C : ( x − 3 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 5 ，圆的圆心 ( 3 ,5 ) ，半径为 5 ，圆的圆心到定点 ( 2 ,4 ) 的距离为 ( 3 − 2 ) 2 + ( 5 − 4 ) 2 = 2 ，所以直线 l 截圆C所得弦长最小值为2 ( 5)2 −( 2)2 =2 3，B正确；对于C， 因为圆的圆心到定点 ( 2 ,4 ) 的距离为 2  5 （半径），所以直线与圆的位置关系是相交，不存在 m ，使得 直线 l 与圆C相切，C错误；对于D，当直线 l : m x − y − 2 m + 4 = 0 ( m  R ) 经过圆的圆心时，存在 m ，使得 圆 C 关于直线 l 对称，D正确，选ABD. 三、填空题 12．解析：由 P ( B ) = 0 .4 得P(B)=1−P(B)=1−0.4=0.6，又 P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0 .9 ，所以 P(A)=P(AB)−P(B)=0.9−0.6=0.3. 13．解析：由 b s in C = c s in B 2 B 得sinBsinC =sinCsin ，因为 2 s in C  0 B ，所以sinB=sin ，即 2 B B B B 2sin cos =sin ，因为sin 0，则因为 2 2 2 2 c o s B 2 = 1 2 ，所以 B 2 = π 3 2π ，从而B= ． 3 1 1 14．解析：依题可知， f(x)=aex − 0在(1,2)上恒成立，显然a0，所以xex  ， x a 设g(x)=xex,x(1,2)，所以 g  ( x ) = ( x + 1 ) e x  0 ，所以g(x)在 ( 1 , 2 ) 上单调递增， 1 1 g(x)g(1)=e，故e ，即a =e−1，即a的最小值为e−1． a e {#{QQABJYqUggggAoAAABgCEQUYCkOYkBCACIgOQBAUIAIAgBFABAA=}#}3 x A z P D S B C y 四、解答题 15． 解：（1）依题意， m = 6 0  3 4 = 4 5 ，所以 n = 1 5 ， p=35，q=25． ………4分 （2）零假设 H 0 ：该市市民对冰雪运动的了解与性别无关联． 120(4525−3515)2 15 2 = = =3.753.841， 60608040 4 因此根据小概率值=0.05的独立性检验，不能判断该市居民对冰雪运动的了解与性别有关联． …13分 16．解：（1）由题意，a −a =2(n−1)， n n−1 a n − 1 − a n − 2 = 2 ( n − 2 ) ， ，a −a =2， 2 1 累加得，a −a =2(1+2+ +n−1)=n(n−1)，则a =n2 −n+1，经检验n=1时也成立． ………7分 n 1 n （2）由题意 b n = a n + 2 n − 1 = n 2 + n ， 1 b n = n ( n 1 + 1 ) = 1 n − n 1 + 1 ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = + + + =1− + − + + − =1− ， n b b b 2 2 3 n n+1 n+1 1 2 n 因为 n  N  1 ， 0，所以S 1． ………15分 n+1 n 17． 解：（1）证明：因为 P S ⊥ 平面ABCD，所以BC⊥PD， 又因为 B C ⊥ C D ， P D C D = D ，所以 B C ⊥ 平面 P D C ，所以 B C ⊥ P C ； 又因为正方形 A B C D 边长为 2 ，且 P D = D S = 2 ，所以 P C = C S = 2 2 ，且 P S = 4 ， 所以 P C 2 + C S 2 = P S 2 ，所以 P C ⊥ C S ，又因为 B C S C = C ，所以 P C ⊥ 平面 S C B ， 所以 P C ⊥ S B ． ………7分 （2）以 D 为原点， D A ， D C ， D P 分别为 x 轴、y轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. P ( 0 , 0 , 2 ) ， C ( 0 , 2 , 0 ) ， A ( 2 , 0 , 0 ) ， B ( 2 , 2 , 0 ) ， 由（1）可知， P C = ( 0 , 2 , − 2 ) 为平面SCB的法向量， 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)  n n   A A B P = = 0 0   2 − y 2 = x + 0 2 z = 0 ， 取 x = 1 有 y = 0 ， z = 1 ， 于是平面PAB的法向量为 n = (1 , 0 ,1 ) ， PCn −2 1 cosPC,n= = =− ， PC  n 2 2 2 2 所以平面PAB与平面SBC的夹角的大小为60 . ………15分 {#{QQABJYqUggggAoAAABgCEQUYCkOYkBCACIgOQBAUIAIAgBFABAA=}#}18．解：（1）（ⅰ）由题意知，焦点 4 F (1 , 0 ) ，因为 F 为线段AC的中点，所以 1 = 0 + 2 x 2 ，即 x 2 = 2 ， 所以 y 2 = − 2 2 ，即C(2,−2 2)，所以直线 l 的斜率为 k l = 0 + 1 2 − 2 2 = − 2 2 . ………4分 （ⅱ） AC =2 FC =2 1+(2 2)2 =6． ………7分 （2）由题意知，直线BC的斜率为 k B C = y x 2 2 − − y x 1 1 = y 22 y 24 − − y 12 y 14 = y 2 4 + y 1 ，同理直线 B P 的斜率为 k B P = = y 1 + 4 2 y 0 ， 因为BP⊥BC，所以 k B C k B P = − 1 ，所以 2 y 0 = − 1 6 − y 1 2 y 1+ − y 2 y 1 y 2 ， 又因为直线 B C 4 的方程为y− y == (x−x )，所以点 1 y + y 1 1 2 A ( 0 , y 0 ) 在直线 B C 上， 所以 y 0 − y 1 = = y 1 4 + y 2 ( − x 1 ) = y − 1 y + 21y 2 ，所以 2 y 0 = 2 y 1 y 1+ y 2y 2 ，所以 2 y 1 y 1+ y 2y 2 = − 1 6 − y 1 2 y 1+ − y 2 y 1 y 2 ， 所以 y 2 = − 1 3 6 y 1 − y 3 1 ，因为 y 1  0 ，所以 y 2 = （− 1 3 6 y 1 + y 3 1 ）  - 2 1 6 9 = − 8 3 16 y ，当且仅当 = 1 ， 3y 3 1 即 y 1 = 4 满足，所以 y 2 取值范围为  −  ， − 8 3  . ………17分 19．证明：（1）因为函数 f ( x ) = x − 1 − ln x （ x  0 ） ， 所以 f  ( x ) = 1 − 1 x ， f  ( x )  0  0  x  1 ， f  ( x )  0  x  1 ， 所以 f (x)在(0，1)单调递减，在 ( 1 ， +  ) 单调递增， 所以 f (x) f (1)=0，所以 f(x)=x−1−lnx0恒成立，所以lnxx−1. ………5分 （2）由（1）知 f ( x ) = x − 1 − ln x  0 ( a  R ) 恒成立，所以 x − 1  ln x ，当且仅当 x = 1 时等号成立， 所以 x  ln ( x + 1 ) ，当且仅当 x = 0 时等号成立，所以 1 i  ln  1 + 1 i  （其中 i = 1 , 2 , 3 n ， n   + ）. 1  1 n 1 n 1+i 2 3 n+1 即 ln1+  ，则 ln =ln    =ln(n+1)， i  i i i 1 2 n  i=1 i=1 n 1 所以 ln（n+1）(nN ). ………11分 i + i=1 （3） f ( x )  m x − x e x ( m  R ) 恒成立， 即 x−lnx+xex −1mx在x(0，+) 恒成立， x+xex −lnx−1 lnx 1 lnx 1 即m =1+ex − − 在(0，+) 恒成立，令h(x)=1+ex − − (x0)， x x x x x {#{QQABJYqUggggAoAAABgCEQUYCkOYkBCACIgOQBAUIAIAgBFABAA=}#}所以 5 h  ( x ) = e x + 1 x 2 + ln x x − 2 1 = e x + ln x x 2 ， 令 h  ( x )  0 ，即 e x + ln x x 2  0 ，整理得： x 2 e x + ln x  0 令 ( x ) x 2 e x ln x  = + ( x  0 ) ，所以 ( x ) ( x 2 2 x ) e x 1 x 0   = + +  在 ( 0 , +  ) 恒成立 所以 ( x )  在 ( 0 , +  ) 上单调递增，因为 ( 1 ) = e + 0 = e > 0  ， 1 e = 1 e 2 e 1e 1 = e 1e 2 1 < 0       − − − 所以  x 0   1 e ,1  使得 ( x 0 ) = 0  ，即x 2ex0 +lnx =0 0 0 当 x  ( 0 , x 0 ) 时， ( x ) 0   ，当x(x ,+)时， 0 ( x ) 0   ， 所以当x(0,x )时，h(x)0，当x(x ,+)时，h(x)0， 0 0 所以 h ( x ) 在 x  ( 0 , x 0 ) 上单调递减，在x(x ,+)上单调递增， 0 所以 h ( x ) m in = h ( x 0 ) = 1 + e x0 − ln x x 0 0 − 1 x 0 ，因为 x 0 2 e x0 + ln x 0 = 0 ，所以 x 0 e x0 = − ln x 0 x 0 = ln 1 x 0  e ln 1x0 ， 令函数 y = x e x ，因为 y = x e x 在(0,+)上单调递增， 所以 x 0 = ln 1 x 0 ，即 e x0 = 1 x 0 lnx 1 lnx 所以h(x) =h(x )=1+ex0 − 0 − =1+ 0 =2 min 0 x x lnx 0 0 0 所以 m  2 ，所以实数 m 的取值范围是 ( −  , 2  . ………17分 {#{QQABJYqUggggAoAAABgCEQUYCkOYkBCACIgOQBAUIAIAgBFABAA=}#}