热点专题2-3幂函数与二次函数，方程与不等式（原卷版）--2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

专题 2-3 幂函数与二次函数，方程与不等式
近4年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2020年天津卷第3题，5分 从近五年全国卷的考查情况来
看，本节内容很少单独命题， （1）幂函数的定义、图
2020年江苏卷第7题，5分
幂函数要求相对较低, 常与指 像与性质
2024年天津卷：第2题，5分 数函数、对数函数综合，比较 （2）三个二次之间的关
幂值的大小，多以选择题、填 系
2024年上海卷：第3题，5分
空题出现.
模块一 热点题型解读（目录）
【题型1】幂函数的定义及图像
【题型2】 由幂函数的单调性比较大小
【题型3】幂函数的图象与性质的综合应用
【题型4】三个“二次”关系的应用
【题型5】由一元二次不等式的解集求参数
【题型6】解含参一元二次不等式
【题型7】二次函数的图象、单调性与最值
【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法
【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法
【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解
【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）
【题型12】一元二次方程根的分布
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】幂函数的定义及图像
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是 ( ∈R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+ )上，
幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.1．（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数 是幂函数，则实数m的值可能是
（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点 ，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数 为幂函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【题型2】 由幂函数的单调性比较大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握
各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】设 ，则 大小关系是 .
【巩固练习2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数f(x)=(m−1)xn的图象过点(m,8)．设a=f (20.3)，b=f (0.32)，c=f (log 0.3)，则a，b，c的大小关系是（ ）
2
A．b<c<a B．a<c<b
C．a<b<c D．c<b<a
【巩固练习3】（2024·河北衡水·三模）已知 ， ， ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【题型3】幂函数的图象与性质的综合应用
紧扣幂函数 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意 为
奇数时， 为奇函数， 为偶数时， 为偶函数.
3．已知幂函数
f (x)=x
m
n(m,n∈Z)
，下列能成为“
f (x)
是R上的偶函数”的充分条件的是（ ）
A．m=−3,n=1 B．m=1,n=2
C．m=2,n=3 D．m=1,n=3
【巩固练习1】已知 .若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则
.
【巩固练习 2】已知幂函数 的图象经过点 ，下面给出的四个结论：①
；② 为奇函数；③ 在R上单调递增；④ ，其中所有正确命题
的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③【巩固练习3】（山东菏泽·三模）已知函数f (x)=x3+(a−2)x2+2x+b在[−2c−1,c+3]上为奇
函数，则不等式f(2x+1)+f (a+b+c)>0的解集满足（ ）
( 5 ]
A．(−2,4] B．(−3,5] C． − ,2 D．(−2,2]
2
【题型4】三个“二次”关系的应用
二次函数 的图象、一元二次方程 的根与一元二次不等式
与 的解集的关系，可归纳为：
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗
透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数
方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。
知识点诠释：
（1）一元二次方程 的两根 是相应的不等式的解集的端点的取值，是
抛物线
y= ax2 +bx+c
与 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化
为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（ 3 ） 解 集 分 三 种 情 况 ， 得 到 一 元 二 次 不 等 式 与
的解集．
4．（2020·山东·高考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式
ax2+bx+c>0的解集是（ ）
A．(−2,1) B．(−∞,−2)∪(1,+∞)C．[−2,1] D．(−∞,−2]∪[1,+∞)
【巩固练习1】不等式 的解集为 ，则函数 的图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】关于x的不等式 的解集为 ，且 ，则
a=
A． B． C． D．【题型5】由一元二次不等式的解集求参数
先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组
5．已知关于x的一元二次不等式 的解集为 ，则不等式 的
解集为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
6．（多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）已知关于 的不等式 的解集为
或 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式 的解集为
C．不等式 的解集为
D．
【巩固练习1】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式 的解集为
或 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 的解集为
【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式 的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】解含参一元二次不等式
对于含参数的一元二次不等式，一般不会单独考察，往往和导数研究函数的单调性一起考察
解法：若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对
判别式分类讨论，分类要不重不漏
7．解关于 的不等式： .
ax2 −(4a+1)x+4>0
8．解关于x的不等式 .
【巩固练习1】解不等式
【巩固练习2】当 时，解关于 的不等式 .【题型7】二次函数的图象、单调性与最值
解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.
9．已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 .
【巩固练习1】函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】函数 在 上单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】若函数 在区间 上有最大值，则实数a的取值范
围是 .
【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法
一元二次不等式在R上的恒成立问题
与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等.
方法是通过二次函数的图像来理解.
1.若ax2+bx+c>0恒成立，则 a >0 ， Δ<0 ；2.若ax2+bx+c<0恒成立，则 a <0 ， Δ<0 ；
3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0.
10．（多选）xR，关于x的不等式x2axa0恒成立的一个必要不充分条件是（
）
A．a10 B．0a4
1
0a
C． D．
a2 2
【巩固练习1】若关于x的不等式 对 恒成立，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数 ，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取
值范围是________
【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法
含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最
值问题
参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量x的关系,，使得 ，等价于 ， ，使得 ，等价于
11．当 时，关于x的不等式 恒成立，则 的取值范围是 ．
【巩固练习1】若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】若不等式 在 时不等式恒成立，则实数 的取值范围为
________；若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为________.
【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解
变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数
的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。
12．已知 时，不等式 恒成立，则x的取值范围为 ．
【巩固练习1】若不等式 对任意 恒成立，实数x的取值范围是 ．
【巩固练习2】函数 ，若 恒成立，则实数x的取值范围是
．【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）
一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围
13．已知命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】已知命题 ：“ ，使得 成立”是真命题，则实数 的取值
范围是 ．
【题型12】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般
考虑以下几方面：
1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）.
2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成
立）
3. 判定△符号.
4. 判定对称轴的位置.
总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去
分析就可以得到结论，无需记忆.（1）二元二次方程在 上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根 ;
②方程有两个相等的实数根 ;
③方程没有实数根
（2）一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根 ；
②方程有两个不等负根
③方程有一正根和一负根,设两根为
（3）一元二次方程 的根的“ ”分布
①两根都小于 ；
②两根都大于
③一根小于 ，一根大于
（4）一元二次方程根 在区间的分布①两根都在 内
②两根都在 外
③两根仅有一根在 内
④一根在 内,另一根在 内
类型一 ：根的“0”分布
14．关于x的方程 至少有一个负实根，求 的取值范围．
【解析】①当 时，解得 ，满足条件；
②当 时，显然方程没有零根，
由 ，得
设方程的两个实数根为
若方程有两异号实根，则 ，解得 ；
若方程有两个负的实根，则 ，解得 ．综上，若方程 至少有一个负的实根，则 ．
【巩固练习】已知二次方程(2m+1)x2−2mx+(m−1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
{∆=4m2−4(2m+1)(m−1)>0
1
m−1 ，解得− <m<1
x x = <0 2
1 2 2m+1
类型二 ：两根与k的大小比较
15．已知方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数 的取值范围
.
【巩固练习】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根 ，且
．则实数a的取值范围为 ．
类型三 ：根在区间上的分布
16．已知关于 的方程 的两个实根一个小于 ，另一个大于 ，则实数 的取值范围是
．
【巩固练习1】方程x2−2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内，则实数a的取值范围为( )
5 5 5 5
A．1<a< B．a<1或a> C．−1<a< D．− <a<−1
3 3 3 3
【巩固练习2】关于 的方程 满足下列条件，求 的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于 ，一个根小于 ；
(3)一个根在 内，另一个根在 内；
(4)一个根小于 ，一个根大于 ；
(5)两个根都在 内．