重难点专题2-1函数与方程10类常考压轴小题（解析版）-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突（新高考专用）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习

专题 2-1 函数与方程 10 类常考压轴小题 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】分段函数零点个数问题 【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系） 【题型3】嵌套（复合）函数求值问题 【题型4】反函数对称性的应用 【题型5】不等式恒成立与能成立问题 【题型6】存在，任意双变量问题 【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题 【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题 【题型9】2个函数存在对称点问题 【题型10】隐零点问题初步 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】分段函数零点个数问题 先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，首先要准确 绘制分段函数的图像，确保每个分段的图像都正确无误。在绘制过程中，特别注意分段连接点处的 图像变化 1．已知函数 ，若实数 ，则函数 的零点个 数为（ ） A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3 【答案】D 【解析】函数 的零点个数即函数 与 的函数图象交点个数问题， 画出 的图象与 ， 的图象，如下：故函数 的零点个数为2或3. 2．（2024·高三·北京通州·期末）已知函数 （1）若 ，则 的零点是 . （2）若 无零点，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【解析】（1）若 ，则 ，令 可得 ，即 的零点 是 （2）若 无零点,则如图所示 当 此时，应有 ， 当 如图所示， 此时应有 ，综上可得 . 【巩固练习1】（2024·北京西城·一模）设 ，函数 若 恰有一个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出函数 的图象如下图所示： 函数 可由 分段平移得到， 易知当 时，函数 恰有一个零点，满足题意； 当 时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当 时，图象往下平移，当 时，函数有两个零点； 当 时， 恰有一个零点，满足题意，即 ； 综上可得 的取值范围是 . 【巩固练习2】已知函数 若函数 有3个零点，则 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 要使函数 有三个零点，则 有三个不相等的实根，即 与 的图象有 三个交点，当 时， 在 上单调递减， ； 当 时， 在 上单调递增， ； 当 时， 在 上单调递增， ； 由 与 的图象有三个交点，结合函数图象可得 ， 【巩固练习3】（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数 若 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出 的大致图象，根据题意转化为 与 的图象有4个不同交点，结合 图象，即可求解. 【详解】由题意，作出 的大致图象，如图所示， 要使得 ， 即函数 与 的图象有4个不同交点，则 ， 所以实数 的取值范围是 ． 故选：A. 【巩固练习4】（2024·山西·模拟预测）已知函数 若函数 有三 个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 当 时，方程 ．可得 ．解得 ，函数有一个零点， 则当 时，函数有两个零点，即 ，在 时有两个解． 设 ，其开口向上，对称轴为： 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，且 ，解得 【巩固练习5】已知函数 ， 令 ，则下列说法正确的（ ） A．函数 的单调递增区间为 B．当 时， 可能有3个零点 C．当 时， 的所有零点之和为 D．当 时， 有1个零点 【答案】BD 【解析】 的图像如下： 由图像可知， 的增区间为 ， 故A错误 当 时，如图 当 时， 与 有3个交点，当 时， 与 有2个交点， 当 时， 与 有1个交点， 所以当 时 与 有3个交点或2个交点或1个交点， 即 有3个零点或2个零点或1个零点， 故B正确； 当 时，由 可得 ， 由 可得 所以 的所有零点之和为 ， 故C错误； 当 时，由B选项可知： 与 有1个交点， 即 有1个零点， 故D正确 【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系） 解决分段函数等高线（方程根之间的数量关系）问题，首先要明确分段函数的定义和各分段上的表 达式。接着，对于每个分段，分别令函数值等于某个常数，以构造等高线方程。然后，解这些等高 线方程，找出它们的根，并关注这些根之间的数量关系。特别地，要注意分段连接点处等高线的行 为，以及可能存在的多重根情况。最后，综合所有分段的信息，得出等高线方程根之间的数量关系。 在解题过程中，数形结合的方法往往能提供直观的帮助。 3．已知函数 ，若 有四个不同的解 且 ， 则 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示， 易知 ，所以 ， 则 ， 而由二次函数对称性可知， ，所以 ， 根据对勾函数的性质可知， ， 所以 . 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ，若方程 有四个根 ，且 ，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ， 当 时， 在 上递减，函数值集合为 ，在 上递增，函数值集 合为 ， 当 时， 在 上递减，函数值集合为 ，在 上递增，函数值集合为 ， 方程 的根是直线 与函数 图象交点的横坐标， 方程 有四个根 ，即直线 与函数 图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图， 观察图象知， ， ，AD正确； 显然 ，而 ，则 ，即 ， ，，B正确； 显然 ， ，C错误. 5．（23-24高三上·广东·阶段练习）设 ，若方程 恰有三个不相 等的实根，则这三个根之和为 ；若方程 有四个不相等的实根 ， 且 ，则 的取值范围为 . 【答案】 6 【分析】由函数解析式知函数图象关于直线 对称，作出图象，可知 ， ， ，即可求得 ，同时把 用 表示，利用换元法，函数的 单调性求得其范围． 【详解】 ，因此 的图象关于直线 对称，作出函数 的图象，如图， 作直线 ， 若是三个根，则 ， ， ， 若是四个根，由图可知 ， ， ，所以 ， ，因此 ， ， 令 ，则 ， 对函数 ，设 ， ， 因为 ，所以 ， ，所以 ，即 ， 即 是增函数，所以 ， 因素 ， 在 时递增， 所以 ． 故答案为：6； ．【巩固练习1】（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 ，若关于 x的方程 有四个不同的根 （ ），则 的最大值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数形结合，把四个不同的根 用 表示，借助导数讨论函数的最值解决问题. 【详解】图， 由图可知当且仅当 时，方程 有四个不同的根， 且 ，由题： ， ， 设 则 ，令 ， 故 在 递增，在 递减， . 【巩固练习2】（23-24高三上·甘肃平凉·阶段练习）（多选）已知函数 ，若，且 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分段函数的表达式作出函数图象，由二次函数的对称性即可判断 A，根据对数的运算 性质可判断B，结合函数图象即可求解CD. 【详解】解：由函数 ，作出其函数图象如图所示， 由图可知， ； 当 时，令 ， 或 ， 所以 ； 由 ，得 ， 即 ， 所以 ，由图可知 【巩固练习3】已知函数 ，若方程 恰有四个不同的 实数解，分别记为 ， ， ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，所以 如下图示，要使 恰有四个不同的实数解，则 ， 不妨设 ，由图知： ，且 ，即 ， 令 ，可得 或 ，令 ，可得 或 ， 所以 ，而 在 上递减，故 ， 综上， . 【巩固练习3】（23-24高三上·湖北·开学考试）（多选）设函数 ，若 ，且 ，则 的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】BC 【分析】作出函数 的图象，结合图象可得 ，由 得 ，从而得 ，再根据 可求出结果. 【详解】作出函数 的图象，如图所示，设 ， 由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有四个交点， 交点的横坐标分别为 ，且 ， 当 时，令 ，解得 或 . 由图可知， , ， 由 ，可得 ，所以 ， 则有 ，所以 . 令 ， 易知 在 上为减函数，且 ， 故 ，且 . 【巩固练习4】已知函数 ，函数 有四个不同的零点 ， ， ， 且 ， ，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象特征可得 ，再由对数的运算性质得 ，然后代入 可求得结果. 【详解】 的图象如图所示， 因为 的图象关于直线 对称，且函数 有四个不同的零点 ， ， ， 所以 ， ， 所以 ，因为 ， 所以 ，得 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为： 【巩固练习5】（22-23高三上·四川内江·阶段练习）设 ，若方程 有四个不相等的实根 ，则 的取值范围为 . 【答案】 【分析】由 时， ，得到 的图象关于 对称，不妨设 ， 画出图象，易得 ， ， ，代入 求解. 【详解】解：当 时， ，则 的图象关于 对称， 不妨设 ， 如图所示： 由图象知： ， ， 所以 ， ， ， ， 所以 ， ， ，令 ， 则 . 【题型3】嵌套（复合）函数求值问题 嵌套（复合）函数求值问题的解题思路主要在于分层求解和逐步代入。首先，需要明确嵌套函数的 构成，即确定内层函数和外层函数。其次，根据题目给定的自变量值，先求解内层函数的值，这个 值将作为外层函数的输入。接着，将内层函数的输出值代入外层函数，进行求解，得到最终的函数 值。在求解过程中，需要注意函数的定义域，确保每一步的求解都在函数的定义域内进行。最后， 根据求解结果，给出问题的答案。  2  1 f f x  6．已知 f x是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x ，都有   2x 1   3 ， 则 f log 3 的值为________. 2 1 【答案】 2 2 1 【解析】令 f x =t ，则 f t= 2x 1 3 2 1 2 2 2 再令 ，则 f t =t   =t t 1，则 f x  1 x=t 2t 1 3 2t 1 2x 1 2x 1 1 f log 3= 2 2 1 f[f(t) ]2 【巩固练习1】任意tR 时， t 恒成立，且函数y＝f(t)单调，则 1 f( ) 2019 _________. 【答案】 2020 1 【解析】令 f(t) =m，则 ， t f(m)=21 1 1 再令 ,则有 f(m) =m2= mm1，则 f(t)=1 t m m m t 1 所以 f( )120192020. 2019 【巩固练习2】已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足 f[f x－ln(x＋1)]＝ln3＋2 f x f x＝ ，则函数 的解析式 _______，若不等式 f x＞m－ex x[0，＋) 对任意 恒成立，则实数m的取值范围是_______. 【答案】 f x=ln(x＋1)2； ，3 【 解 析 】 （ 1 ） 令 f x－ln(x＋1)=t， 则 f t＝ln3＋2=tln(t＋1)t 2， 则 f x=ln(x＋1)2 （2） f x＞m－ex ln(x＋1)2ex＞m，由单调性可知ln(0＋1)2e0＞m3＞m 【题型4】反函数对称性的应用 反函数对称性在高三题型中主要体现在其图像关于直线 y=x对称的性质。分析这类题型时，首先要 明确反函数与原函数图像的这种对称性。其次，通过观察或计算原函数的图像，可以推断出其反函 数的图像特征，如增减性、极值点等。再者，利用对称性，可以解决一些涉及反函数图像的问题， 如求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题等。最后，结合具体题目，灵活运用反函数的对称性， 可以有效简化解题过程，提高解题效率。 7．（2024·云南昆明·模拟预测）已知 是函数 的一个零点， 是函数 的一个零点，则 的值为（ ） A．1012 B．2024 C．4048 D．8096 【答案】B 【分析】由已知函数表达式变形后分别设出 ， 两点坐标，再利用反函数的性质结合两直线垂直， 斜率之积的关系得到结果. 【详解】由 得 ，由 得 ，设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 又 与 的图象关于直线 对称，且 的图象也关于直线 对称， 则点 ， 关于直线 对称，即 ，得 8．已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c，则 ． 【答案】3 【分析】先把 转化为函数 ， ， 与 的交点的横坐标，再利用 与 互为反函数，可得 ，又 ，所以 . 【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数 ， ， 的图象，它们的图象与函 数 的交点的横坐标就是 . 因为 ， 互为反函数，其图象关于直线 对称， 与 垂直，所以 . 又 ，所以 . 所以 . 若x 满足2x2x=5，x 满足 2x2log (x1)5 ,则 x x = ______. 1 2 2 1 2 7 【答案】 2 5 5 【解析】2x2x=52x1=x ，2x 2log (x 1)5log (x 1)x  2 2 2 2 2 2 2 2 5 令 f (x)=2x1, f (x)=log (x1), f (x)=x 1 2 2 3 2因为与关于 y＝x 对称， 所以 f (x), f (x)关于 y＝x－1 对称， 1 2 从而它们与 f (x)的交点也关于 y＝x－1对称， 3 7 3 易求出 与y＝x－1的交点为 , ， f (x) 4 4 3 7 7 所以x x 2  . 1 2 4 2 9．（2024·山东淄博·一模）设方程 ， 的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出 ，再计算判断即得. 【详解】由 ，得 ，由 ，得 ， 依题意，直线 与函数 图象交点的横坐标分别为 ， 而函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，又直线 垂直于直线 ， 因此直线 与函数 图象的交点关于直线 对称，即点 在直线 上， 则 ， ，于是 ， ，而 ， 所以 ，即 . 【巩固练习1】已知 分别是方程 与 的根，则 的值为 . 【答案】 【分析】利用反函数的性质，数形结合即可得解.【详解】易知 分别是函数 与 及函数 与 交点 的横坐标， 易知函数 与函数 互为反函数，即其图象关于 对称， 且 也关于 对称， 即函数 与 及函数 与 交点 关于 对称， 又易得 与 交点为 ，所以 的中点为 ， 故 . 故答案为： . 【巩固练习2】（2024·湖南怀化·二模）（多选）已知函数 的零点为 的零点 为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数零点的意义，结合函数 与 互为反函数，确定 的关系，再逐项分 析判断得解. 【详解】依题意， ， ， 则 分别是直线 与函数 ， 图象交点的横坐标， 而函数 与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称， 又直线 垂直于直线 ，则点 与点 关于直线 对称， 则 ，于是 ， ， ，BC正确，A错误； ，即 ，D错误. 故选：BC【巩固练习3】(多选)已知函数 f x2x x2的零点为a,函数g(x)log xx2的零 2 点为b, 则（ ） A.ab  2 B.2a log 2 b2 C.a2 b2 3 D.0ab1 【答案】ABD 【解析】在同一坐标系中做出 y  2x ， y log x， y 2x 的图像，则A(a,2a),B(b,log b) 2 2 由反函数对称性可知A,B关于直线y=x对称，而A,B两点又在 y  2x 上，所以A,B关于点（1,1）对 称， 则ab  2，2a log 2 b2，AB正确 2 ab 因为a>0,b>0,且a≠b，所以0＜ab＜  =1，D正确；  2  a2 b2 ab 2    =1a2 b2 2，C错误. 2  2  y 3 2 A 1 B 2 1 O 1 2 3 x 1 2 【法二】——同构式（指数式化为对数式） 由题可知2a a20，log bb20， 2 而2a a20log 2a 2a 20， 2 构造方程 log xx20 ，则2a ，b是方程的根 2 而函数y log xx2是单调增函数，所以2a b， 2 代入可得2a a20ab2；log bb202a log b2，则AB正确 2 2ab 2 a2 b2 因为a>0,b>0,且a≠b，所以0＜ab＜  ＜ ，则B错误,D正确  2  2 【巩固练习4】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程 有两个不同的根，分别是 则 （ ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】方程 有两个不同的根等价于函数 与 的图象有两个 交点，作出函数 与 的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得： 为R上的增函数，且 当 时， ， ， 当 时， ， ， 方程 有两个不同的根等价于函数 与 的图象有两个交点， 作出函数 与 的图象如下图所示： 由图可知 与 图象关于 对称， 则 两点关于 对称，中点 在 图象上， 由 ，解得： . 所以 . 【巩固练习5】（23-24高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数 的零点为 ， 的零点为 ，则（ ）A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可. 【详解】∵函数 的零点为 ， 的零点为 ， ∴函数 与函数 图象的交点的横坐标为 ， 函数 与函数 图象的交点的横坐标为 ， 作函数 、函数 、函数 的图象如图6，点A的横坐标为 ，点B的横坐标为 ， ∵函数 与函数 的图象关于直线 对称，函数 的图象关于直线 对称， ∴点A、B关于直线 对称，又∵点A、B在直线 上，∴点A、B关于原点对称， 对于A：∴ ，故选项A错误； 对于B：易知 ，故选项B正确； 对于C：∵ ， ， ，∴ ，即选项C正确； 对 于 D ： 由 零 点 存 在 定 理 易 知 ， ， ∴ ， 即 ， ，故选项D正确 【巩固练习5】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数 的零点分别为 ，则 的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【 分 析 】 本 题 考 查 函 数 的 零 点 问 题 ， 指 数 函 数 与 对 数 函 数 互 为 反 函 数 ， 令 ，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出 ， 即可求 的值． 【详解】由题意， ，令 ， 因为 与 互为反函数，两个函数的图象关于直线 对称， 且 的图象也关于直线 对称， 设 ， 则 关于直线 对称， 所以 且 由 可得 ， 所以 ． 由 可得 ， 所以 ， 又 代入上式可得 ， 则 ． 【题型5】不等式恒成立与能成立问题 （1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； （2）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，且值域为 ，则 不等式 在区间D上恒成立 ． 不等式 在区间D上恒成立 ． （3）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； （4）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，如值域为 ，则对不等式有解问题有以 下结论： 不等式 在区间D上有解 不等式 在区间D上有解 10．已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围 ． 【答案】 【解析】因为 ，由 ，即 ， 即 ，设 ， 根据题意知存在 ，使得 成立，即 成立， 由 ，可得 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，所以 ， 即实数 的取值范围是 . 11．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原不等式做适当变形构造函数 ，利用函数单调性把参数 分离出来，最后 转化为求函数最值问题。 【详解】∵ ∴ 两边加上 得 设 ，则 在 上单调递增，∴ ，即 令 ，则 ∵ 的定义域是 ∴当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， ∴当 时， 取得极大值即为最大值，且 ， ∴ ，∴ 即为所求. 【巩固练习1】已知函数 ，若 在 上有解，实数 的取值范围为 ________． 【答案】 【详解】因为 在 上有解，所以 在 上有解， 当 时， 在 上有解， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递增，故 ， 则当 时， ，即 ． 所以，当 时 ；当 时 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 时， ，所以 ， 综上可知，实数 的取值范围是 ． 【巩固练习2】已知函数 ，若存在 ，使得 成立， 求实数 的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为 ，使得 ， 所以 ， 令 ， 即 ，因为 ， 设 ， 所以 在 单调递减，又 ， 则当 ，当 ， 故函数 在 单调递增， 单调递减， 的最大值为 所以， ， 即实数 的取值范围是 ． 【巩固练习3】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的不 等式 有解，则 的最小值是 . 【答案】 【分析】参变分离可得 有解，令 ， ，利用导数求出 ，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由 得 ，显然 ， 所以 有解， 令 ，则 ， 令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，即 ， 所以 ，则 ，即 的最小值是 . 【巩固练习4】已知函数 满足 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，实数 的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意 在区间 上恒成立，即 恒成立，即 在区间 上恒成立， 令 ， ，只需 ， 因为 ， 令 ， ，有 ， 所以函数 在 上单调递减， 所以 ，即 ， 所以当 时， ；当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，即 ， 所以实数 的取值范围为 ． 【巩固练习5】（2024高三下·全国·专题练习）若关于 的不等式 恒成立， 则实数 的最大值为 ． 【答案】 【分析】变形为同构不等式 ，结合 的单调性得 在 上 恒成立，利用导数求出 的最小值即可得解. 【详解】由 ，得 ，得 ． 令 ，因为 ，所以函数 在 上单调递增， 则不等式转化为 ，所以 ，即 在 上恒成立． 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 所以当 时， 有最小值，即 ，则 的最大值为 ． 【题型6】存在，任意双变量问题存在任意双变量问题 （1） ， 成立 （2） ， 成立 （3） ， 恒成立 （4） ， 恒成立 （5） 成立 （6） 成立 （7）若 ， 的值域分别为A，B，则有： ① ， ，使得 成立，则 ； ② ， ，使得 成立，则 . 12．已知函数 ， ．若 ， ，使 成立，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 的定义域为 ， 则 ， 当 时，∵ ，∴ ， ∴当 时， ；当 时， ． 故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 ，因为 所以 ，∵ ，∴ ， ∴ 在 上为增函数．∴ ， 依题意有 ，∴ ，∴ 13．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ，若存在 使得 ，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求得 在区间 上的值域，求得 在区间 上的值域，由此求得 的取值范围. 【详解】对于 ， ， 所以 在区间 上单调递增， ， 所以当 时， 的值域为 . 对于 ， ， 若 ，则 ，不符合题意. 若 ，则 ，所以 在 上单调递增， 所以当 时， 的值域为 ，符合题意，D选项正确. 当 时， 在区间 上 单调递增， 在区间 上 单调递减， ，而当 时 所以当 时， 的值域为 ，不符合题意. 综上所述，实数 的取值范围为 . 14．已知函数 ， ， ， ．对 ，都 ，使 得 成立，则 的范围是 ． 【答案】 【分析】对 ，都 ，使得 成立，等价于 恒成立，对 的取值进行分类讨论，利用单调性求出 和 ，列出关于 的不等式组求得答案. 【详解】函数 ，在 上单调递增，所以 ， 当 时， 在区间 上单调递增， ， 所以 ，解得 ， 又因为 ，所以 ，解得 ；当 时， 在区间 上单调递增，其最小值为 ， 所以有 ，解得 ， 当 时， 在区间 上单调减，在 上单调增， 其最小值为 ， 所以有 ，解得 ， 当 时， 在区间 上单调减， ， 此时 ，无解； 所以 的取值范围是 ， 【巩固练习1】已知 ， ，若 ， ，使得 成立， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知： ，利用导数求 ，根据二次函数性质求 ， 即可得结果. 【详解】由题意可知： ， 因为 ，则 ， 注意到 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ； 可知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 ， 又因为 ，由二次函数性质可知 ， 可得 ，即实数 的取值范围是 . 【巩固练习2】已知函数 ， ，对于存在的 ，存在 ，使，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件可转化为 ， ， ，，再分别求 列不等式 可求 的取值范围. 【详解】因为对于存在 ，存在 ，使 ， 所以 ， ， ， 又 ， ， 显然 在 上单调递减，则 ， 当 时， ，即 在 上单调递增， 则 ， 由 解得： ， 所以实数 的取值范围为 . 【巩固练习3】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的 ，总存在唯一的 ， 使得 成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关 系列式求解作答. 【详解】由 ，得 ， 令 ， ， 当 时， ，函数 在 上单调递增， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 当 时， 取最大值，最大值为0； 又 ， ，如下图，令 ，显然函数 在 上单调递减，函数 的值域为 ， 由 对 任 意 的 ， 总 存 在 唯 一 的 ， 使 得 成 立 ， 得 ， 因此 ，解得 . 所以实数 的取值范围是 . 【巩固练习4】（2024·山东泰安·二模）已知函数 . (1)若 的极大值为 ，求 的值； (2)当 时，若 使得 ，求 的取值范围. 【解析】（1）因为函数 ，可得 ， 因为 ，令 ，解得 或 ， 当 时，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增 所以 的极大值为 ，不符合题意； 当 时，即 时， ， 在 上单调递增，无极大值； 当 时，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上 单调递增， 所以 极大值为 ，解得 . （2）当 时， 由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，且当 时， ，当 时，当 时，即 时，当 时， 单调递增， ， 又因为当 时， ， 因为 ，所以，当 时， 使得 ， 当 时，即 时， 当 时， 单调递增， ， 当 时， 若满足题意，只需 ，即 ， 当 时，即 时， 当 时， 在 上单调递减， 上单调递增 所以函数 的最小值为 ， 所以 ， 又因为 时， ， 若满足题意，只需 ，即 ， 因为 ，所以 ， 所以，当 时，不存在 使得 ， 综上，实数 的取值范围为 . 【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题 复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函 数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数. 15．设 ，若关于x的方程 有三个不同的实数根，则实数t的取值 范围为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数 的图象，由题意可得 或 ， 的图象与直线 共 有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围. 【详解】由 得 或 ，作出函数 的图象， 易知当 时，不符合题意； 当 时， ，结合函数 的图象知，要使方程 有三个不同的解，需满 足方程 有两个解，方程 有且只有一个解， 由图象知 ，所以 ． 故选：C． 16．（2024·高三·河南·期末）已知函数 ，若方程 有 三个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数 ，可得 ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 ， 当 时， ，且 ， 画出函数 的图象，如图所示， 令 ，要使得 有三个不同的实数解， 则 有两个不同的实数根 和 ， 且 或 ，若 且 时，此时无解； 若 且 时，令 ， 只需要 ，解得 . 故选：C. 【巩固练习1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，若关于 的方程 恰有3个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， 所以 ，令 ，得 ， 当 时， ， 递增；当 时， ， 递减； 所以当 时， 取得极大值 ， 图象如图所示： 方程 ，即为 ， 解得 或 ， 由函数 的图象知： 只有一个解， 所以 有两个解， 所以 ，解得【巩固练习2】（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 ， ，若 关于x的方程 有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 ，作出函数 的图象，结合图象得出关于 的方程 根的情况，再 根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解. 【详解】如图，作出函数 的图象， 令 ， 由图可知，当 时，关于 的方程 有 个不同的实数根， 当 或 时，关于 的方程 只有 个实数根， 因为关于x的方程 有三个不同实数根， 所以关于 的方程 的一个根在 上，另一个根在 上， 或方程的两个根一个为 ，另一个在 上， 若 为方程 的根时，则 ， 当 时，方程的另一个根为 ，不符题意， 当 时，方程的另一个根为 ，不符题意， 若 为方程 的根时，则 或 ， 当 时，方程的另一个根为 ，不符题意， 当 时，方程只有一个根为 ，不符题意， 若关于 的方程 的一个根在 上，另一个在 上时， 令 ， 则 ，即 ，解得 ， 综上所述，实数t的取值范围是 .【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题 在高考数学命题中，嵌套函数问题常以考察数学思维能力的题型出现，常出现在选择或填空的 压轴题中。对于嵌套问题，具有抽象程度高，综合性强的特点，是函数理解的一个难点，但却可以 很好地考查学生对于数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养，是高考数学的高 频热门考点。这类题典型的特点就是很绕，烧脑，需要慢慢悟，仔细体会。主打就是一个数学逻辑 推理。 这类题要做对，必须对函数有深刻的理解。函数实际上就是自变量与函数值在一定的法则下 的对应关系。只要遵循对应法则，那么自变量和函数值可以通过换元化归变化成不同的形式（当然 转化的形式要对解题目标有效，即不做无效变换） 17．定义在 上的 满足对 ，关于 的方程 有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【 分 析 】 依 题 意 ， 对 化 简 得 ， 即 ，画出 图象，结合图象即可得到答案. 【详解】关于 的方程 可化简为 ， 即 有7个不同的根，画出 的图象， 观察可以看出当 有4个不同的根， 故只需 有3个不同的根即可，所以 .18．设函数 ，若关于x的函数 恰好有五个零点.则 实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出 图象，换元后数形结合分析可得方程 两根的范 围，再利用二次函数根的分布列出不等式组即可得解. 【详解】作出函数 的图象如图， 令 ，函数 恰好有五个零点． 则方程 化为 ， 则 必有两个不同实根 ，则 ， 结合图形可知 ，则 必不为 ， 故方程 的一根在区间 内，另一根在区间 内， 令 ， 则 ，解得： ， 综上：实数 的取值范围为 . 19．（多选）已知函数 ，若函数 恰好有4个不同的零点，则 实数 的取值可以是（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【分析】令 ，则 ，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求 的值，再求x 的值，结合函数图象分析运算. 【详解】由题意可知，当 时， 在 上单调递减，则 ； 当 时， 在 上单调递增，则 ； 若函数 恰好有4个不同的零点， 令 ，则 有两个零点，可得， 当 时，则 ，解得 ； 当 时，则 ，可得 ； 可得 和 均有两个不同的实根， 即 与 、 均有两个交点， 则 ，且 ，解得 ， 综上所述：实数 的取值范围为 . 且 ，故A、D错误，B、C正确. 故选：BC. 【巩固练习1】（23-24高三上·山东滨州·期末）设函数 若关于 的方程 有5个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令 ，代入方程解得 或 ，则 和 共有5个不同的实数 根.作出 的图象，观察图象即可求出 的取值范围. 【 详 解 】 令 ， 则 ， 即 ， 即 ，解得 或 ，则 和 共有5个不同的实数根.作出 的图象，如图：由图可知， ，解得 . 【巩固练习2】设函数 ，若方程 有6个不同的实数解， 则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出 的图象如下图所示，由图可知要使 有 个解，则需 ， 依题意，方程 有6个不同的实数解， 令 ，则 有两个不相等的实数根 ， 且 ，令 ， 则 ，解得 ， 所以实数a的取值范围为 . 故选：B 【巩固练习3】已知函数 若方程 有5个不同的实数解， 则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 的大致图象如图所示， 令 ，则 可化为 ，因为方程 有5 个不同的实数解，所以 在 上各有一个实数解或 的一个 解为 ，另一个解在 内或 的一个解为 ，另一个解在 内. 当 在 上各有一个实数解时， 设 ，则 解得 ； 当 的一个解为 时， ，此时方程的另一个解为 ，不在 内，不满足 题意； 当 的一个解为 时， ，此时方程有两个相等的根，不满足题意. 综上可知，实数 的取值范围为 . 【题型9】2个函数存在对称点问题 20．已知函数 ，若 的图象上存在两个点 关于原点对称，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】由函数解析式可得，函数图象如下图示， 如图，要使 的图象上存在两个点 关于原点对称， 只需 ，即 即可. 21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上存在点 ，且 ， 关于 轴对称，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数 与函数 的图象关于x轴对称， 根据已知得函数 的图象与函数 的图象有交点， 即方程 在 上有解， 即 在 上有解． 令 ， ， 则 ， 可知 在 上单调递增，在 上单调递减， 故当 时， ， 由于 ， ，且 ， 所以 ．【巩固练习1】（2024·四川内江·一模）已知函数 ， ， ，若 与 的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称，则实数 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于关于 点的坐标之间的关系得函数 关于 对称的函数为 ， 进而将问题转化为函数 与函数 图象在区间 有交点，即方程 在区间 上有解，故 ，进而得 .设 是函数 的图象 上的任意一点，其关于 对称的点的坐标为 ， 所以 ，所以函数 关于 对称的函数为 . 由于 与 的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称， 故函数 与函数 图象在区间 有交点， 所以方程 在区间 上有解， 所以 ，即 ，所以 . 【巩固练习2】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内 两点满足条件： ①点 都在 的图像上； ②点 关于原点对称，则对称点对 是函数的一个“兄弟点对”（点对 与 可看作一个“兄弟点对” ． 已知函数 ，则 的“兄弟点对”的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D【解析】设 ，则点 关于原点的对称点为 ， 于是， ，只需判断方程根的个数， 即 与 图像的交点个数， 因为 ， ； ， ； ， ； 作出两函数的图象，由图知， 与 的图象有5个交点，所以 的“兄弟点对”的个数为5个． 故选：D． 【巩固练习3】）已知函数 ，函数 与 的图象关于直线 对称，若 无零点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知 ， ，设 ，当 时， ，此时 单调递减，当 时， ，此时 单调递增，所以 ， 的图象如下，由图可知，当 时， 与 无交点，即 无零点． 故选：D．【题型10】隐零点问题初步 1、解题感悟 隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存 在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零 点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题 隐零点问题本质上还是函数的零点问题，只不过这个零点的值我们没有办法用一个确定的值来 表示而已，也就是说我们明知道这个函数有一个零点，但就是没办法给出这个零点的具体数值，不 可描述，这时候我们就称为这个零点为隐零点，虽然我们没办法给出具体值，但我们可以给出这个 零点的大致范围，它在中学数学最大的用处就是把这个存在但没办法具体描述的数，当成一个确定 的常数来用，然后瞒天过海完成运算. 2、解决办法 往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的 零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用 放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时， 需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题， 或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。 确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象 特征得到，甚至可以由题设直接得到等等，至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定， 因此必要时尽可能缩小其范围．进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那 么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键，最后值得说明的是， 隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现. 22．已知函数 ，若 在 有实数解，则实数 的取值范围是 （ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先分析题意，由于 ，设出 进一步分析 ， 则 ，分析 单调性解出实数 的取值范围. 【详解】根据题意， ，所以 ，令 ， 则函数 在 上存在零点等价于 与 的图象有交点. ， 令 ，则 ，故 在 上单调递增， 因为 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ， 即 ，即 ， ， 所以当 时 单调递减，当 时 ， 单 调 递 增 ， 所 以 ， 又 时， ，故 ，所以 【巩固练习1】（2024·广东·二模）已知函数 的最小值为0，则a的值为 . 【答案】 【分析】对 求导，进而研究 的单调性，根据 有最小值为0，则 使 ，且 求出 ，即可求参数值. 【详解】由 ，且 ， 令 ，则 ，即 在 上递增， 所以 在 上递增，又 ， ， ， ， 所以， 使 ，且 时， ， 时， ，所以 在 上递减，在 上递增， 所以由 ，得 ， 令函数 ， ， 所以 在 上是增函数，注意到 ，所以 ， 所以 .