文档内容
重难点突破 02 线性代数背景下新定义
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：行列式背景............................................................................................................................2
题型二：矩阵背景................................................................................................................................7
题型三：向量组背景..........................................................................................................................16
题型四：特征向量背景......................................................................................................................22
03 过关测试.........................................................................................................................................28线性代数中处理新定义问题时，首要任务是准确理解新定义的本质。方法技巧上，可以采取以下步骤：
一、深入剖析新定义，明确其内涵与外延，把握关键要素。
二、尝试将新定义与已知概念、定理或性质建立联系，利用已有知识体系进行推理。
三、在解题过程中，灵活运用矩阵运算、线性变换、特征值与特征向量等工具，以及适当的代数或几
何方法。
四、注重验证结果的正确性，确保解题步骤和答案无误。
总结时，应强调新定义在解题中的关键作用，回顾解题过程中用到的关键知识点和技巧。同时，总结
新定义问题的常见类型和解题思路，以便在遇到类似问题时能迅速找到解决方法。通过不断练习和总结，
可以逐渐提高解决线性代数新定义问题的能力，加深对线性代数学科的理解和掌握。
题型一：行列式背景
【典例1-1】（2024·河北保定·三模）对于任意给定的四个实数 ， ， ， ，我们定义方阵
，方阵 对应的行列式记为 ，且 ，方阵 与任意方阵
的乘法运算定义如下： ，其中方阵 ，且 .设
， ， .
(1)证明： .
(2)若方阵 ， 满足 ，且 ，证明： .
【解析】（1）设方阵 ，
则 ，
，，
，
则 ，
所以 .
因为 ，所以 ，证毕.
（2）设 ， ，则由 ，
可得 ，①
，②
，③
，④
由① ④，得 ，⑤
由② ③，得 ，⑥
由⑤ ⑥，可得 ，
整理得 ，即 .
由 ，可得 或 则 .
又 ，
所以 ，证毕.
【典例1-2】（2024·江苏南通·模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件
的二元一次方程组 .
(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；
(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中 的系数 所唯一确定的一个数，按
照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表 ，由此可以看出 是这个数表中左上到
右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称 为该数表的二阶
行列式，记为 .当 ≠0时，二元一次方程组 有唯一一组解.同样的，行列式 称为三阶行列式，且 = .
（i）用二阶行列式表示方程组 的两个解；
（ii）对于三元一次方程组 ，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次
方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解.
(3)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【解析】（1）该方程组的两个解为 ；
（2）（i）由（1）得 ，
所以该方程组的两个解为 ；
（ii）类比二元一次方程组，将三元一次方程组中 的系数排成一个数表 ，则可以得到
三阶行列式 .
令 ，当 时，该三元一次方程组有唯一一组解，
即得该三元一次方程组有唯一一组解的条件为，
用三阶行列式表示该方程组的解为
， ， ；
（3） ，
令 ，则 ，
其中 ，
因为 ，所以 ， ，
故 ，
当 时， 无解，不合要求；
当 时， ，
其中 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为2，故 ；
当 时， ，
其中 在 上单调递减，
故当 时， 取得最大值，最大值为-2，故 ，
因为存在 ，使得 ，所以 或 ，
综上所述，m的取值范围为 .
【变式1-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一
个标量值.行列式具有简洁､对称､优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.
利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：；三阶行列式定义为：
例如： .在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标为 ，
，则 的面积公式可表示为：
(1)已知 ，求 的面积.
(2)已知点 ，若点 是圆 上的动点，求 面积的最小值.
(3)已知椭圆 ，它的左焦点坐标为 ，右顶点坐标为 ，设点 的坐标为
，过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值.
【解析】（1）由题意得
；
（2） ，
设 ，
则
，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，
最小值为 ；
（3）由题意得 ，故 ，
故椭圆方程为 ，过原点 的直线交椭圆于点 ，设 ，
由对称性可知 ，
故
，
故当 时， 面积取得最大值，最大值为4.
题型二：矩阵背景
【典例2-1】（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对
象包括向量和矩阵.对于平面向量 ，其模定义为 .类似地，对于 行 列的矩阵
，其模可由向量模拓展为 （其中 为矩阵中第 行第 列的数，
为求和符号），记作 ，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵
，其矩阵模 .弗罗贝尼乌斯范数在机器学
习等前沿领域有重要的应用.
(1) ， ，矩阵 ，求使 的 的最小值.(2) ， ，，矩阵
求 .
(3)矩阵 ，证明： ， ， .
【解析】（1）由题意得 .
若 ，则 ，即 .
因式分解得 .因为 ，所以 .
所以使 的 的最小值是10.
（2）由题得第1对角线上的平方和为 ，
第2对角线上的平方和为
，
第 对角线上的平方和为
，
第 对角线上的平方和为 ，
所以所以 .
（3）由题意知，证明
等价于证明 ，
注意到左侧求和式 ，
将右侧含有 的表达式表示为求和式有
故只需证 成立，
即证 成立，令 ，
则需证 成立，
记 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递
增，
所以 ，
所以 在 上恒成立，即 成立，
所以原不等式成立.
【典例2-2】行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换
所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们
把形如 ， ， 这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵 两
边的“[ ]”改为“ ”，得到二阶行列式 ，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为
．
(1)求二阶行列式 的值；(2)求不等式 的解集；
(3)若存在 ，使得 ，求m的取值范围．
【解析】（1） ；
（2） ，
故 ，故 ，
解得 ，
不等式 的解集为 ；
（3） ，
令 ，则 ，
其中 ，
因为 ，所以 ， ，
故 ，
当 时， 无解，不合要求，
当 时， ，
其中 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为2，故 ；
当 时， ，
其中 在 上单调递减，
故当 时， 取得最大值，最大值为-2，故 ，因为存在 ，使得 ，所以 或 ，
m的取值范围为 .
【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ，
， 为常数），将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公
式，该变换公式①可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，
矩阵通常用大写英文字母 ， ，…表示.
(1)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
(2)在平面直角坐标系 中，求双曲线 绕原点 按逆时针旋转 （到原点距离不变）得到的双曲线
方程 ；
(3)已知由（2）得到的双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点（ 在第一象
限），与 轴交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）设 ， ，则 ， ， ，
故 ，
，
所以坐标变换公式为 ，
该变换所对应的二阶矩阵为 ；
（2）设曲线 上任意一点 在旋转角是 的旋转变换下所得点坐标为 .则 ，即 ，
得 ，则 ，所求曲线方程为 ；
（3）
①直线 斜率存在时，可设直线 的方程为 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )
1 1 2 2
由 ，得 ，
所以 ， ，且 ，
当 时，取 ， ，所以直线 方程为： ，
直线 方程与双曲线 方程联立可得 ，解得 或 ，
所以 ， .
所以 ，所以 ，可得 ；
当 时，设 的斜率分别为 ，
， ，
所以 ，，
所以 .
因为 在第一象限，所以 ，所以 ，所以 .
②直线 斜率不存在时，可得 ，
可得 ， ，
所以 ，同理可得 .
综上可得， 为定值 ，得证.
【变式2-2】有 个正数，排成 矩阵（ 行 列的数表）： ， 表示位于第
行，第 列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知
， ， .
(1)求公比.
(2)用 表示 .
(3)求 的值.
【解析】（1）由题可知第4行公差为 ，由此可知
由第四列数据可知公比为：
（2） ， 是首项为 ，公差为 的等差数列，故
（3）因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以由（2）可知 ，故
，设 的前n项和为①
②
得
【变式2-3】（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由 个数 排列成的m
行n列的数表 称为 矩阵，其中 称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于
两个矩阵A和B，如果4的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若
， ，则 ，其中
.已知 ，函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 是 的两个极值点，证明： ， .
【解析】（1）由矩阵乘法定义知 ， ，
∵ ，
∴当 时， ， 单调递增，
时，方程 的判别式 ，
当 时， ， ， 单调递增，当 或 时， ，令 ，方程两根记为 ， ，
则 ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
当 时， ，
当 和 时 ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
综上，当 时， 单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 和 上单调递增，在 上
单调递减.
（2）∵ 有两个极值点，由（1）知 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 单调递增，
∴ ，
由（1）知 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又由（1）知 在 上单调递减且 ，∴ ，
∴ .
题型三：向量组背景
【典例3-1】（2024·贵州黔东南·二模）一般地， 个有序实数 ， ， ， 组成的数组，称为 维向量，
记为 .类似二维向量，对于 维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、
数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如 ，则 ；若存
在不全为零的 个实数 ， ， ， 使得 ，则向量组 ， ， ， 是线性相
关的向量组，否则，说向量组 ， ， ， 是线性无关的.
(1)判断向量组 ， ， 是否线性相关？
(2)若 ， ， ，当 且 时，证明： .
【解析】（1）设存在不全为零的 个实数 ， ， 使得
则 ，即 ，
由① ②消去 得: ，由① ③消去 得: ，
则该方程有无数组解，所以不妨取 ，则 ， ，
，即向量组 ， ， 是线性相关的.
（2）证明： ， ， ，
，
先证： ， ，
设 ， ，则 ，
∴f (x)在(0,+∞)上单调递增， 当 时， ，即 ，
， .
同理可证： ， .
，
，
.
当 且 时，
.
综上可得，当 且 时， .
【典例3-2】对于一组向量 （ ，且 ），令 ，如果存在
，使得 ，那么称 是该向量组的“H向量”．
(1)设 ，若 是向量组 的“H向量”，求实数x的取值范围；
(2)若 ，向量组 是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向
量”，若不存在说明理由；
(3)已知 均是向量组 的“H向量”，其中 ， ，设在平面直
角坐标系中有一点列 满足 为坐标原点， ，且 与 关于点 对称，与 关于点 对称，求 的最小值．
【解析】（1）由题意可得： ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，
解得： ；
（2）假设存在“ 向量” ，因为 ，
且 ，
则由题意得：只需要使得 ，
又因为 ，
所以 ，
则 ，
即满足
，又因为 ，
所以 满足上式，故存在“ 向量”为 ；
（3）由题意得： ，
同理可得： ， ，
上面三个式子相加得： ，
即 ，所以 ，
设 ，则由 得： ，
设 ，则依题意得： ，
得,
所以 ，
而 ，
当且仅当 时等号成立，
故 .
【变式3-1】对于一组向量 ，（ 且 ），令 ，如果存在
，使得 ，那么称 是该向量组的“长向量”．
(1)设 ， 且 ，若 是向量组 的“长向量”，求实数 的取值范围；
(2)若 且 ，向量组 是否存在“长向量 ”？若存在，求出正
整数 ；若不存在，请说明理由；
(3)已知 均是向量组 的“长向量”，其中 ， ．设在平面直
角坐标系中有一点列 满足， 为坐标原点， 为 的位置向量的终点，且 与 关于点
对称， 与 （ 且 ）关于点 对称，求 的最小值．
【解析】（1）由题意可得： ， ， ，
则 ，解得：
（2）存在“长向量”，且“长向量”为 ， ，理由如下：
由题意可得 ，若存在“长向量” ，只需使 ，
因为 ， ， ， ， ， ，
所以 ，故只需使
，
即 ，即 ，
当 或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为 ， .
（3）由题意，得 ， ，即 ，即 ，同理 ，
三式相加并化简，得： ，
即 ， ，所以 ，
设 ，由 ，解得 ，
即
设 ，则依题意得： ，
得 ，
故 ，
，
所以 ，
因为
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 .
【变式3-2】若 ，则称 为 维空间向量集，
为零向量，对于 ，任意 ，定义：
①数乘运算： ；
②加法运算： ；
③数量积运算： ；
④向量的模： ，
对于 中一组向量 ，若存在一组不同时为零的实数 使得
，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于 ，判断下列各组向量是否线性相关：
① ；
② ；(2)已知 线性无关，试判断 是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于 中的任意两个元素 ，均有 ，
【解析】（1）对于①，假设 与 线性相关，
则存在不全为零的实数 使得 ，
则 ，即 ，
可取 ，所以 线性相关，
对于②，假设 线性相关，
则存在不全为零的实数 使得 ，
则 ，得 ，
可取 ，所以 线性相关.
（2）假设 线性相关，
则存在不全为零的实数 ，
使得 ，
则 ，
因为 线性无关，
所以 ，得 ，矛盾，
所以向量 线性无关.
（3）设 ，
则 ，
所以 ，
又 ，
所以
，当且仅当 同时成立时，等号成立，
所以 .
题型四：特征向量背景
【典例4-1】已知O为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特
征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数．
(1)记向量 的相伴函数为 ，若 且 ，求 的值；
(2)设 （ ），试求函数 的相伴特征向量 ，并求出与 方向
相反的单位向量﹔
(3)已知 ， ， ，为函数 （ ）的相伴特征向量，
，请问在 的图象上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意知，向量 的相伴函数为
由题意 ，且 ， ， ，
故 ；
（2）因为
故函数 的相伴特征向量 ，
则与 反向的单位向量为
（3）因为 ，
其相伴特征向量 ，故 ，所以 ，
则 ，
设点 ，
又 ， ，
所以 ， ，
若 ，则 ，
即 ， ，
因为 ， ，
故 ，
又 ，故当且仅当 时， 成立
故在 的图象上存在一点 ，使得
【典例4-2】已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特
征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数.
(1)记向量 的相伴函数为 ，求当 且 时， 的值;
(2)设函数 ，试求 的相伴特征向量 ，并求出与 共线的单位向
量;
(3)已知 ， ， 为 的相伴特征向量， ，
请问在 的图象上是否存在一点 ，使得 .若存在，求出 点坐标;若不存在，说明理由.【解析】（1）由已知可得： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
，
（2） ，
，
，
，
所以 ， ，
，
所以与 共线的单位向量为 和 .
（3） ，
因为 为 的相伴特征向量，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
，
假设在 的图象上是否存在一点 ，使得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
令 ，
所以 ，
，
当 时， ；当 时， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以当且仅当 且 时， 成立，
此时， 且 ，即点 ，
所以 的图象上是存在一点 ，使得 .
【变式4-1】我们学过二维的平面向量，其坐标为 ，那么对于 维向
量，其坐标为 .设 维向量的所有向量组成集合
.当 时，称为 的“特征向量”，如 的“特征向量”有 ， ， ，
.设 和 为 的“特征向量”， 定义
.
（1）若 ， ，且 ， ，计算 ， 的值；
（2）设 且 中向量均为 的“特征向量”，且满足： ， ，当 时， 为奇数；当
时， 为偶数.求集合 中元素个数的最大值；
（3）设 ，且 中向量均为 的“特征向量”，且满足： ， ，且 时，
.写出一个集合 ，使其元素最多，并说明理由.
【解析】（1） ，
；
（2）设 ， ， ，
时， 为奇数，则仅有1个1或3个1，
时， 为偶数，
①当仅有1个1时， ，为使 为偶数，
则 ，即 不同时为1，
此时 ，共4个元素，
②当仅有3个1时， ，为使 为偶数，
则 ，即 不同时为0，
此时 ，共4个元素，
③当 时，则 ，不符题意，舍去，
综上所述，集合 中元素个数的最大值为4；
（3） ， ，时， ，则 ，
则 只有3种情况， ，且 成对出现，
所以B中最多有 个元素， .
【变式4-2】已知O为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特
征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数.
(1)记向量 的相伴函数为 ，若当 且 时，求 的值；
(2)已知 ， ， 为 的相伴特征向量， ，请问在
的图象上是否存在一点P，使得 .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
(3)记向量 的相伴函数为 ，若当 时不等式 恒成立，求实数
k的取值范围.
【解析】（1）向量 的相伴函数为 ，
所以
∵ ，
∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
所以 .
（2）由 为 的相伴特征向量知：
所以 .
设 ，∵ ， ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ∴ .，∴
∵ ，∴ ，
∴ .又∵ ，
∴当且仅当 时， 和 同时等于 ，这时（*）式成立.
∴在 图像上存在点 ，使得 .
（3）向量 的相伴函数为
当 时， ，
即 ， 恒成立.
所以①当 ，即 时， ，所以 ，
即 ，由于 ，所以 的最小值为 ，所以
；
②当 ， ，不等式 化为 成立.
③当 ， 时， ，所以 ，
即 ，由于 ，所以 的最大值为 ，所以
.
综上所述，k的取值范围是 .1．给出以下关于线性方程组解的个数的命题．
①， ②， ③， ④，
（1）方程组①可能有无穷多组解；
（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；
（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；
（4）方程组④可能有且只有唯一一组解．
其中真命题的序号为 ．
【答案】①④
【解析】将①④的解看作平面上直线交点，将②③的解看作空间平面相交.
对于①，当平面两条直线重合时，方程组①有有无穷多组解，①正确；
对于②，空间三个平面相交，如果有两组不同的解，则三个平面必有一条公共直线，即方程组②的解有无
数个，故②错误.
对于③，空间两个平面相交，则两个平面有一条公共直线，即方程组③的解有无数个，故③错误.
对于④，当平面三条直线相交于一点时，方程组④有且只有唯一一组解，正确.
故真命题的序号为：①④.
故答案为①④.
2．（2024·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量 ， ，…， ，若存在单位向量
满足 ，则称 是向量组 ， ，…， 的平衡向量．已知
，向量 是向量组 ， ， 的平衡向量，当 取得最大值时， 的值
为 ．
【答案】
【解析】当 时， 取得最大值，
又 ，如图所示，，
设 ， ，
则 ，
√3
所以 ，即 ，解得cosθ=− ，
3
故 ， 或 ，
，
或 ，
故答案为：
3．（2024·高三·广东·开学考试）已知二阶行列式 ，三阶行列式
，其中 分别为 的余子式（某个数的余子式是指删去那个数
所在的行和列后剩下的行列式）．
(1)计算 ．
(2)设函数 ．
①若 的极值点恰为等差数列 的前两项，且 的公差大于0，求 ；②若 且 ，函数 ，证明： ．
【解析】（1）原式
．
（2）
．
（i） ．
当 或 时， ；当 时， ．
所以 在 和 上是增函数，在 上是减函数，
所以 的极大值点为 ，极小值点为1．
因为 的极值点恰为等差数列{a }的前两项，且{a }的公差大于0，
n n
所以 ，
则公差 ，所以 ，
所以 ．
（ii）因为 ，
所以 在 上无零点，在 上存在唯一零点 ，且 ．
令 ，
则 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以 ，
而 ，所以 ．
令 ，则 ．
因为 在 上单调递诚，
所以当 时， ，即 单调递减，当 时， ，即 单调递增，
所以 ，
而 ，所以 ．
综上， ．
4．（2024·全国·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运
算定义如下： ．
(1)在等比数列 中， 是 的两个实根，求 的值；
(2)已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，求数列 的前 项和；
(3)已知 是奇函数， 是偶函数．设函数 ，且存在实数 ，使得
对于任意的 都成立，若 ，求 的值．
【解析】（1）设等比数列{a }的公比为 ，
n
由 得： ，即 ，
， ，
， ，
，
，
.
（2） ，
当 时， ；当 时， ；
经检验： 满足 ， ，
，设数列 的前 项和为 ，
，
，
，
.
（3）由题意知：存在实数 ，使得 对于任意x∈R都成立，
即 ，
令 ，则 ，
为奇函数， 为偶函数，
…①；
令 ，则 …②，
由①②得： ，
令 ，则 ， ，
，
.
5．定义行列式运算： ，若函数 （ ， ）的最小正
周期是 ，将其图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称.
(1)求函数 的单调增区间；
(2)数列 的前 项和 ，且 ，求证：数列 的前 项和 .
【解析】（1）由题意： ，
∵ ，即 ，
∴ ，∴ 的图象向右平移 个单位后得 ，
此函数为奇函数，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
由 ，可得 ，
∴ 的单调增区间为 ；
（2）由上可得 ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ，
又 ，适合此式，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
6．行列式 按第一列展开得 ，记函数 ，且
的最大值是4．
(1)求A；
(2)将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不
变，得到函数 的图像，求 在 上的值域．
【解析】（1）（1）因为 的最大值是4，所以 ，故 ，
（2）由（1）知 ，
向左移 得 ，
横坐标变为原来2倍得
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 .
7．（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）由 个数排列成 行 列的数表称为 行 列的矩阵，
简称 矩阵，也称为 阶方阵，记作： 其中 表
示矩阵 中第 行第 列的数．已知三个 阶方阵分别为
， ，其中 分别表示中第 行第 列的数．若 ，则称 是 生成
的线性矩阵．
(1)已知 ，若 是 生成的线性矩阵，且 ，求
；
(2)已知 ，矩阵 ，矩阵 是
生成的线性矩阵，且 ．
（i）求 ；
（ii）已知数列 满足 ，数列 满足 ，数列 的前 项和记为 ，是否存在正整
数 ，使 成立？若存在，求出所有的正整数对 ；若不存在，请说明理由．
【解析】（1） ，则 ，即 ，
解得 ，
则 ， ， ，
，
故 .
（2）（i） ， ，
故 ， ，
.
（ii） ，
，，
故 ，
故 ，
，即 ，取 验证不成立，
整理得到 ， ，
当 时， ，不成立；当 时， ；当 时， ；
现说明当 时不成立：
设 ， ， ，则 ， ，
故 单调递增， ，
设 ， ， ， ， ，
故 单调递减， ， ， ， ，
故 时， 不成立，
综上所述：使 成立的所有的正整数对为 ， .
8．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），
将点P(x,y)变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①
可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英
文字母 ， ，…表示．(1)在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），求点
的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系 中，将点P(x,y)绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距
离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公
式①可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一个二阶矩
阵， ， 是平面上的任意两个向量，求证： ．
【解析】（1）可求得 ，设 ，则 ， ，
设点 ， ，
故
所以 .
（2）设 ， ，则 ， ， ，
故
所以坐标变换公式为 ，
该变换所对应的二阶矩阵为
（3）设矩阵 ，向量 ， ，则 ．
，
对应变换公式为： ，，
所以
故对应变换公式同样为
所以 得证.
9．已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特征向量，
同时称函数 为向量 的相伴函数．
(1)若向量 为 的相伴特征向量，求实数 的值；
(2)记向量 的相伴函数是 ，求 在 的值域．
【解析】（1）因为向量 为 的相伴特征向量，
则 ，
解得： .
（2）因为向量 的相伴函数是 ，
设 ，因为 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时，函数 有最大值为13，
当 时，即 ，函数 有最小值为 ，
故函数 的值域为 .
10．已知O为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特征向量，
同时称函数 为向量 的相伴函数.（1）设函数 ，试求 的相伴特征向量 ；
（2）记向量 的相伴函数为 ，求当 且 ， 的值；
（3）已知 ， ， 为 的相伴特征向量， ，请问
在 的图象上是否存在一点P，使得 .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）
的相伴特征向量 .
（2）向量 的相伴函数为 ，
， .
， ， .
.
（3）由 为 的相伴特征向量知：
.
所以 .
设 ， ，
， ，
又 ， .
，
， ，.
又 ，
当且仅当 时， 和 同时等于 ，这时 式成立.
在 图像上存在点 ，使得 .
11．（2024·高三·上海宝山·期末）对于一组向量 ， ， ，…， ，令
，如果存在 ，使得 ，那么称 是该向量组的“ 向
量”.
（1）设 ，若 是向量组 ， ， 的“ 向量”，求实数 的取值范围；
（2）若 ，向量组 ， ， ，…， 是否存在“ 向量”？给出你的结论并
说明理由；
（3）已知 ､ ､ 均是向量组 ， ， 的“ 向量”，其中 ， .设在平面
直角坐标系中有一点列 ， ， … 满足： 为坐标原点， 为 的位置向量的终点，且 与
关于点 对称， 与 关于点 对称，求 的最小值.
【解析】（1）由题意，得： ，
则
解得：
（2） 是向量组 ， ， ，…， 的“ 向量”，证明如下：
，
当 为奇数时，
，故
即
当 为偶数时，故
即
综合得： 是向量组 ， ， ，…， 的“ 向量”
（3）由题意，得 ， ，即
即 ，同理 ，
三式相加并化简，得：
即 ， ，所以
设 ，由 得：
设 ，则依题意得： ，
得
故
所以
当且仅当 时等号成立
故
12．对于一组向量 ， ， ， ， （ 且 ），令 ，如果存在
，使得 ，那么称 是该向量组的“1向量”．
(1)设 ， ，若 是向量组 ， ， 的“1向量”，求实数x的取值范围；
(2)若 ， ，则向量组 ， ， ， ， 是否存在“1向量”？若存
在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知 ， ， 均是向量组 ， ， 的“1向量”，其中 ， ．设
在平面直角坐标系中有一点列 ， ， ， ， （ 且 ）满足： 为坐标原点， ，且与 关于点 对称， 与 关于点 对称，求 的最大值．
【解析】（1）由题意可得： ，则 ，
解得 ．所以x的取值范围是 ．
（2）存在“1向量”，且“1向量”为 ， ， ， ，理由如下：
由题意可得 ，
因为 ，
所以向量组 ， ， ， ， 以4为周期，
若存在“1向量” ，只需使 ，又 ，
所以 ，
故只需使
，即 ，即 ，
当 时，符合要求．
故存在“1向量”，且“1向量”为 ， ， ， ．
（3）由题意，得 ， ，
即 ，即 ，
同理 ， ，
三式相加并化简，得 ，
即 ， ，所以 ,
设 ，由 得
设 ，则依题意得 ，
得 ，
故 ，，
所以 ，
，
当且仅当 或 时等号成立，
所以 ．
13． 元向量（ ）也叫 维向量，是平面向量的推广，设 为正整数，数集 中的 个元素
构成的有序组 称为 上的 元向量，其中 为该向量的第 个分量． 元向量通
常用希腊字母 等表示，如 上全体 元向量构成的集合记为 ．对于
，记 ，定义如下运算：加法法则
，模公式 ，内积
，设 的夹角为 ，则 ．
(1)设 ，解决下面问题：
①求 ；
②设 与 的夹角为 ，求 ；
(2)对于一个 元向量 ，若 ，称 为 维信号向量．规定
，已知 个两两垂直的120维信号向量 满足它们的前 个分量都相同，证明：
．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
① ，
②因为 ， ，所以 .
（2）任取 ， ，计算内积 ，设这些内积之和为 ，
则 ，设 的第 个分量之和为 ，又因为 ，故 ，所以
又 ，
所以 ，即 ，所以 .
