易错点1 分类计数时考虑不全
有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也
表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；
每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号；
每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，
根据分类加法计数原理知，共有不同的信号3＋6＋6＝15种．
【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．
【试题解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号；
每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；
每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．
根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．
【参考答案】39种.
1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:
(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;
(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．使用分类加法计数原理遵循的原则：
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．
3．应用分类加法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．
（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方
案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．
1．在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则有 种
不同的选取方法(用数字作答).
【答案】18
易错点2 未选准分步依据
将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？
【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法；
同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法.
根据分步乘法计数原理，共有 种不同的投法.
【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现
1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该
是“信箱”.
【试题解析】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法;
同理，第2，3，4封信各有3种投法.根据分步乘法计数原理，共有 种投法.
【参考答案】81种.
对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的
一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素
作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有 种不同的投法.
1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:
（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;
（2）完成每一步有若干方法;
（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．应用分步乘法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成
这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．
（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都
不可能完成．
（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之
间既不能重复也不能遗漏．
2．5名男生与5名女生排成一排,男生甲与男生乙之间有且只有2名女生,且女生不排在两端,这样的排列种数
为
A．5760 B．57600
C．2880 D．28800
【答案】B【解析】先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个复合元素,即 种排法，女生
不排在两端,则加上另外的3名男生共4个选择中选2个排在两端，即 种排法，剩下的元素全排列,即
种排法，故有 =57600．
故选：B．学科@网
易错点3 忽视排列数、组合数公式的隐含条件
解不等式 .
【错解】由排列数公式得 ，化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12.
∵x∈N*，∴x＝8,9,10,11.
【错因分析】在排列数公式A中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，错解中没有考虑到x－2>0，8≥x，导致错误．
【试题解析】由 ，得 ，
化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①
又∴2<x≤8，②
由①②及x∈N*得x＝8.
【参考答案】x＝8.
注意公式的适用条件．数学中有许多公式、定理、法则都是有限制条件的，如在排列数公式A中，n∈N*，
m∈N*，且n≥m，忽视限制条件就可能导致错误．1．应用排列数、组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件“n∈N*，m∈N*，且
n≥m”，即上标不大于下标且均为正整数.
2． 这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每
个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列
数或者组合数进行变形或证明.
对于排列数公式的连乘形式与阶乘形式,运用时注意把握以下几点：
（1）排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.学科.网
（2）排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：
①当m，n较大时，使用计算器快捷地算出结果；
②对含有字母的排列数的式子进行变形.
注意常用变形 的应用.
3．
A． B．
C． D．
【答案】D组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.
组合数公式的阶乘形式主要作用有：(1)计算m，n较大时的组合数；(2)对含有字母的组合数的式子进行
变形和证明.
易错点4 重复计数与遗漏计数
有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不
同的选法种数是
A．1260 B．2025
C．2520 D．5040
【错解】分三步完成：
第1步,从10人中选出4人，有 种方法.
第2步,从这4人中选出2人承担任务甲，有 种方法.
第3步,剩下的2人分别承担任务乙、丙，有 种方法.
根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 种.故选D．
【错因分析】错解中对“排列”、“组合”两个概念掌握不准确.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即 应为 .
【试题解析】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.
根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 种.故选C．
【参考答案】C．
计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一
列”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.排列问题
还要找出排序的依据，看每一种情况是否都考虑进去了.
1．没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简
单,分清“元素”和“位置”即可.
无约束条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的
个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.
2．“在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特
殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.
3．解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，
求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一
起排列，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，最后利用分步乘法计数原理求解.
解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将 n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻，求不同排法种数的方法是：先将 个元素排成一排,然后把k个元素插入
个空隙中，最后利用分步乘法计数原理求解.
4．某学校安排甲、乙、丙、丁等5位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有1位同
学参加,且甲、乙不能参加同一学科,丙、丁也不能参加同一学科,则不同的安排方法有 种.
【答案】84
易错点5 要正确区分分堆与分配问题
有12本不同的书，分成4堆.
(1)若每堆3本，有几种方法？
(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？
(3)若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)
【错解】(1)有 种分法；
(2)有 种分法；
(3)有 种分法．【错因分析】A、B、C、D四本书平均分为两堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三种分法，而C·C＝6，显然计数
错误，原因是先从4本书中选取AB，再取CD和先取CD，再取AB是同一种分法，上述错解犯了相同的错误．
学科*网
【试题解析】(1)有 种分法．
(2)有 种分法．
(3)有 种分法．
【参考答案】见试题解析.
1．分堆与分配问题
将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩
下的n－m个中选取m个给B，…，依次类推，不同方法种数为CC…C个；将一组n个不同元素平均分成k
堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为.
2．相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法．
5．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成每组都是2本的三组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．
【答案】(1) 60(种)．(2) 360(种)．(3) 15(种)．(4) 90(种).(3)先分三步，则应是C·C·C种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步
取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C·C·C种分法中还有(AB，EF，
CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A种情况，而且这A种情况仅是AB，
CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有＝15(种)．
(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法·A＝C·C·C＝90(种)．学科*网
易错点6 混淆项的系数与项的二项式系数
若 的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为 .
【错解】 的展开式中各项系数之和为 .
【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.
【试题解析】 的展开式的通项为 ,令8-2r=0,解得r=4,则
·(-a2)4=1120,解得a2=2,故 ，令x=1,则展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.
【参考答案】1.二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋
值法时,令a,b等于多少时, 应视具体情况而定,一般取“1, 或0”,有时也取其他值.
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝
1即可．
（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
0 1 2 n
奇数项系数之和为a＋a＋a＋…＝ ，
0 2 4
偶数项系数之和为a＋a＋a＋…＝ .
1 3 5
1．通项公式表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，它的展
开式中的项T 依赖于k.
k＋1
2．一个二项展开式的第 项的二项式系数是 ，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n有关的
个组合数，与 的取值无关，且是正数；而第 项的系数则是二项式系数 与数字系数的积，
可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.
6．已知(x2+ )6的二项展开式中含x3项的系数为 ,则展开式的常数项为 ,各项的系数和为
.【答案】 ，
一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
条 完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种
件 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结
完成这件事共有 种不同的方法 完成这件事共有 种不同的方法
论
【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则
就分步处理．
2．两个计数原理的区别与联系
原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
每类办法都能独立完成这件事，它是独立 每一步得到的只是中间结果，任何一步都
区别一 的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需 不能独立完成这件事，缺少任何一步都不
一种方法就可完成这件事 可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
各步之间是相互依存的，并且既不能重复
区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
也不能遗漏（1）利用两个原理解决涂色问题
解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜
色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．学科*网
解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分
类，正确分步，才能正确地解决问题．
（2）利用两个原理解决集合问题
解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有 的子集有
个，真子集有 个．
二、排列
1．排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个排列.
确定一个具体问题是否为排列问题的方法：
(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而
检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
2．解决排列应用问题的步骤：
(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题．
(2)注意对元素或位置有无特殊要求．
(3)借助排列数公式计算．当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含
“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不
考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除
法．
3．排列数、排列数公式
从n个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的
排列数，用符号 表示.
公式 ，其中 ，且 ，叫做排列数公式.
n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，这时公式中 ，即有
，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的
连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成
.另外，我们规定 1.
于是排列数公式写成阶乘的形式为 ，其中 ，且 .
排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排
列数是指“从n个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.
三、组合1．组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
组合.
解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点：
（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．
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②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理
排列、组合的综合问题的一般方法．
2．组合数、组合数公式
从n个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合数，用符号 表示.
，其中 ，且 .这个公式叫做组合数公式.
因为 ，所以组合数公式还可以写成 ，其中 ，且 .另外，我
们规定 .
3．组合数的性质
性质1： .
性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的 个元素的组合是一一对应关系.
性质2： .性质2表明从 个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某
个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有 个组合；第2类，取出的m个
元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取 个后再取出元素a即可，有
个组合.
四、二项式定理
1．二项式定理
，这个公式叫做二项式定理，等号右边的
多项式叫做 的二项展开式，共有n+1项，其中各项的系数 叫做二项式系数.
二项展开式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项：
.
2．二项式系数的性质
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式 得
到.
（2）增减性与最大值.当 时，二项式系数是逐渐增大的；当 时，二项式系数是逐渐减小
的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n是偶数时，中间的一项的二项式系数 最大；当n是奇数时，
中间的两项的二项式系数 相等且最大.
（3）各二项式系数的和.已知 .令 ，则
.也就是说， 的展开式的各个二项式系数的和为 .（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 .
求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,
注意k的取值范围（ ）.
（1）第 项：：此时k+1=m,直接代入通项.
（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
1．五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座,每个同学可自由选择,则不同的选择种数是
A．54 B．5×4×3×2
C．45 D．5×4
【答案】C
【解析】因为每个同学都有4个不同的选择方法，所以根据分步乘法计数原理可得不同的选择种数是45.故
选C．学科^网
2．又是一年开学季,学校教务处要对班级进行排课.已知高三(4)班周一有6节课,需要排语文、数学、英语、政
治、历史和地理,现要求语文与英语要分开,历史与地理要相邻.则不同的排课方法总数是
A．32 B．36
C．72 D．144
【答案】D3．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多，则应
A．从东边上山 B．从西边上山
C．从南边上山 D．从北边上山
【答案】D
【解析】任意一面下山，即下山的可能走法已经确定，有2+3+3+4=12种，只要上山的走法最多即可，上山
只从一面，则应从北边上山.选D．
4．（2018全国新课标Ⅲ理） 的展开式中 的系数为
A．10 B．20
C．40 D．80
【答案】C
5．（2017全国新课标II理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不
同的安排方式共有
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有 种．故选D．
【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过
程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其
他元素(或位置)．学科&网
（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；
③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
6．若(3ax−1)5(2x−1)3的展开式中各项系数的和为1,则该展开式中x2项的系数为
A．56 B．112
C．168 D．224
【答案】B
【解析】令x=1得(3a−1)5(2−1)3=1,解得a= ,则(3ax−1)5(2x−1)3=(2x−1)8,其二项展开式的通项T =
r+1
·(2x)8−r·(−1)r,所以x2项为T= (2x)8−6·(−1)6=4 x2=112x2,所以x2项的系数为112.
r
7．某学校有40名数学教师(按年龄从小到大依次编号为1,2,…,40),现从中任意选取6人按编号大小分成两组
分配到A,B两所学校从事支教工作,其中三名年龄较小的教师在一组,三名年龄较大的教师在另一组,那么
编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的选法种数是
A．220 B．440
C．255 D．510
【答案】D
8．已知 ,若 ,则 的值为
A．35 B．20
C．5 D．-5
【答案】D
【解析】令x=1可得 ,则a=1;展开式的通项 ,则
9．2017年3月22日,习近平出访俄罗斯,在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间,俄罗斯某电视台记者, 在莫斯
科大学随机采访了7名大学生,其中有3名同学会说汉语,从这7人中任意选取2人进行深度采访,则这2
人都会说汉语的概率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】从这7人中任意选取2人的选法总数为 两人会说汉语的情况有 种，
所以从这7人中任意选取2人进行深度采访,则这2人都会说汉语的概率为
10．（2017全国新课标Ⅰ理） 展开式中 的系数为
A．15 B．20
C．30 D．35
【答案】C
【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含
的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两
个二项展开式中的 不同.
11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且比1000大的奇数共有
A．36个 B．48个
C．66个 D．72个
【答案】D
【解析】用5个数字组成没有重复数字且比1000大的奇数,分为两类:(1)比1000大的四位数的奇数:个位只能是1或3,有2种取法;因为千位不能是0,在最后一位取定后只有3
种取法;剩下的3个数排中间两个位置,有 种排法,故符合要求的四位数的奇数共有2×3× =36(个).
(2)五位数的奇数:五位数的奇数都符合要求,共有2×3× =36(个).学科*网
由分类加法计数原理,得共有36+36=72(个).
12．数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一
个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为
A． B． 34
C． 43 D． 43
【答案】B
【解析】将12名同学平均分成四组共有 种方案，四组分别研究四个不同课题共有 种方案，第
一组选择一名组长有3种方案,第二组选择一名组长有3种方案,第三组选择一名组长有3种方案,第四
组选择一名组长有3种方案,选择组长的方案共有34种.
根据分步乘法计数原理,可知满足题目要求的种数为 34= 34,故选B．
13．已知 的展开式中第五项与第七项的系数之和为 ,其中 为虚数单位,则展开式中的常数项为
_____________.
【答案】14．（2018天津卷理）在二项式 的展开式中， 的系数为__________．
【答案】 .
【解析】结合二项式定理的通项公式有： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条
件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均
为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解
的项．
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
15．（2018全国新课标I卷理）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同
的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【答案】16
【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，
分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
16．8个相同的小球排成一排,现要将其涂上红、白两种颜色,若5个涂红色,3个涂白色,且恰好3个相邻的小球
涂红色,则涂法共有_____________种.
【答案】24
【解析】分步完成.第一步,把3个涂红色的小球当成一个整体,插入3个涂白色的小球中,共有4种方法.第
二步,把余下的2个涂红色的小球插入,可分为两类,学科*网
第一类,分开插入,有3种方法;
第二类,一起插入,有3种方法,
故共有4×(3+3)=24(种)涂法.
17．在某项科技实验中,要先后实验8个程序,其中程序A和B在实施时必须相邻,且程序C只能出现在第一步
或最后一步,则该项实验顺序的所有安排方法的种数为_____________.(用数字作答).
【答案】2880
【解析】第一步,程序C有 种不同的安排方法；
第二步,将A和B看成1个程序,将这个程序与其他5个程序进行全排列,有 种不同的安排方法；
第三步,安排A和B的顺序,有 种不同的方法,
根据分步乘法计数原理,则不同的安排方法共有 =2880(种).
18．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都
能参加)
(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;
(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.
【答案】(1)729(种). (2) 120(种). (3) 216(种).19．解下列方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）x＝3. （2）x＝8.
【解析】（1）因为 所以x≥3， ，
由 得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2).
化简得，4x2－35x＋69＝0，解得x＝3， (舍去).
1
所以方程的解为x＝3.
（2）由 得 ，即 ，
化简得 ,解得 .
,∴原方程的解是 .
20．某兴趣小组有13人,其中男生8人,女生5人,从男、女生中各指定一名队长,现从中选出5人到野外考察,
求在下列条件下各有多少种选法:
(1)至少有一名队长参加;
(2)既有队长参加,又有女生参加.
【答案】(1) 825种；(2) 790种.
【解析】(1)方法一：至少有一名队长参加,即有一名队长参加或两名队长参加,所以有 · + · =
825(种)不同的选法.学科.网方法二：从13人中选5人有 种不同的选法,其中不符合条件的选法有 种,所以有 - =825(种)不
同的选法.
(2)女队长参加,有 种不同的选法;女队长不参加,有 · + · + · + =295(种)不同的选法.
所以共有 +295=790(种)不同的选法.
21．设(5x- )n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,求展开式中二项式系数最大
的项.
【答案】150x3.
22．已知集合A={x|1<log x<3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}.
2
(1)从A∪B中取出3个不同元素组成三位数,求不同三位数的个数;
(2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然
数?
【答案】(1)120；(2) 300
【解析】由1<log x<3,得2<x<8,
2
又x∈N*,则A={3,4,5,6,7}.
(1)A∪B={3,4,5,6,7,8}.
从A∪B中取出3个不同元素,可以组成 =120(个)不同的三位数.
(2)比4000大的四位数,从集合A中取1个元素,若取数字3,则有 · =180(个);若不取数字3,则有
=120(个).
所以满足条件的不同自然数共有180+120=300(个).
23．在二项式 的展开式中,
(1)写出其中含 的项;
(2)如果第 项和第 项的二项式系数相等,求 的值.【答案】(1) ；(2) 1.
24．在一个盒中装有6支钢笔,其中3支是一等品,2支是二等品和1支是三等品,从中任取3支.问下列事件的
概率有多大?
(1)恰有一支是一等品;
(2)恰有两支是一等品;
(3)没有三等品.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【解析】(1)恰有一支是一等品的概率为P= ；
(2)恰有两支是一等品的概率为P= ；
(3)没有三等品的概率为P= .学科/网________________________________________________________________________________________
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