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专题 2-2 幂指对三角函数比大小归类
目录
题型01比大小基础：幂指数函数性质...............................................................................................................................1
题型02 比大小基础：对数函数性质..................................................................................................................................2
题型03 比大小基础：三角函数性质..................................................................................................................................3
题型04 临界值型：0与1分界...........................................................................................................................................5
题型05 临界值型：中间值..................................................................................................................................................5
题型06 作差比较法..............................................................................................................................................................6
题型07 作商比较法..............................................................................................................................................................7
题型08 三角函数与幂指对..................................................................................................................................................7
题型09 构造函数求导：对数幂型......................................................................................................................................8
题型10 构造函数求导：指幂型..........................................................................................................................................9
题型11 构造函数求导：对数线性型..................................................................................................................................9
题型12构造函数求导：指数线性型.................................................................................................................................10
题型13构造函数求导：三角函数线性型.........................................................................................................................11
题型14 泰勒展开型比大小................................................................................................................................................11
高考练场..............................................................................................................................................................................12
题型 01 比大小基础：幂指数函数性质
【解题攻略】
幂函数图像
a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 (0,+∞)过定点 (0,1)
单调性 在 上是增函数 在 上是减函数
性质
奇偶性 非奇非偶函数
【典例1-1】（2023上·内蒙古赤峰·高三校考期中）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】．（2023上·河北邢台·高三邢台市第二中学校联考阶段练习）设 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023上·河南南阳·高一统考期中）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023上·福建泉州·高三泉州七中校考）设 ， ， ，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023上·新疆伊犁·高三校联考）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型 02 比大小基础：对数函数性质
【解题攻略】
对数函数性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
当 0＜x＜1 时，y＞
性质 函数值的变 当0＜x＜1时，y＜0；
0；
化 当x＞1时，y＞0
当x＞1时，y＜0
是(0，＋∞)上的增函 是(0，＋∞)上的减函
单调性
数 数【典例1-1】（2023上·四川成都·高三校考）已知a，b是实数,则“ ”是“
”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【典例1-2】（2023上·江苏南京·高三统考）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知 则（ ）.
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知 则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
题型 03 比大小基础：三角函数性质
【解题攻略】
三角函数图像性质函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象
定义 {x|x∈ R 且 x≠ ＋
R R
域 kπ，k∈Z}
值域 [－1，1] [－1，1] R
[－π＋2kπ，2kπ]
[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
单调 上递增； (k∈Z)上递增； (－＋kπ，＋kπ)
性 [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上 [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递增
递减
(k∈Z)上递减
x＝＋2kπ(k∈Z)时，y x＝2kπ(k∈Z)时，
max
＝1； y ＝1；
max
最值
x＝－＋2kπ(k∈Z)时， x＝π＋2kπ(k∈Z)时，
y ＝－1 y ＝－1
min min
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
对称 (＋kπ，0)
(kπ，0)(k∈Z) (，0)(k∈Z)
中心 (k∈Z)
对称
x＝＋kπ
轴 x＝kπ(k∈Z)
(k∈Z)
方程
周期 2π 2π π【典例 1-1】（2021 届黑龙江省哈尔滨六中高三下学期第四次模拟理科数学试卷）若 ，且
， ， ，则 大小关系为
A． B． C． D．
【典例1-2】（山东省德州市齐河县第一中学2020-2021学年高三上学数学试题）
设 ， ， ，则 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（河南省郑州市第四高级中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）已知 ，
， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】已知 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（
）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
题型 04 临界值型：0 与 1 分界
【解题攻略】
解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础
的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分。
【典例1-1】．（2024上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知 ， ， ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023上·吉林长春·高三长春外国语学校校考）若 ， ， ，则a，b，c
的大小关系为 （ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b，c，d满足 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022学年高三上学期第2次（12月）数学试题）已知， ， ，则 ， ， 三者的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（重庆市育才中学2021-2022学年高三上学期数学试题）已知 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型 05 临界值型：中间值
【解题攻略】
寻找非0、1的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然后
可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。
1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值
【典例1-1】（2023上·浙江·高三校联考）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023上·四川成都·高三校考）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关
系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023上·江苏·高三专题练习）已知 ， ， ，则x，y，z的大小关
系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023上·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
题型 06 作差比较法
【解题攻略】
差比法：作差，变形，判断正负。
其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者计算化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。
【典例1-1】（2023上·江西·高三统考）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023上·全国·高三专题练习）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023上·四川成都·高三校考）已知 ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023下·河南安阳·高二统考期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
题型 07 作商比较法
【解题攻略】
商比法：
两个正数a，b，如果 ，运用商比法，要注意两个数是正数还是负数。
【典例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023上·天津南开·高三南开中学校考） 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．【变式1-3】（2023下·四川泸州·高三泸县五中校考阶段练习）设 ， ， ，则（
）
A． B．
C． D．
题型 08 三角函数与幂指对
【解题攻略】
三角函数与三角函数值比较大小：
1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小
2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当 (0， )时，
3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小
【典例1-1】（广东省深圳外国语学校高中园2022-2023学年高三上学期学段（三）数学试题）已知
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（广西南宁市银海三雅学校2022-2023学年高三上学期第一次考试数学学科试题）设 ，
， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（四川省成都市实验外国语学校2022-2023学年高三上学期考试数学试题）已知 ，
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】已知实数 ， ， ，则这三个数的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三文科数学试题变式题11-15）已知 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．题型 09 构造函数求导：对数幂型
【解题攻略】
构造对数型函数：
由对数性质log Mn＝ n log M (n∈R，常见得式子可以同构为 型
a a
【典例1-1】（福建省厦门海沧实验中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题）已知 ，
， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【典例1-2】（广东省揭阳市2021-2022学年高三上学期数学试题）已知
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（北京市铁路第二中学2021-2022学年高三考试数学试题）设 ， ， （
），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（河南省商丘市商丘名校2021-2022学年高三联考数学理科试题）已知 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型 10 构造函数求导：指幂型
【解题攻略】
指数幂形式，比较常见的是以e为底的指数函数与幂函数的积或商的形式：
【典例1-1】（2023上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知 ， ， ，则有（ ）
A． B．
C． D．【典例1-2】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）设 ， ， ，设a，b，c的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023下·江西上饶·高二统考期末）已知实数： ， ， ，且 ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023下·河南商丘·高二统考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型 11 构造函数求导：对数线性型
【解题攻略】
对数线性形式，比较常见的是以对数为整体 的线性形式：
等
【典例1-1】．（2022上·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）设 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】．（2022上·福建·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022下·四川成都·高二校联考期中）已知 ，且 ， ，
，则（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【变式1-2】（2022上·江苏徐州·高三期末）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022上·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知， ， ，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型 12 构造函数求导：指数线性型
【解题攻略】
指数线性形式，比较常见的是以指数为整体 的线性形式：
等
【典例1-1】设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022上·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知 ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022上·山东淄博·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，则下列
关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型 13 构造函数求导：三角函数线性型
【典例1-1】（2022上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023·四川成都·统考一模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022上·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）设 ，
则（ ）
A． B． C． D．【变式1-2】（2022上·海南·高三校联考阶段练习）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022上·浙江·高三统考期中）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型 14 泰勒展开型比大小
【解题攻略】
泰勒展开式x=0时得麦克劳林展开式，常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
0
，
，
，
，
，
.
【典例1-1】已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【典例1-2】（江苏省无锡市江阴市普通高中2022-2023学年高三上学期期末数学试题）设 ，
， ，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022年新高考1卷第7题）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021年全国乙卷理科12题） 设 ， ， ．则（ ）A. B. C. D.
高考练场
1.（2023上·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023上·广东湛江·高三校联考阶段练习）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3.（安徽省安庆市一中 2017-2018学年高三下学期数学试题）在 中， 是钝角，设 ，
， ，则 、 、 的大小关系是______.
4.（福建省三明第一中学2021-2022学年高三上学期学数学试题）设 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5.．（2023下·河北保定·高三定州一中校考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
6.（2023上·陕西渭南·高三统考）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知实数a，b，c满足 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8.（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10.（2022上·河南安阳·高三统考阶段练习）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．11.．（2022上·山东聊城·高三统考）已知 ， ， ，下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
12.（2022上·全国·高三校联考阶段练习）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
13.（2023上·四川遂宁·高三统考期中）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
