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专题 3-2 三角函数求 w 类型及三角换元应用归类
目录
题型01 平移型求w..............................................................................................................................................................1
题型02 单调区间及单调性求w........................................................................................................................................3
题型03 对称中心（零点）求w..........................................................................................................................................5
题型04对称轴型求w...........................................................................................................................................................8
题型05 对称轴及单调性型求w........................................................................................................................................11
题型06“临轴”型求w........................................................................................................................................................13
题型07“临心”型求w........................................................................................................................................................16
题型08 区间内有“心”型求w........................................................................................................................................19
题型09 区间内无“心”型求w........................................................................................................................................22
题型10 区间内最值点型求w............................................................................................................................................24
题型11多可能性分析型求w.............................................................................................................................................28
题型12三角应用：三角双换元.........................................................................................................................................32
题型13三角应用：无理根号型.........................................................................................................................................34
题型14三角应用：圆代换型.............................................................................................................................................36
题型15三角应用：向量型换元.........................................................................................................................................38
高考练场..............................................................................................................................................................................41
题型 01 平移型求 W
【解题攻略】
平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，
或者利用单调区间，再结合图形解出 值或者范围。
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，将 的图像向右平移
个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则 的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 是周期的整数倍，求出 的表达式，从而求出其最小值.
【详解】 , 的周期为 ,
将 的图像向右平移 个单位长度后，所得图像与原图像重合，
是周期的整数倍， ， ，
， 的最小值等于 .故选：B
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图像向右平移 个单位
长度后与原函数图像重合，则实数 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C【分析】由题意可知 是 的周期的倍数，即 ，从而可求得
答案
【详解】解：因为函数 的图像向右平移 个单位长度后与原函数图像重合，
所以 是 的周期的倍数，
设 ，所以 ，因为 ，所以当 时， 最小，故选：C
【变式1-1】（2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试）将函数 的图像向左平
移2个单位长度后，与函数 的图象重合，则 的最小值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】平移函数图象后得 ，根据与 重合可求解.
【详解】函数 的图像向左平移2个单位长度后可得，
，
与函数 的图象重合，
所以 ，
由 ，所以 .故选：A.
【变式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数 （
）的图象向右平移 个单位长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得 ，结合 即可求解.
【详解】由题意可得
，∴ ， ，解得 ， ，
又 ，∴当 时， 取得最小值为5．故选：D.
【变式1-3】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将 的图象向左
平移 个单位长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象变换可得 ，根据题意结合诱导公式可得 ，
运算求解即可得结果.【详解】将 的图象向左平移 个单位长度后，
得到 ，
则 ，解得 ，
所以当 时， 的最小值为 .故选：C.
题型 02 单调区间及单调性求 W
【解题攻略】
正弦函数
在每一个闭区间 （k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间 （k∈Z）上都单调递减
余弦函数
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
【典例1-1】（上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期数学试题）设 ，若函数 在
上单调递增，则 的取值范围是________
【答案】
【解析】根据正弦函数的单调性，求出函数 的单增区间，由 （
），可得： ，所以 ，整理即可得解.
【详解】根据正弦函数的单调性，可得： （ ），
所以： ，解得： ，整理可得： ，当 有解，解得 .故答案为： .
【典例1-2】（广西玉林市育才中学2022届高三12月月考数学试题）已知函数
的图象关于直线 对称，且 ， 在区间 上单调，则 的值为_____________.
【答案】2或6.
【详解】因为 的图象关于直线 对称,故 , ...①
又 ,故 或 , ...②
①-②可得 或 , , .
解得 或 , ,
又 在区间 上单调,故周期 满足 ,
且 ,所以 故当 时有 满足条件.故答案为：2或6
【变式1-1】函数 ,若 在区间 上是单调函数,且
则 的值为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
分析：由 在区间 是有单调性，可得 范围，从而得 ；由
，可得函数 关于 对称，又 ， 有对称中心为 ；
讨论 与 是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．
详解：因为 在 单调，∴ ，即 ，而 ；
若 ，则 ；若 ，则 是 的一条对称轴， 是其相邻的对称中心，所以
，∴ .
故选B.
【变式1-2】若函数 在 上是增函数，则 的取值范
围是____________.【答案】
【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后结合三角函数的性质得到关于 的不等式，求解不等式
即可确定 的取值范围.
【详解】整理函数的解析式有：
结合题意可知函数的最小正周期： ,
即 ，求解不等式可得 的取值范围是 .
【变式1-3】（2022-2021学年度下学期高三数学备考总动员C卷）若函数 在区
间 上单调递减，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】先由题意可知 ，得到 ，再由整体法得到 单调减区间为
，显然 是其子集，由此可得 ，检验 的值易得
，得解.
【详解】由题意可得函数 的最小正周期 ,∴ ，
∵函数 的最小正周期为 ，单调减区间为 ，又 ，
由 ，得 ，
∴函数 的单调减区间为 ．
∵函数 在区间 上单调递减，∴ ，
∴ ，解得 ．
当 时， ，不合题意；当 时， ，符合题意；当 时， ，显然矛
盾，不合题意.∴实数 的取值范围是 ．故答案为： .题型 03 对称中心（零点）求 W
【解题攻略】
正弦函数对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
余弦函数对称中心
(＋kπ，0)(k∈Z)
正切函数对称中心
(，0)(k∈Z)
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设函数 的图象的一个对称中心为
，则 的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正切函数的对称中心得到 ， ，再对各选项逐一检验分析即可.
【详解】根据题意得 ， ，则 ，
又 ，则 ， ，
对于A，若 是 的最小正周期，则 ，得 ，与 矛盾，故A错误；
对于B，由 得 ，满足条件，故B正确；
对于C，由 得 ，与 矛盾，故C错误；
对于D，由 得 ，与 矛盾，故D错误.
故选：B.
【典例1-2】（2022秋·重庆·高三统考期中）若存在实数 ， 使得函数 的
图象的一个对称中心为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 ，则 ，再根据 ， ，即可得出答案.
【详解】解：由题意知，存在 在 使得 的一个对称中心为 ，即存在 使得 时， ，代入 ， 则 ，
即 ，即 ，因为 ， ，所以 ，则 ，
由不等式性质知 时， 取到最小值 ，又由于 无法取到 ，故 ，
所以 的取值范围为 .故选：C..故选：C.
【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知
，周期 是 的对称中心，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件 ，列出方程即可求得 ，然后根据对称中心以及周期范围求出 ，即可得到
的解析式，从而得到结果.
【详解】因为 ，由 可得 ，且
，所以 ，
又因为 是 的对称中心，故
解得 且 ，即 所以，当 时，
即 ，所以 故选:D
【变式1-2】（2022秋·高三课时练习）已知函数 的部分图象如图，
的对称中心是 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】 可得 ，根据辅助角公式可得 ，由对称中心可得最小正周期为 ，故 根据 可求 ，从而可求 .
【详解】 ，由 的对称中心是
，
知 的最小正周期 ，故 故 解得 .
故 .故选:D.
【变式1-3】（2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）设函数 的图象的一个对
称中心为 ，则 的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正切型函数的对称性可得出 的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果.
【详解】因为函数 的图象的一个对称中心为 ，
所以， ，可得 ，
，则 ，故函数 的最小正周期为 ，
当 时，可知函数 的一个最小正周期为 .
故选：C.
题型 04 对称轴型求 W
【解题攻略】
正弦函数对称轴
（k∈Z）时，y ＝1；
max
（k∈Z）时，y ＝－1
min
余弦函数对称轴
x＝2kπ（k∈Z）时，y ＝1；
max
x＝2kπ＋π（k∈Z）时，y ＝－1
min
【典例1-1】（2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图， 的对称轴方程为 ，则
（ ）A．3 B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】根据给定的对称轴方程可得 的周期，进而求出 ，再借助函数性质及给定图象求出A值作答.
【详解】由给定的图象知，
， ，
即 ，
因函数 图象的对称轴方程为 ，
则 的最小正周期 ， ，
而 ，显然有 ，
即 ，解得 ，所以 .故选：A
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）若 是函数 图象的对称轴，则 的
最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称轴可求 的值，从而可求最小正周期.
【详解】因为 是函数 图象的对称轴，
所以 ，故 ，
所以 ，故 的最小正周期的最大值为 ，
故选：D.
【变式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数 的图像关
于 对称，则函数 的图像的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由函数 的图像关于 对称，求出 ，再对 化简即可求出.
【详解】函数 变为 ，（令 ）.
因为函数 的图像关于 对称，所以 ,
解得： .所以 .
所以函数 ，其中 ,
其对称轴方程 ,所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
当 时， 符合题意.对照四个选项，D正确.故选：D.
【 变 式 1-2 】 （ “ 超 级 全 能 生 ” 高 考 全 国 卷 26 省 9 月 联 考 乙 卷 数 学 试 题 ） 已 知 向 量
，函数 ，且 ，若 的任何一条对称轴与 轴交点的横
坐标都不属于区间 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
, ,由 ，得 ， ,由对称轴
,假设对称轴在区间 内，可知 当k=1,2，3
时， ，现不属于区间 ，所以上面的并集在全集 中做补
集，得 ，选B.
【变式1-3】已知向量 ，函数 ，且 ，若 的任何一
条对称轴与 轴交点的横坐标都不属于区间 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ，又 ， ， ，所以 ，由 的
任何一条对称轴与 轴的交点的横坐标都不属于区间 ，则得 ， ，当 ， ，显然不符合题意；当 ，
符合题意；当 ， ，符合题意；当 ， ，显然不符合题意，综上
的取值范围是 ，故选B
题型 05 对称轴及单调性型求 W
【典例1-1】（2021届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题）已知函数 ，对任
意的 ，都有 ，且 在区间 上单调，则 的值为___________.
【答案】
【分析】
根据 ，得函数 的对称轴为 ，所以有 可得
，解得 ，再分类讨论又 在区间 上单调递增和递减
两种情况，对每一种情况列出关于 的不等式组，解之可求得 的值.
【详解】
因为 ，所以函数 的对称轴为 ，所以 即 ，
解得 ，
,又 在区间 上单调，所以
（1）若 在区间 上单调递增，则 ∵ ，∴
，
∴ ，即 ，解得 ，
所以 ，且 ，所以当 时， 满足题意；
（2）若 在区间 上单调递减，则 ∵ ，∴
，∴ ，即 ，解得 ，
所以 ，且 ，此时无解，
综上可得 满足题意；故答案为： .
【典例 1-2】（2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷?数学（二）试题）已知函数
的一条对称轴为 ，且 在 上单调，则 的最大
值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
函数 的对称轴可表示为： ， 在 上单调可得 ，
使得 ，然后可得 ，即可分析出答案.
【详解】
函数 的对称轴可表示为： ，
在 上单调可得 ，使得 ， 解得
又. ，∴当 3时， 可取最大值为
【变式 1-1】（ 四川省 成都市 新都区 2020-2021 学年高三 诊断 测试数学试题） 已知函数
满足 ， ，且 在区间 上单调，则 的最大值为
________．
【答案】
【分析】
根据函数在区间 上单调得 ，再由 ， 得到区间 的长度恰好为 ，
再根据 的范围求得 的最大值，进而得到 的最大值.
【详解】因为 在区间 上单调，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，当 ，
所以 .故答案为： .
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是单调函数，其图
象的一条对称轴方程为 ，则 的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的图象与性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数 在 上是单调函数，
则满足 ，可得 ，
结合选项可得， 可能的值为 和 .故选：B.
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线 是曲线 的一条对称轴，
且函数 在区间[0， ]上不单调，则 的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出 的关系式，再求出函数 含有数0的单调区间即可判断作答.
【详解】因直线 是曲线 的一条对称轴，则 ，即
，
由 得 ，则函数 在 上单调递增，
而函数 在区间 上不单调，则 ，解得 ，
所以 的最小值为11.故选：C
题型 06“临轴”型求 W
【解题攻略】
若 的图像关于直线 对称,则 或 .
【典例1-1】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数
的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间
的最短距离为 ，直线 是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数 的最大值为4，最小值为0，求得A，m，再由
该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 ，求得 ，然后由直线 是该函数图象的一条对称
轴求解.
【详解】因为函数 的最大值为4，最小值为0，
所以 ，所以 ，
又因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 ，所以 ，则 ，
所以函数 ，又直线 是该函数图象的一条对称轴，
所以 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以该函数的解析式是 ，故选：B
【典例1-2】（2023秋·高三课时练习）已知函数 ， 是函数 的
一个零点， 是函数 的一条对称轴，若 在区间 上单调，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设函数 的最小正周期为 ，根据题意分析得出 ，其中 ，可得出 ，
利用函数 的单调性可得出 的取值范围，可得出 的可能取值，然后对 的值由大到小进行检验，
可得结果.
【详解】设函数 的最小正周期为 ，
因为 是函数 的一个零点， 是函数 的一条对称轴，
则 ，其中 ，所以， ， ，
因为函数 在区间 上单调，则 ，所以， .
所以， 的可能取值有： 、 、 、 、 .
（i）当 时， ， ，
所以， ，则 ，
， ，所以， ，当 时， ，所以，
函数 在 上不单调，不合乎题意；
（ii）当 时， ， ，
所以， ，则 ，
， ，所以， ，
当 时， ，所以，
函数 在 上单调递减，合乎题意.因此， 的最大值为 .故选：A.
【变式1-1】（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知 ， 是函数
图象上两条相邻的对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可.
【详解】由题意得： ，故 ，
则当 时， ，
又 ，故 .故选：A.
【变式1-2】（2023春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数 ，
且 图象的相邻两对称轴间的距离为 .若将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，且
当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求得 的解析式，再得到 的解析式，并求得 在 上的最小值，进而构造关于
的不等式，解之即可求得 的取值范围.
【详解】又 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，则 的周期为 ，则 ，则
将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，则
当 时， ，
当 时，不等式 恒成立，
则 恒成立，解之得 故选：B
【变式1-3】（2023春·四川成都·高三校联考阶段练习）已知直线 是函数
图象的任意两条对称轴，且 的最小值为 ，则 的单调递增区间是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题知 ，进而得 ，再求解函数单调区间即可.
【详解】解： 直线 是函数 图象的任意两条对称轴，且 的最小值为
，
，即 ，
令 ，解得 ，
的单调递增区间是 .故选：B.
题型 07“临心”型求 W
【解题攻略】
函数 的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴，由 求对称中心.
(4)由 求增区间；由 求减区间.【典例1-1】（2023春·广东珠海·高三校考）已知函数 的图象的一个对称中心
的横坐标在区间 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角化简函数解析式为 ，分析可知，函数 的最小正周
期 满足 ，求出 的取值范围，求出函数 图象对称中心的横坐标，可得出 所满足的不等式，
即可得出 的取值范围.
【详解】因为 ，
因为函数 的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于 ，
所以，函数 的最小正周期 满足 ，即 ，则 ，
由 可得 ，因为函数 的图象的一个对称中心的横坐标在区间
内，
则 ，可得 ，又因为 且 存在，则 ，解得 ，
因为 ，则 ，所以， ，故选：B.
【典例1-2】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）函数 ，
的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为 ，且 的图象关于直线
对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．将 图象向右平移 个单位与原图象重合
C．函数 图象关于点 对称
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】依题意可求得 ,从而可求得 的解析式，从而可以对函数的单调区间、对称中心、对称
轴、平移一一判断.
【详解】函数 ， 的最大值为2，即 ，所以 ，又图象相邻两个对称中心之间的距离为 ，由 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
当 时， ，函数 不单调，故选项A错误；
将 图象向右平移 个单位，得 ，
其图象与原图象不重合，故选项B错误；
令 ，可得 ，图象关于点 对称，故选项C错误；
当 时， 为最小值，函数 的图象关于直线 对称，故选项D正确.
故选：D.
【变式1-1】（2023下·河南焦作·高三统考）已知函数 的图象的一个对称中心
的横坐标在区间 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角化简函数解析式为 ，分析可知，函数 的最小正周
期 满足 ，求出 的取值范围，求出函数 图象对称中心的横坐标，可得出 所满足的不等式，
即可得出 的取值范围.
【详解】因为 ，
因为函数 的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于 ，
所以，函数 的最小正周期 满足 ，即 ，则 ，
由 可得 ，
因为函数 的图象的一个对称中心的横坐标在区间 内，
则 ，可得 ，又因为 且 存在，则 ，解得 ，
因为 ，则 ，所以， ，故选：B.
【变式1-2】（2023·云南红河·统考二模）已知函数 （ ）的图象的两个相邻对称
中心之间的距离为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B【分析】由正切函数的性质得出 ，继而由周期公式得出 .
【详解】解：设 的最小正周期为 ，由函数 （ ）的图象上相邻两
个对称中心之间的距离为 ，知 ， ，
又因为 ，所以 ，即 ，则 ．
故选：B．
【变式1-3】（2021上·四川雅安·高三统考期末）已知函数 ，点 和
是其相邻的两个对称中心，且在区间 内单调递减，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T，然后由
求出 ，然后再代点讨论满足题意的 ，即可得出答案.
【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为 ，得 .
则由 得 ，即得 .由 ，且在区间 内单调递减，则可得 ，
∴ .由 得 ，因 ，可得 或
，
当 时， ，由 ，得 ，
则函数 的单调减区间为 ，
令 ，由 ，得函数 在 上不是单调递减，
所以 不满足题意；
当 时， ，由 ，得 ，
则函数 的单调减区间为 ，
令 ，由 ，得函数 在 上单调递减，
所以 满足题意；综上可得： 满足题意.故选：A.题型 08 区间内有“心”型求 W
【解题攻略】
求w的表达式时， 中不要把 写成k,因为后面还有一个k, 中不
要把 写成k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等.
【典例1-1】（天津市部分区2020届高考二模数学试题）若函数 ( )在区间
上单调递减，且在区间 上存在零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意结合余弦函数的单调区间可得 ，由余弦函数的零点可得 ，
即可得解.
【详解】当 时， ，又 ， ，
函数 ( )在区间 上单调递减，
，即 ，解得 ；
令 ，则 ，即 ，
由 ，可得当且仅当 时， ，
又函数 ( )在区间 上存在零点，
，解得 ；综上， 的取值范围是 .故选：D.
【典例1-2】（2021春•商洛）已知函数 在 ， 上恰有6个零点，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：当 时， ；当 时， ．
因为 在 ， 上恰有6个零点，且 ，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【变式1-1】（2022•湖北模拟）已知函数 在区间 ， 上恰有三个零点，则
的取值范围是 ．
【解答】解：由题意：转化为 与函数 在区间 ， 上恰有三个交点问题，
， 上， ．当 ，可得 ．
根据余弦函数的图象：可得 ，解得：
的取值范围是 ， 故答案为： ， ．
【变式1-2】（云南省2020届高三适应性考试数学试题）若函数 （ ，
）图象过点 ， 在 上有且只有两个零点，则 的最值情况为（ ）
A．最小值为 ，最大值为 B．无最小值，最大值为
C．无最小值，最大值为 D．最小值为 ，最大值为
【答案】C
【分析】由图象过点 求出 ，然后解 ，得 ，再分析在 上有且只有两
个时， 的取值只能是 ，从而可得 的范围，
【详解】由题可知 ，即 ，∴ ，
又∵ ， ，∴ .
令 ，得 ，解得
又∵ ， 在 上有且只有两个零点，
∴ 只能取1，2，故 ，解得 ，
∴ ，∴ ，没有最小值．故选：C.
【变式1-3】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20题）设函数 ，若对于任意实数 ， 在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取值范围是
________．
【答案】
【分析】原问题转化为 在区间 上至少有2个，至多有3个t，使得 ，
求 得取值范围，作出可知，满足条件可最短区间长度为 ，最长区间长度为 ，由
此建立关于 的不等式，解出即可．
【详解】令 ，则 ，令 ，则 ，
则原问题转化为 在区间 上至少有2个，至多有3个t，使得 ，求 得
取值范围，
作出 与 的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为 ，最长区间长度为 ，
∴ ，解得 ．故答案为： ．
题型 09 区间内无“心”型求 W
【解题攻略】
无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终
的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.
【典例1-1】已知函数 ，若函数 在区间 内没有零点，
则 的取值范围为_________.
【答案】
【分析】先把 化为 ，求出其零点的一般形式后利用函数 在区间
内没有零点构建关于 的不等式组，通过讨论 的范围可得 的取值范围.
【详解】因为 ，故 ，
令 ，则 ，故函数的零点为 .
因为函数在 内无零点，故存在整数 ，使得 ，
故 ，因 为正实数，故 ，故 ，又 ，故 ，故
或 .当 时， ，当 时， .故 .故答案为 .
【典例1-2】（天津市南开中学2022届高三下学期统练二数学试题）已知函数
， ，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是
______.
【答案】
【分析】化简变形 ，根据三角函数的性质求出 的零点，根据条件得出区间 内不
存在整数，再根据 可得 为 或 的子集，从而得出 的范围．
【详解】 ．
令 ，可得 ， ．
令 ，解得 ，
∵函数 在区间 内没有零点，∴区间 内不存在整数．
又 ，∴ ，
又 ，∴ 或 ．
∴ 或 ，解得 或 ．
∴ 的取值范围是 ，故答案为 ．
【变式1-1】函数 ，且 ， ，若 的图像在 内与 轴无交
点，则 的取值范围是__________.
【答案】【详解】∵ 的图像在 内与 轴无交点∴
∵ ∴ ∵由对称中心可知
∴ ∵假设在区间 内存在交点，可知
∴当 时，
∴以上并集在全集 中做补集，得
故答案为
【变式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）将函数 的图象先向右平
移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，
若函数 在 上没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数 ，再利用正弦曲线的零点即可求得 的取
值范围
【详解】将函数 的图象先向右平移 个单位长度，得到
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
由函数 在 上没有零点，则 ，则 由 ，可得
假设函数 在 上有零点，
则 ，则
由 ，可得
又 ，则
则由函数 在 上没有零点，且 ，可得 故选：A
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得
函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在
上没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】根据图象变换求出 的解析式，利用周期缩小 的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数 的图象先向右平移 个单位长度，得到 的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 ，
周期 ，
因为函数 在 上没有零点，所以 ，得 ，得 ，得 ，
假设函数 在 上有零点，
令 ，得 ， ，得 ， ，
则 ，得 ， ，又 ，所以 或 ，
又函数 在 上有零点，且 ，所以 或 .故选：A
题型 10 区间内最值点型求 W
【解题攻略】
极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
【典例1-1】.已知函数 （ ， ）， ， ， 在
内有相邻两个最值点，且最小值点距离 轴近，则 的最小正整数值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】C
【分析】由 结合已知条件可得 ，由 可求出 ，再由 ，可知
，结合 ，可求出 ，从而可选出正确答案.
【详解】解析：因为 ，结合已知，知 （ ），
又因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ， ，
解得 ， ．又因为 ，可得 ，
所以当 时， 的最小正整数值为9．故选:C.【典例1-2】已知函数 的图象关于点 及直线 对称，且
在 不存在最值，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据对称得到 ，根据没有最值得到 ，得到 ， ，再根据对称中心
得到 ，得到答案.
【详解】函数 的图象关于点 及直线 对称.
则 .
在 不存在最值，则 ，故 时满足条件， ， .
，则 .
当 时满足条件，故 .故选： .
【变式1-1】（2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题13-16题）已知函数 ，
若 且 在区间 上有最小值无最大值，则 _______．
【答案】4或10##10或4
【分析】根据 可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结
合y＝sinx的图像，根据 在区间 上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.
【详解】∵f(x)满足 ，∴ 是f(x)的一条对称轴，
∴ ，∴ ，k∈Z，
∵ω＞0，∴ .
当 时， ，
y＝sinx图像如图：要使 在区间 上有最小值无最大值，则：
或 ，
此时ω＝4或10满足条件；
区间 的长度为： ，
当 时，f(x)最小正周期 ，则f(x)在 既有最大值也有最小值，故 不满足条
件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
【变式1-2】（2022届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题）已知函数 ，
，若 ，对任意 恒有 ，在区间 上有且只有
一个 使 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据 的零点和最值点列方程组，求得 的表达式（用 表示），根据 在 上有且只
有一个最大值，求得 的取值范围，求得对应 的取值范围，由 为整数对 的取值进行验证，由此求得
的最大值.
【详解】
由题意知 ，则 其中 ， ．
又 在 上有且只有一个最大值，所以 ，得 ，即
，所以 ，又 ，因此 ．
①当 时， ，此时取 可使 成立，当 时，
，所以当 或 时， 都成立，舍去；②当 时， ，此时取 可使 成立，当 时，
，所以当 或 时， 都成立，舍去；
③当 时， ，此时取 可使 成立，当 时，
，所以当 时， 成立；
综上所得 的最大值为 ．故选:C
【变式1-3】（【全国百强校】河北衡水金卷2022届高三12月第三次联合质量测评数学试题）已知函数
， 两 个 等 式 ：
对 任 意 的 实 数 均 恒 成 立 ， 且
上单调，则 的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数 的图象关于直线 和点 对称可得： ，即
，结合选项检验 与 即可.
【详解】
因为两个等式： 对任意的实数x均恒成立，所
以 的图象关于直线 和点 对称，所以 ，因为 ，
所以 .因为 在 上单调，所以 ，所以 ，由选
项知，只需要验证 .
1.当 时， ，因为 对任意的实数x均恒成立，所以
，因为 ，所以 ，所以 ，可以验证在 上不单调，
2.当 时， ，因为 对任意的实数x均恒成立，所以
，因为 ·所以 ·所以 ，可以验证 在
上单调，所以w=1.故选A.
题型 11 多可能性分析型求 W
【解题攻略】
解决函数 综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数 的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将 看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
【典例1-1】.函数 ，已知 为 图象的一个对称中心，直线
为 图象的一条对称轴，且 在 上单调递减．记满足条件的所有 的值的和为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到 或 ，由 在
上单调递减可以得到 ，算出 的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知： 或 ∴ 或
∴ 或 ∵ 在 上单调递减，∴
∴①当 时，取 知
此时 ，当 时，
满足 在 上单调递减，∴ 符合
取 时， ，此时 ，当 时， 满足 在
上单调递减，∴ 符合
当 时， ，舍去，当 时， 也舍去
②当 时，取 知 此时 ，当 时，
，此时 在 上单调递增，舍去
当 时， ，舍去，当 时， 也舍去
综上： 或2， .故选：A.
【典例1-2】（北京市西城区北京师范大学附属实验中学 2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）
已知点 ，若三个点中有且仅有两个点在函数 的图象上，则正数
的最小值为__________.
【答案】4
【分析】
由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数 的最小值，再进行比较从而得出
结论．
【详解】
① 若只有 两点在函数 的图象上，
则有 ， ， ，
则 ，即 ，求得 无解．
②若只有点 在函数 的图象上，
则有 ， ， ，故有 ，即 ，求得 的最小值为4．
③若只有点 在函数 的图象上，
则有 ， ， ，故有 ，
即 ，求得 的最小正值为10，
综上可得， 的最小正值为4，故答案为：4．
【变式1-1】（北京市东城区2021-2022学年高三上学期数学试题）已知函数 ，
曲线 与直线 相交，若存在相邻两个交点间的距离为 ，则 的所有可能值为__________．
【答案】2或10
【分析】
令 ，解得 或 ，
根据存在相邻两个交点间的距离为 ，得到 或 ，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数 ，曲线 与直线 相交，
令 ，即 ，
解得 或 ，
由题意存在相邻两个交点间的距离为 ，结合正弦函数的图象与性质，
可得 ，令 ，可得 ，解得 .
或 ，令 ，可得 ，解得 .
故答案为： 或 .
【变式1-2】（上海市晋元高级中学2022届高三数学试题）已知 ，若存在
使得集合 中恰有3个元素，则 的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在 符合题意即可.
【详解】解：对A，当 ， ，函数的周期为 在一个周期内，对 赋值
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
令 时， 。 。
所以存在 使得 时的 值等于 时的 值， 时的 值等于 时的 值， 时的 值等于
时的 值.
但是当 等于 、 、 、 时，不存在 使得这个 值中的任何两个相等
所以当 时，集合 中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；
对B，当 ， ，函数的周期为
在一个周期内，对 赋值
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ； 令 ，
。
所以当 时，符合题意，故B正确；
对C，当 ， ，函数的周期为
在一个周期内，对 赋值
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
令 ，则 ， ，
所以当 时，符合题意，故C正确；
对D，当 ， ，函数的周期为
在一个周期内，对 赋值
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
令 ， ， ，
所以当 时，符合题意，故D正确.
故选：A.
【变式1-3】（2021•淮北二模）已知函数 满足 ， ，且 在
区间 上单调，则满足条件的 个数为
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：设函数的最小正周期为 ，由于函数 满足 ， ，
故 ，解得 ，所以 ，由于函数 在区间 上单调，
故 ，故 ， ，即 ，解得 ，由于 ，
所以 取0，1，2，3，4，5，6，7，8．故 的取值为9个；故选： ．
题型 12 三角应用：三角双换元
【解题攻略】
形如 ， 等，均可以用三角换元来解
决.
在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，
于是我们在设置角度时要抓住2点：
（1）设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，
（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令 ，此时 ，于是
.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设 、 且 ，求 的取值范围是 .
【答案】
【分析】解法一：利用条件 ，将 转化为二次函数，进而可确定 的范围．
解法二：由 得 ，设 ，则 ，再结合余弦
函数及二次函数的性质计算可得.
【详解】解法一： ， ，可得 ． ，
令 ， ，显然函数 在 上单调递增， ， ，即
，
的取值范围是 ．
解法二：由 得 ，设 ，即 ，
则
令 ， ， ， ，显然 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围是 .故答案为：
【典例1-2】（2020·江西·校联考模拟预测）若等差数列 满足 ，且 ，求 的取值
范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ，根据 求出 的范围，利用等差中项的性质得到 ，再利用同
角公式可求得结果.
【详解】设 ， ，又∵ ，∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，∴
，
又∵ ，所以 ，所以 ，∴ ．故选：B
【变式1-1】（2021·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知 ， ，求
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设 ， ，那么 ，结合三角函数的有界限，
即可得到答案.
【详解】由题意知， 且 ，
设 ， ，
那么 ，其中 ，
因为 的取值范围是 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
故选：B
【变式1-2】（江西省抚州市金溪一中等七校2021-2022学年高三考试数学试题（B卷））已知 满足
，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 由题意，令 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以
所以
所以 ，故选D.
【变式1-3】（浙江省嘉兴市2022届高三试数学试题）已知实数 满足 ,则 的取值范
围是_______．
【答案】
【解析】
设
因此
因为 ，所以 ，即取值范围是
点睛：利用三角函数的性质求范围，先通过变换把函数化为 的形式再借助三角函数图象
研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．题型 13 三角应用：无理根号型
【解题攻略】
无理根号型求范围，可以通过换元求得：
1.单根号，一般是齐次关系。
2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x。
3.式子可能具有“轮换特征”
4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。
【典例1-1】.求函数 的值域.
【分析】 遇到根号问题，通常我们都需要利用换元法就值域，但由于根号内有平方，则需要利用含平方
的换元形式，于是我们利用三角换元．
解析：令 ，则原式
=
其中 .
，
【典例1-2】求函数 的值域.
【答案】
【分析】 可化为 ，令 ，结合辅助
角公式及三角函数的性质求解.
【详解】 可化为 ，令 ，
则 ，
， ，∴ ,
故函数的值域为 .
【变式1-1】若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由 可得原不等式等价于 ，两边平方，利用均值不等式求解即可.【详解】因为 ，所以 ，所以不等式可化为 ，
设 ， ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，所以 ，
故答案为：
【变式1-2】（新疆莎车县第一中学2022届高三上学期第三次质量检测数学试题）函数y=x−√4−x2的
值域为________．
【答案】[−2√2,2]
【分析】函数的定义域为[−2,2]，设x=2cosθ将原函数转化为关于 的三角函数，利用同角三角函数基本
关系以及辅助角公式，余弦函数的性质即可求解.
【详解】由4−x2≥0可得−2≤x≤2，即函数的定义域为[−2,2]。所以设x=2cosθ，θ∈[0,π]，
则y=2cosθ−√4−4cos2θ=2cosθ−2sinθ=2√2 (√2 cosθ− √2 sinθ ) =2√2cos ( θ+ π ) ，
2 2 4
因为θ∈[0,π]，所以θ+
π
∈
[π
,
5π]
，所以cos ( θ+
π
) ∈
[
−1,
√2]
，所以
4 4 4 4 2
π
y=2√2cos ( θ+ ) ∈[−2√2,2]
，
4
所以函数y=x−√4−x2的值域为[−2√2,2]，故答案为：[−2√2,2].
【变式 1-3】（2020 届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题）已知
，则 的最大值为_________.
【答案】8
【分析】设 ，不妨设 ，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即
可得答案.
【详解】设 ，不妨设 ，
则 ，故 ，所以，
可设 ， ，则
，当且仅当 时取等号
即 的最大值为8.故答案为： .
题型 14 三角应用：圆代换型
【解题攻略】
圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应x，正弦对应y
的参数方程是：
【典例1-1】（上海市第二中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）知点A(2,0)，点P是以原点为圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点P绕点 逆时针旋转90°得点Q，线段AP的中点为 ，则
|MQ|的最大值是______
√5
【答案】1+
2
【分析】
2+cosθ sinθ
设P(cosθ,sinθ)，则Q(−sinθ,cosθ)，则 ( , )，从而得
2 2
√ 2+cosθ 2 sinθ 2
|MQ|= ( +sinθ) +( −cosθ) ，利用降幂公式、辅助角公式及平方关系化简，再根据正
2 2
弦型函数得值域即可得解.
【详解】
解：由题可知，设P(cosθ,sinθ)，则Q(−sinθ,cosθ)，
2+cosθ sinθ
因为A(2,0)，所以线段AP的中点 得坐标为( , )，
2 2
所以
√ 2+cosθ 2 sinθ 2 √(cosθ+2) 2+4sinθ(cosθ+2)+4sin2θ+sin2θ−4sinθcosθ+4cos2θ
|MQ|= ( +sinθ) +( −cosθ) =
2 2 4
√9+4cosθ+8sinθ √9+4√5sin(θ+φ) 1
= = ，其中tanφ= ，因为sin(θ+φ)∈[−1,1]，
2 2 2
√5 √5
所以当sin(θ+φ)=1时，|MQ|取最大值为1+ .故答案为：1+ .
2 2
1
【典例1-2】设圆O:x2+ y2=1上两点A(x ,y )，B(x ,y )满足：⃑OA⋅⃑OB=− ，则
1 1 2 2 2
|x −2y |+|x −2y |的取值范围是___________.
1 1 2 2
[√15 ]
【答案】 ,√15
2
【解析】
【分析】
|x −2y | |x −2y |
首先由数量积公式可得∠AOB=120°，再根据绝对值的几何意义得ℎ = 1 1 + 2 2 表示两点
√5 √5
， 分别到直线x−2y=0的距离之和，再以直线x−2y=0为 轴重新建立直角坐标系后，利用三角函
数表示ℎ，根据角的范围求值域.
【详解】
1
由⃑OA⋅⃑OB=− ，得∠AOB=120°.
2
|x −2y | |x −2y |
设ℎ = 1 1 + 2 2 表示两点 ， 分别到直线x−2y=0的距离之和.
√5 √5
取直线x−2y=0为 轴重新建立直角坐标系后，则ℎ表示两点 ， 分别到 轴的距离之和.
在新的直角坐标系下，设A(cosθ,sinθ)，B(cos(θ+120°),sin(θ+120°))则有
ℎ
=|sinθ|+|sin(θ+120°)|.
由对称性，不妨设点 在 轴上或上方，即−120°≤θ≤60°.所以
{ sinθ+sin(θ+120°),0°≤θ≤60°
=
ℎ ，
−sinθ+sin(θ+120°),−120°≤θ<0°
1 √3
0∘≤θ≤60∘时，ℎ =sinθ+sin(θ+120∘)= sinθ+ cosθ=sin(θ+60∘)，
2 2
(√3 )
得θ+60∘∈(60∘,120∘)，则ℎ∈ ,1 ，
23 √3
当−120∘≤θ<0∘时，ℎ =−sinθ+sin(θ+120∘)=− sinθ+ cosθ=−√3sin(θ−30∘)，
2 2
(√3 ]
θ−30∘∈(−150∘,−30∘)，此时ℎ∈ ,√3
2
√3 [√15 ] [√15 ]
综上得 ≤ℎ≤√3，从而得|x −2y |+|x −2y |=√5ℎ∈ ,√15 .故答案为： ,√15
2 1 1 2 2 2 2
【变式1-1】已知 是单位圆（圆心在坐标原点 ）上任一点，将射线 绕 点逆时针旋转 到
交单位圆于点 ，则 的最大值为________.
【答案】
【分析】
设 ，则 ，代入要求的式子由三角函数的知识可得解．
【详解】设 ，则 ，
， 的最大值为 ，故答案为：
【变式1-2】设圆 上两点 ， 满足： ，则 的取
值范围是___________.
【答案】
【分析】首先由数量积公式可得 ，再根据绝对值的几何意义得 表示两点
， 分别到直线 的距离之和，再以直线 为 轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数
表示 ，根据角的范围求值域.
【详解】由 ，得 .设 表示两点 ， 分别到直线 的
距离之和.
取直线 为 轴重新建立直角坐标系后，则 表示两点 ， 分别到 轴的距离之和.
在新的直角坐标系下，设 ， 。则有 .
由对称性，不妨设点 在 轴上或上方，即 .
所以 ， 时，
，
得 ，则 ，
当 时， ，
，此时 综上得 ，从而得 .故答案为：
【变式1-3】（2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知点 为圆 上任一点， ，
分别为椭圆 的两个焦点，求 的取值范围 .
【答案】[80,120]
【分析】由椭圆的标准方程可得焦点 , ,由点 在圆上可设 ,求得 ,
,进而利用三角函数的性质求解即可.
【详解】由题,椭圆的焦点为 , ,
设点 ,
则 , ,
所以 ,
,
因为 ,所以 ,故答案为:
题型 15 三角应用：向量型换元
【解题攻略】
向量中的三角换元原理之一，就是源于 ,实质是圆。
所以模定值，可以用圆的参数方程代换。
【典例1-1】（2022上·广东佛山·高三统考）菱形 中， ，点E，F分别是线段
上的动点（包括端点）， ，则 ， 的最小值为
.
【答案】 0 /-0.25
【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出
，表达出 ，利用二次函数的性质求最小值
，再结合 求出最小值.
【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故 ，
， ， ，设 ，则 ，
，则 ， ， ，
；因为 ，所以 ， ，故当 时， 取得最小值
为 ，因为 ，所以当 ，即 时， 最小，最小值为
故答案为：0，
【典例1-2】（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知 ， ，则向量
的最小值为 .
【答案】
【分析】 ，不失一般性，设 ，由 知 的终点在两个圆上运动，设
化简 放缩后得到
得解.
【详解】 ，不妨设
， 所以 在圆 上运动
， 所以 在圆 上运动
再令 ，
当且仅当 ， 时，等号成立
，当且仅当 时，等号成立.
故答案为：
【变式1-1】（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）平面向量 ， ， 满足 ，
，则 的最大值为 .【答案】4
【分析】不妨设 ， ， ，则求 的最大值，即求 的最大值，
将问题转化为方程有解的问题，得到 的轨迹为一个圆，最后利用投影向量的意义求出 的最大值即可
求解.
【详解】设 ， ，向量 ， 的夹角为 ，则 ， ，
设 ，由 得： ，即
，化简得： ，
上述方程一定有解， ， 即 在一个圆上，而 ，所以转化为求 的最大值，
当 在 上投影长度最大时， ，令 ， ，
则 ，当 时， .
的最大值为 .
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最大值
为 .
【答案】5
【分析】令 ，坐标表示出 、 ，应用坐标公式求出对应
表达式中向量的模，构造函数并利用导数求最值.
【详解】令 ，
， ，
，
，
令 ，
设 ，则 ， ，
令 ，易知：在 上 ，即 递增，
所以 在 取得最大值， .
故答案为：5.
【变式1-3】（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知 为单位向量，向量 满足
，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设 ，确定点A，B的轨迹，从而设
，求出 的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即
可求得答案.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，令 ,设 则由 可得
，
即点A轨迹为以 为圆心，半径为2的圆，点B轨迹为以 为圆心，半径为3的圆，
则设 ，则
，（ 为辅助角）
，令 ，则 ，
则 ，又 ，
而 ，
故 ，故 的取值范围是 ，故答案为：
高考练场
1.（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数 ，将函数 的图
象先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与 图象重
合，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与 图
象重合，求得参数 ， ，即得答案.
【详解】将函数 的图象先向右平移 个单位长度后，得到
的图象，
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
由于得到的函数的图象与 图象重合，
故 ， ，所以 ，又 ，所以 ，故选：C．
2.（湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）数学试题）已知函数
，其中 ，若 在区间 上单调递减，则 的
最大值为__________．
【答案】
【详解】 ，由 ，
解得 ， 是其子集，故 ，解得 ，由
于 ，故令 可求得 的最大值为 .
3.（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数 ，使得函数 ( >0)的图象的一个对
称中心为( ，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的对称性进行求解即可.
【详解】由于函数 的图象的一个对称中心为 ，所以 ，所以
，
由于 ，则 ，
因为 ，所以可得： ，故选：C
4.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知直线 是函数 （ ）图象
的一条对称轴，则 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由对称轴求出 ，再求 在 上的值域即可.【详解】∵直线 是函数 （ ）图象的一条对称轴，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ 时， ， .
当 时， ，
∴当 时， 取最小值 ，
当 时， 取最大值 ，∴ ， ，
∴ 在 上的值域为 .故选：D
5.（2020 届百校联考高考 百日冲刺金 卷全国 Ⅱ卷 ?数学（理）（ 二）试题） 已知函数
的一条对称轴为 ，且 在 上单调，则 的最大
值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
函数 的对称轴可表示为： ， 在 上单调可得 ，
使得 ，然后可得 ，即可分析出答案.
【详解】
函数 的对称轴可表示为： ，
在 上单调可得 ，使得 ， 解得
又. ，∴当 3时， 可取最大值为
6.（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为
函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 即可得到答案.
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，故选：D.
7.（2020·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知点 ， 为曲线 ( )(常数
)的两个相邻的对称中心，若该曲线在点 ， 处的切线互相垂直，则 的值为 .
【答案】
【分析】由 , ,令 可得对称中心为
和 ,利用导数求得斜率,使得 ,整理可得 ,进而求解.
【详解】由题, , ,
令 ,当 时,一个对称中心为 ；
当 时,可得相邻的对称中心为 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
,
所以 ,
即 ,
所以 ,
等式两边同时除以 ,得 ,
解得 ,故答案为:
8.（四川省内江市威远县威远中学校2022-2023学年高三数学试题）已知函数 (ω>0)，
若 在 上恰有两个零点，且在 上单调递增，则ω的取值范围是________.
【答案】【分析】由 在 上恰有两个零点，令 ， ，可得 ，令
， ，可得f(x)在 上单调递增，从而有 ，联立求解
即可得答案.
【详解】解：由题意，令 ， ，得x＝ ， ，
∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为 ， ，∴ ，解得 ，
令 ， ，∴ ， ，
令k＝0，f(x)在 上单调递增，∴ ，
∴ ，解得 ，综上，ω的取值范围是 .故答案为： .
9.（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数 ，函数 的图象可以由函数
的图象先向右平移 个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍
得到，若函数 在 上没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数 ，根据三角函数的图象变换得到 ，令
，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.
【详解】函数 ，向右平移 个单位长度，得 ，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍得到 ，
令 ，得 ，所以 ，若函数 在 上没有零点，则需 ，所以 ，所以 ，
若函数 在 上有零点，则 ，
当k=0时，得 ，解得 ，当k=1时，得 ，解得 ，
综上：函数 在 上有零点时， 或 ，
所以函数 在 上没有零点， .所以 的取值范围是 .故选：A
10..已知函数 ，其中 ， ， 为 的零点，且 恒成立，
在区间 上有最小值无最大值，则 的最大值是_______
【答案】15
【分析】
由题意可得 是y＝f（x）图像的对称轴，而 为f（x）的零点，从而可得 • ，
n∈Z，由 在区间 上有最小值无最大值，可得周期T≥（ ） ，从而可求得ω≤16，
然后对ω＝15进行检验即可
【详解】
由题意知函数 为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴ • ，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间 上有最小值无最大值，
∴周期T≥（ ） ，即 ，∴ω≤16．
∴要求 的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得 15+φ＝kπ，φ ，函数为y＝f（x）＝sin（15x ），
在区间 上，15x ∈[ ， ），此时f（x）在 时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
11.（河北省衡水市第十四中学2020-2021学年高三四调数学试题）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|
φ|≤ ），x=- 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）上单调，则ω的
最大值为______．
【答案】
【分析】先根据 是 的零点， 是 图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得
的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对 赋值验证找到适合的最大值即可．
【详解】由题意可得 ，即 ，解得 ，又因为 在 上单调，所以 ，即 ，
因为要求 的最大值，令 ，因为 是 的对称轴，所以 ，
又 ，解得 ，所以此时 ，
在 上单调递减，即 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在
不单调，
同理，令 ， ， 在 上单调递减，因为 ，
所以 在 单调递减，满足题意，所以 的最大值为5.
12.（江苏省泰州中学 2020-2021 学年高三上学期第二次检测数学试题）已知非负实数 ， 满足
，则 的最大值为__________.
【答案】
【分析】由 ，得 ，用换元法，令 ， ，
将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.
【详解】由题意得： ，令 ， ， 又 ， 为非负实数，
， ， ，即 ，
解得 ， .故 （其中
），
，即 ， ，即
又 在 上单调递增，∴当 时， 取得最大值，
故当 ， 时， 取得最大值，最大值为 .故答案为：
13.．函数y＝x＋ 的最小值为________．
【答案】5－
【分析】整理y＝x＋ 得：y＝x＋ ，利用 作三角换元得：x－5＝
cos α， ，即可整理函数为：y＝2sin ＋5，利用三角函数的性质即可得解.
【详解】原函数可化为：y＝x＋ .由2－(x－5)2≥0 |x－5|≤ ，令x－5＝ cos ，
⇒那么y＝ cos ＋5＋ sin ＝2sin ＋5.
因为 ＋ ∈ ，所以sin ∈ ，所以函数的最小值为5－ .
14.（广东省清远市恒大足球学校2020届高三上学期九月月考数学试题）若 ，那么 的最大
值为_________________.
【答案】
【分析】设 ，利用三角函数有界性得函数的最大值.
【详解】设 ，所以
所以 的最大值为 .故答案为：
15.在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角为 ，且 与 的夹
角为 ，若 ，则 _________．
【答案】
【详解】
以 为 轴，建立直角坐标系，则 ，由 的模为 与 与 的夹角为 ，且 知，
，可得 ， ，由
可得 ， ，故答案为 .
