文档内容
重难点 04 指、对、幂数比较大小问题【八大题型】
【新高考专用】
从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，
往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小，主要涉及指数与对数的
互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质等知识，一般以选择题或填空题的形式
考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的常用方法】
1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同时，如 和 ，利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如 和 ，利用指数函数 单调性比较大小.
2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者
其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的
判定．
3．作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4．估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5．构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6．放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用函数的性质比较大小】
【例1】（2024·四川资阳·二模）已知a=40.3，b=30.4，c=ln2，则（ ）
A．ca>1.
又c=ln2<1，所以clog 1=0，所以0(√π) 0=1 ，所以b>l，
(1) x (1)− 1 (1) 0
由函数y= 是减函数，则c= 3> =1，所以c>l，
e e e
2 1 (1)− 1 1
由 b=(√π)3=π3，c=
e
3=e3，
1 1 1
由函数 y=x3是增函数，则
π3>e3
，即b>c，
故选：B.
【变式1-2】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知a=log 6，b=log √8，c=√e，则a，b，c大小关系为
5 2
（ ）
A．a = ，b=log √8=log 22= ，
4 2 2 2 2
3
a=log 6=log √362，∴a=22.1>22=4．
∵y=log x在(0,+∞)上单调递增，15<24，
2
∴b=log 15
2
log
2
8=
2
，
3
1=log 6 ，b
√9
=
3
，b=log 5log 0.9=1，即b>1；
0.9 0.9 0.9
1
可得c=log =log 2，且y=log x在(0,+∞)上单调递增，
1 2 3 3
3
1 1
则 =log √3b>a B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.
【解答过程】因为y=log x在(0,+∞)上单调递减，所以log 1
10
>1，所以
(5) 0.6
>
(10) 0.6
>10.6 ，故c>b>1，所以c>b>a.
3 7 3 7
故选：A.
1 a 1 1 − 1
【变式3-1】（2024·江西上饶·模拟预测）设( ) =2,b=log ,c=( ) 3，则有（ ）
3 1 3 2
2
A．alog 2√2=
3
，
3 3 3 1 3 2 2 2
2
1 1
3
c=23<22< ，且c>0，所以ac3得出b,c大小.
(1) a a=log 21，c=
(1)−
3
1
=23
1
=√32>0，
1 1 1 3 2 2
2 2 2
下面比较b,c，
( 3) 2 3
因为 32> 22 =8 ，所以 3>22，
3
3
所以b=log 3>log 22= ，
2 2 2
而c3=(√32) 3 =2< (3) 3 = 27 ，故c< 3 ，所以cc>a.
故选：B.
【变式3-3】（2024·天津和平·三模）设a=0.42，b=log 3，c=40.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
0.4
A．a40=1，
y=0.4x在定义域上单调递减，所以0b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
3 3 3
【解题思路】根据指数函数性质得出a> ，b< ，c< ，然后利用作差法比较b与c的大小关系即可.
2 2 23 3
【解答过程】因为32>23，所以log 32>log 23 ，即2log 3>3，所以log 3> ，即a> ；
2 2 2 2 2 2
3 3
因为52<33，所以log 520，所以b>c；
5 5
综上所述，a>b>c.
故选：A.
√ 2
【变式4-1】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=log 12,c=log 6,d=3− ，则有（ ）
3 2 3
A．a>b>c B．b>a>d
C．c>a>b D．b>c>a
√ 2
【解题思路】由题意首先得02,c=log 6=1+log 3>2，从而我们只需要比较log 4,log 3的大小关系即可求
3 3 2 2 3 2
解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
√ 2
【解答过程】a=0.311.5<0.310=1，所以02,c=log 6=1+log 3>2，
3 3 2 2
(
ln4+ln2) 2
又因为 log 4 ln4⋅ln2 2 (ln2√2) 2 ，
3 = < = <1
log 3 ln3⋅ln3 ln3⋅ln3 (ln3) 2
2
所以b0，所以b>a；
3 2 6 6
ln5 ln2 2ln5−5ln2 ln25−ln32
又因为c−a= − = = <0，所以a>c；
5 2 10 10
综上所述：c1，所以blog 0.72= >√2，所以af( )，即a> ，
2 2 2 2 2
所以cln7，故c的值最大．
下面比较a，b的大小．
构造函数f (x)=lnx−ln2−lnx⋅ln2=(1−ln2)lnx−ln2，
显然f (x)在(0,+∞)上单调递增．
因为f (8)=ln8−ln2−ln8⋅ln2=ln2(2−ln8)=ln2(lne2−ln8)<0，所以a−b=f (7)b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.
【解答过程】先比较a和b，构造函数y=x4在上(0,+∞)单调递增，
∵
(
54
1) 4
=5>
625
=
(5) 4
，∴54
1
>
5
，即a>b；
256 4 4
又∵4b=5，4c=4log 5=log 54 ，且45=4×256>54=625，
4 4
∴ 4c=log 54c，
4 4
∴a>b>c.
故选：A.
【变式5-3】（2024·河南·模拟预测）已知实数a,b,c满足a2+log a=0,2023−b=log b,c=log √6，
2 2023 7则（ ）
A．a0，所以 0,g(2023)= −1<0，所以1< b<2023，
2023 2023
1 1
因为c=log √6log π=b>log 3=1，即a>b>1，
e 3 3
∵a=lnπ=ln(√π) 2 , c=√πln2=ln2√π，
下面比较(√π) 2 与2√π的大小，构造函数y=x2与y=2x，
由指数函数y=2x与幂函数y=x2的图像与单调性可知，当x∈(0,2)时，x2<2x；当x∈(2,4)时，x2>2x
由x=√π∈(0,2)，故(√π) 2 <2√π，故lnπ0)，则（ ）
A．ab D．无法确定
【解题思路】令aea=blnb=k，k>0，构造函数，作出函数图象，即可比大小.【解答过程】因为a>0，
所以aea>a>0，
因为aea=blnb，
所以blnb>0，可得b>1，
令aea=blnb=k，k>0，
k k
所以ea= ,lnb= ，
a b
k
设f(x)=ex，g(x)=lnx，ℎ(x)= ，
x
作出它们的图象如图：
由图可知aa，根据单调性得到c=
(1) ac
<
(1) a
=a，从而得到答案.
a a 2 2
(1) x
【解答过程】令f (x)= −x，其在R上单调递减，
2
1 1
又f (0)=1>0,f (1)= −1=− <0，
2 2
由零点存在性定理得a∈(0,1)，则y=log x在(0,+∞)上单调递减，
a
(1) x
画出y = 与y=log x的函数图象，
1 2 a
可以得到b∈(0,1)，
y =log x
又y =ax在R上单调递减，画出y =ax与 3 1 的函数图象，
2 2
2
可以看出c∈(0,1)，
(1) b (1) 0
因为 < =1，故log b<1=log a，故b>a，
2 2 a a
因为a,c∈(0,1)，故ac>a1=a，
ac=log c (1) ac (1) a
由 1 得，c= < =a．
2 2 2
综上，cb>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b
【解题思路】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.
【解答过程】ln23−
(ln2+ln4) 2
ln3 ln2 ln23−ln2ln4 2 ln2√9−ln2√8
b−a=log 3−log 2= − = > = >0
4 3 ln4 ln3 ln3ln4 ln3ln4 ln3ln4
ln24−
(ln3+ln5) 2
ln4 ln3 ln24−ln3ln5 2 ln2√16−ln2√15
c−b=log 4−log 3= − = > = >0
5 4 ln5 ln4 ln5ln4 ln5ln4 ln5ln4
所以c>b>a.
故选：C.
【变式7-1】（2024·云南·模拟预测）已知a=log 9,b=log 16,c=e−2，则（ ）
16 25
A．b>a>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
a log 3 a
【解题思路】a=log 3，b=log 4，作商 = 4 =log 3⋅log 5，利用基本不等式可得 <1，得ac.
【解答过程】a=log 9=log 32=log 3>0，b=log 16=log 42=log 4>0，
16 42 4 25 52 5
a
=
log
4
3
=log 3⋅log 5 <
(log
4
3+log
4
5) 2
=
(log
4
15) 2
<
(log
4
16) 2
=
(log
4
42 ) 2
=1，
b log 4 4 4 2 2 2 2
5
所以alog 2=log 2= >e−2=c，
4 4 22 2
所以b>a>c.
故选：A.
【变式7-2】（2024·湖南·模拟预测）已知a=log 2,b=log 3,c=log 5，则下列结论正确的是（ ）
3 5 8
A．ab>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b
【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.
1 1 3
【解答过程】因为a=log 5= log 25< log 27= ，
3 2 3 2 3 2
3 ( 81 ) 1 ( 81 ) 1 (1) 1 (1) 1 3
= 4< 4= 4，所以b=2 4> 且b<2，
4 256 243 3 3 2
c=3log 2+log 7=log 8+log 7>2√log 8⋅log 7=2，
7 8 7 8 7 8
所以c>b>a.
故选：B.
【题型8 放缩法比较大小】
【例8】（2024·四川乐山·三模）若a=log 2,b=log 3,c=e−2，则a,b,c的大小关系是（ ）
3 4
A．b ,b> ,c< ，利用作商比较法可得a lg2·lg4 2 ，
2 2 2 = ≤
b lg23 lg23
进而可得alog √3= ,b=log 3>log √4= ,c=e−2< ，
3 3 2 4 4 2 2
所以则a>c,b>c，
1 2
[ (lg2+lg4)]
又a log 2 lg2·lg4 2 lg28 lg29 4lg23 ，
= 3 = ≤ = < = =1
b log 3 lg23 lg23 4lg23 4lg23 4lg23
4
所以a = , < = ，故b∈ , ，
√4 216 √4 256 4 √4 216 √4 81 3 4 3
2 1 1 1 1 2 1 1
c=log 3− log 5= log 27− log 25> log 25− log 27= − = ，
5 9 3 3 5 9 3 3 5 9 3 3 3 3
所以alog 2√2=1.5，故a∈(1.5,2)，
2 2 2 2
4 4
b=ln4=1+ln <1+ln =1+ln1.6=1+ln√2.56<1+ln√e=1.5，即b<1.5.
e 2.5
1
由c=0.6−1.5可得c2=0.6−3= >4，又c>0，故c>2.则bb>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b
【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.
1 1 3
【解答过程】因为a=log 5= log 25< log 27= ，
3 2 3 2 3 2
3 ( 81 ) 1 ( 81 ) 1 (1) 1 (1) 1 3
= 4< 4= 4，所以b=2 4> 且b<2，
4 256 243 3 3 2
c=3log 2+log 7=log 8+log 7>2√log 8⋅log 7=2，
7 8 7 8 7 8
所以c>b>a.故选：B.
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）若实数a>b>0，则下列不等式一定不成立的是（ ）
1 1
A．0.3a<0.3b B．lga>lgb C． < D．√a>√b
a−1 b−1
【解题思路】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数
的性质判断D.
【解答过程】因为y=0.3x在定义域R上单调递减且a>b>0，所以0.3a<0.3b，故A正确；
因为y=lgx在定义域(0,+∞)上单调递增且a>b>0，所以lga>lgb，故B正确；
1 1
当a>1>b>0时， >0> ，故C不正确；
a−1 b−1
因为y=√x在定义域[0,+∞)上单调递增且a>b>0，所以√a>√b，故D正确.
故选：C.
2．（2024·四川眉山·一模）若a=log 91.1，b=log 0.2，c=40.40，则（ ）
3 0.5
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
【解题思路】结合指数函数和对数的运算性质易得a=2.2，b=log 5，c<2，进而分析比较22.2与5的大小，
2
进而比较211与55的大小，进而判断即可.
1
【解答过程】a=log
3
91.1=1.1⋅log
3
9=2.2， c=40.40<40.5=42=2 ，
1
b=log 0.2=log =log 5>log 4=2，
0.5 1 5 2 2
2
则a>c，b>c，下面比较a与b的大小，
即比较2.2=log 22.2 与log 5的大小，
2 2
即比较22.2与5的大小，
即比较211与55的大小，而211=2048<55=3125，
则aa>c.
故选：B.3．（2024·宁夏吴忠·一模）已知a=0.23,b=30.2,c=log 3，则（ ）
0.2
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得.
【解答过程】a=0.23<0.20=1，b=30.2>30=1，c=log 31>a>0>c，故b>a>c.
故选：C.
5 3+log 2
4．（2024·四川宜宾·一模）已知a= ，b=√3，c= 3 ，则（ ）
3 2
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
1 3+log 2 7 7
【解题思路】根据a2log √3= 得到c= 3 > ，由 >√3得到c>b.
3 3 2 2 4 4
25
【解答过程】∵ a2= <3=b2 ，∴ alog √3= ，∴ c= 3 > ，
3 3 2 2 4
∵
(7) 2
=
49
>3，∴ c=
3+log
3
2
>
7
>√3=b，
4 16 2 4
∴ c>b>a.
故选：D.
5．（2024·四川雅安·一模）下列不等式成立的是（ ）
A．
(3)
3
2
<
(3) 3
4 B．log 5
√5
D．(√2) 3.9>3.9
4 4 2 4 7 5
【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性可判断出结果.
3 2 3 (3) 2 (3) 3
【解答过程】对于A，因为底数 <1，所以随着指数的增大而减小，又 < ，所以 3> 4，故选项
4 3 4 4 4
A错误；
1
对于B，log 12= log 12=log √12=log 2√3，因为底数2>1，所以随着真数位置的增大而增大，又
4 2 2 2 2
5>2√3，所以log 5>log 12，故选项B错误；
2 4
1 1 √5 √5 √5
对于C，因为log 3>log √7= ， = > ，所以log 3> ，故选项C正确；
7 7 2 2 2√5 5 7 5对于D，因为[(√2) 3.9] 2 =23.9，(3.9) 2，函数2x,x2有两个交点，分别是当x=2,x=4，
2x增长速度比x2增长速度快，在(0,2)上2x>x2，在(2,4)上2xx2，所以23.9<(3.9) 2，即(√2) 3.9<3.9，故选项D错误.
故选：C.
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为
（ ）
1 1
A． > B．ln(a+1)>ln(b+1)
a b
C．a3>b3>0 D．√a−1>√b−1
【解题思路】利用不等式的性质、结合对数函数、幂函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得.
1 1 1 1 1 1
【解答过程】对于A， > ，不能推出a>b>0，如 > ，反之a>b>0 ，则有 < ，
a b −3 −2 a b
1 1
即 > 是a>b>0的既不充分也不必要条件，A错误；
a b
对于B，由ln(a+1)>ln(b+1)，得a+1>b+1>0，即a>b>−1，
不能推出a>b>0 ，反之a>b>0，则a>b>−1，
因此ln(a+1)>ln(b+1)是a>b>0的必要不充分条件，B正确；
对于C，a3>b3>0⇔a>b>0，a3>b3>0是a>b>0的充分必要条件，C错误；
对于D，由√a−1>√b−1，得a>b≥1>0，反之a>b>0不能推出a>b≥1，
因此√a−1>√b−1是a>b>0的充分不必要条件，D错误.
故选：B.
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=ex2−2x，记a=f (log 2),b=f (log 3)⋅c=f (log 5)，则
3 5 7
（ ）
A．a log 25= ，
3 3 3 3 3 3 5 3 5 3 5 3
所以log 2 log 343= ，
5 4 5 4 5 4 7 4 7 4 7 4所以log 2a>c B．c>b>a
C．a>c>b D．a>b>c
【解题思路】先根据对数函数的单调性比较出π−2f (log 3)>f (log 5)，即a>c>b.
2 2 2 2
故选：C.
二、多选题
9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A．2−0.01>2−0.001 B．log √3>log π−1
2 2
C．log 5e−0.01
1.8 1.7 3
【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得
log 3.01>1，由指数函数的性质可得e−0.01<1，即可判断．
3
【解答过程】解：对于A，因为−0.01<−0.001，所以2−0.01<2−0.001，所以A错误；
π
对于B，因为log √3>log =log π−1，所以B正确；
2 2 2 2ln5 ln5
对于C，因为log 5>0,log 5>0，所以log 5= < =log 5，所以C正确；
1.8 1.7 1.8 ln1.8 ln1.7 1.7
对于D，因为log 3.01>log 3=1,e−0.01e−0.01，所以D正确.
3 3 3
故选：BCD．
10．（2024·贵州·模拟预测）已知01，则（ ）
A．ammb
C．log a>log b D．log m>log m
m m a b
【解题思路】根据指数函数,对数函数,幂函数的单调性,结合不等式性质逐项分析即可.
【解答过程】对于A，根据y=xm在(0,+∞)单调递增，结合01，
a log a b log b
m m
1 1
知log a ，即log a>log b，D正确．
m m log a log b m m
m m
故选：AD.
11．（2024·吉林·模拟预测）若b>a>0，则下列不等式成立的是（ ）
a+b 1 1
A．a<√ab< (b−a) 2
2 2 2
【解题思路】对于AC：利用作差法分析判断即可；对于BD：举反例说明即可.
【解答过程】因为b>a>0，则√b>√a>0，
a+b b−a a+b
对于选项A：b− = >0，即b> ；
2 2 2
a+b (√b−√a) 2 a+b
−√ab= >0，即 >√ab；
2 2 2
√ab−a=√a(√b−√a)>0，即√ab>a；
a+b
所以a<√ab< a>0，1 1 1 1 1 1
因为 = , = ，即 > ，故B错误；
a 2 b 4 a b
因为2b−a=22=4,(b−a) 2=22=4，即2b−a=(b−a) 2，故D错误；
log a+log b 1
对于选项C：因为 2 2 = log ab=log √ab，
2 2 2 2
a+b
又由选项A知，0<√ab< ，
2
log a+log b a+b
所以 2 2 =log √ablog 2 4=2，
1
∴log
5>23>3−2，
2
即三个数中最大的数是log 5.
2
故答案为：log 5.
2
1
13．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log ，c=log 3，则三者大小关系为 alog 2= ，且b=log =log 3<1，
1 3 4 4 2 1 3 4
4 4
c=log 3>log 2=1，
2 2
故a1，c=− ，从而得到大小关系.
2
y=log x √2 √3
【解答过程】因为 √3 在(0,+∞)上单调递减，1> > ，
3 2 3
√2 √3 √2
故a=log log 1=0，所以a∈(0,1)，
√3 2 √3 3 √3 2 √3
3 3 3 3
x
(√2) √3
因为y= 在R上单调递减，− <0，
2 3
(√2)− √3 (√2) 0
所以b= 3 > =1，
2 2
1
√1 − 1
c=ln =lne 2=− ，
e 2
故c1时，试比较a、b及c之间的大
小关系．
【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较值的大小即可.
(2) x (2) x (2) 1 2
【解答过程】当x>1时，由于a= 是一个减函数，所以01 ，
c=log x c=log xlog 2.1；
0.5 0.5
（3）因为函数y=0.6x在R上是减函数，0.6<1.5，
所以0.60.6>0.61.5.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知a,b均为正实数，且a≠1．
a b 1 1
(1)比较 + 与 + 的大小；
b2 a2 a b
(2)比较log (b3+1)和log (b2+1)的大小．
a a
【解题思路】（1）利用作差法比较大小，即得答案；
（2）结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论a,b的取值范围，即可得答案.
a b (1 1) a−b b−a (a+b)(a−b) 2
【解答过程】（1） + − + = + = ，
b2 a2 a b b2 a2 a2b2
a,b均为正实数，∴a+b>0,(a−b) 2≥0，
(a+b)(a−b) 2 a b 1 1
∴ ≥0,∴ + ≥ + ；
a2b2 b2 a2 a b
（2）当a>1时，函数y=log x为增函数；当01时，b3>b2，则b3+1>b2+1，
若a>1，则log (b3+1)>log (b2+1)；
a a
若01，则log (b3+1)log (b2+1)．
a a综上所述，当¿或¿时，log (b3+1)>log (b2+1)；
a a
当¿时，log (b3+1)=log (b2+1)；
a a
当¿或¿时，log (b3+1)e，所以lnπ>lne=1，即x=lnπ∈(1,+∞)
因为1<2<5，所以0=log 1y；
1 ( 1)
（2）y=log 20，所以log 2∈ 0, ，
5 5 2 5 5 2
1 1
z=e − 2= 1 > 1 = 1 ，所以e − 2∈ (1 ,+∞ ) ，
√e √4 2 2
所以y0，a≠1）．
a a
【解题思路】（1）利用函数y=log x在(0,+∞)上单调递增，可得log 0.7log 9；
0.2 0.2 0.2
（3）由对数函数单调性分别限定出两个数的范围，即可得log 5<0log 9；
0.2 0.2
（3）由对数函数性质可知，函数y=log x在(0,+∞)上单调递减，函数y=log x在(0,+∞)上单调递增，
0.3 3
又5>1，所以可得log 5log 1=0，即可得log 5<0log 6；
a a
当a>1时，对数函数y=log x在(0,+∞)上单调递增，
a
又2<6，所以可得log 2log 6；当a>1时，log 2
