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专题四 《不等式》讲义
知识梳理 . 不等式
1．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ac；
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：①a>b，c>0⇒ac>bc; ②a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
有两相异 有两相等实
一元二次方程ax2＋bx＋c 没有
实根x， 根x＝x
1 1 2
＝0(a>0)的根 实数根
x(x<x) ＝－
2 1 2
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x 或x>x} {x|x≠x} {x|x∈R }
1 2 1
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x<x<x} ∅
1 2
3.均值定理
如果 ，那么 ，当且仅当 时，等号成立
【均值不等式的常见变形】
（1）
（2）
（3）
（4）
题型一 . 不等式的性质
1．下列命题中，正确的是（ ）A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2 D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
2．设a，b R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（ ）
A．充分∈而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 1
3．若 ＜ ＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，
a b
不正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．√7+3与√6+√10的大小关系是（ ）
A．√7+3＜√6+√10 B．√7+3＞√6+√10 C．√7+3
=√6+√10 D．不确定
5．已知a＞b＞1，0＜c＜1，下列不等式成立的是（ ）
A．ca＞cb B．ac＜bc
C．log a＞log c D．bac＜abc
c b
6．若实数x，y满足x＞y＞0，则（ ）
1 1
A． ＞ B．ln（x﹣y）＞lny
y x
C． D．x﹣y＜ex﹣ey
x+ y＜√2(x2+ y2 )
题型二 . 一元二次不等式
3
1 ． 集 合 A={x|(x−1)(2x−3)≤1}，B={x|−1＜x＜ }， 则 A∩ B 为
2
（ ）
1 3 3 1 3 1 3
A．{x| ＜x≤ } B．{x|1＜x≤ } C．{x| ≤x≤ } D．{x| ≤x＜ }
2 2 2 2 2 2 2
2．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有一个整数．则实数a的取值范围是（
）
A．{a|﹣1＜a≤0或2≤a＜3} B．{a|﹣2＜a≤﹣1或3＜a≤4}
C．{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3} D．{a|﹣2＜a＜﹣1或3＜a＜4}
3．如果不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c应有
（ ）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1） B．f（﹣1）＜f（5）＜f（2）
C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5） D．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）
4．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
5．如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2）
6．已知不等式（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0在x [1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为
． ∈
题型三 . 基本不等式
考点 1 . 和定积最大、积定和最小
a b
1 ． 已知a＞0，b＞0，且满足 + =1，则ab的最大值是（ ）
3 4
A．2 B．3 C．4 D．6
1
2．已知x＞0，则y＝x+ +1的最小值是（ ）
x
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知0＜x＜2，则y＝x 的最大值为（ ）
√4−x2
A．2 B．4 C．5 D．6
考点 2 . 凑定值
1
1．已知0＜x＜ ，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（ ）
2
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 8 9
5 1
2．已知x＜ ，求函数y＝4x﹣1+ 的最大值．
4 4x−5
考点 3 . 1 的代换
1．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
a b
2．若正数a，b满足2a+b＝1，则 + 的最小值是 ．
2−2a 2−b2 x
3．已知实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，则 + 的最小值为 ．
x y
考点 4 . x 、 y 、 xy 型
1．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为 ．
2．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为 ．
3．设x，y R，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是 ．
4．若a，b∈，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc＝12，则a+b+c的最小值是 ．
1 a
考点 5. y= + 型函数的最值
a b
1 |a|
1．设a+b＝2，b＞0，则当a＝ 时， + 取得最小值．
2|a| b
1 1 4 16
2．若正数a，b满足 + =1，则 + 的最小值为 ．
a b a−1 b−1
1 1
3．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2＝4，则 + 的最小值为 ．
x y
1 2 4
4．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时， + + 的最
a b c
小值为 ．
题型四 . 不等式恒成立问题
1．若关于x的不等式ax2﹣2ax+1＜0的解集为 ，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．∅0＜a≤1 D．0≤a≤1
2．已知关于x的不等式ax2﹣2x+4a＜0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围是（ ）
1 1
A．(−∞， ) B．( ，+∞) C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
2 2
3．设a R，若x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，则a＝ ．
4．若a∈，b R，且a＞0，b＞0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2+b ∈ 2＞2ab B．a+b≥2√ab C． 1 + 1 ≥ 2 D． 2b + a ≥2
a b √ab a 8b
1 4x2 y2
5．设正实数x，y满足x＞ ，y＞1，不等式 + ≥m恒成立，则m的最大值
2 y−1 2x−1
为 ．
6．设函数f（x）＝x2﹣ax+a+3，g（x）＝ax﹣2a，若 x R，使得f（x ）＜0和g（x ）＜
0 0 0
∃ ∈0同时成立，则a的取值范围为（ ）
A．（7，+∞） B．（6，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
C．（﹣∞，﹣2） D．（7，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
