文档内容
拔高点突破 04 多元函数最值与双重变量最值问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：消元法....................................................................................................................................2
题型二：判别式法................................................................................................................................2
题型三：基本不等式法........................................................................................................................2
题型四：辅助角公式法........................................................................................................................3
题型五：柯西不等式法........................................................................................................................3
题型六：权方和不等式法....................................................................................................................3
题型七：拉格朗日乘数法....................................................................................................................4
题型八：三角换元法............................................................................................................................4
题型九：构造齐次式............................................................................................................................5
题型十：数形结合法............................................................................................................................5
题型十一：向量法................................................................................................................................5
题型十二：琴生不等式法....................................................................................................................6
题型题型十三：双重变量最值问题....................................................................................................6
03 过关测试..........................................................................................................................................7解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、
齐次式等解题技能．
题型一：消元法
【典例1-1】已知正实数x，y满足 ，则 的最大值为______.
【典例1-2】已知实数 满足： ，则 的最大值为___________.
【变式1-1】对任给实数 ,不等式 恒成立,则实数 的最大值为__________.
题型二：判别式法
【典例2-1】（2024·广东茂名·二模）已知实数a，b满足 ，则 的最小值是 .
【典例2-2】已知 ，且 ，则 的取值范围是 .
【变式2-1】（2024·浙江·二模）设 ， ，若 ，且 的最大值是 ，则
.
【变式2-2】设非零实数a，b满足 ，若函数 存在最大值M和最小值m，则
.
题型三：基本不等式法
【典例3-1】已知 ，则 的最小值为 .
【典例3-2】已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【变式3-1】已知 ，则 的最大值为 ．【变式3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
题型四：辅助角公式法
【典例4-1】设 是一个三角形的三个内角，则 的最小值为 .
【典例4-2】曲线 上的点到坐标原点的距离的最小值等于 ．
【变式4-1】已知 ，则 的最小值为 ．
题型五：柯西不等式法
【典例5-1】实数x、y满足 ，则 的最大值是
【典例5-2】函数 的最大值与最小值之积为 ．
【变式5-1】已知 则 的最大值为
【变式5-2】已知 ， ， ，则 的最大值是 .
题型六：权方和不等式法
【典例6-1】已知 为锐角，则 的最小值为 .
【典例6-2】求 的最大值为
【变式6-1】已知 ，求 的最小值为
【变式6-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初
命名的．其具体内容为：设 ，则
，当且仅当 时，等号成立．根
据权方和不等式，若 ，当 取得最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．题型七：拉格朗日乘数法
【典例7-1】 ， ， ，求 的最小值．
， ， ，
【典例7-2】设 为实数，若 ，则 的最大值是 ．
【变式7-1】已知 为非负数, ,求 的最值.
题型八：三角换元法
【典例8-1】函数 的值域为 .
【典例8-2】函数 的值域是 ．
【变式8-1】函数 的值域是区间 ．
【变式8-2】若 ，且 ，则二元函数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．题型九：构造齐次式
【典例9-1】已知 ， ，则 的最大值是______.
【典例9-2】已知实数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．8
【变式9-1】（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足 ，则 的最大
值为____________．
题型十：数形结合法
【典例10-1】 的最小值为（ ）
A．5 B． C．6 D．
【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
的值为
A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·湖北·模拟预测）设 ，其中 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】已知点 在直线 ，点 在直线 上，且 ，
的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
题型十一：向量法
【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量 、 、 满足： ， ，则
的最小值为 ．【典例11-2】如图，圆 是 的外接圆， ， ， ，若 ，则
的最大值是 ．
【变式11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知 都是单位向量，且 ，则 的最小
值为 ；最大值为
【变式11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量 ，向量 ，则 的最大值是
．
题型十二：琴生不等式法
【典例12-1】在 内，求 的最大值 ．
【典例12-2】已知函数 ，则 的最小值是 .
【变式12-1】半径为 的球的内接三棱锥的体积 的最大值为 .
【变式12-2】半径为 的圆的内接三角形的面积的最大值是 ．
题型题型十三：双重变量最值问题
【典例13-1】规定 表示取 、 中的较大者，例如 ， ，则函数
的最小值为 .
【典例13-2】（2024·广东韶关·二模）定义 ，对于任意实数
，则 的值是（）
A． B． C． D．
【变式13-1】设 ，则 .【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）设 为实数 中最大的数．若， ，则
的最小值为 ．
1．已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点，若 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．16
2．函数 的值域为 .
3．函数 的值域为 ．
4．已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值为
5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则 的最大值为 .
6．已知实数 ， ， 满足 ，则 的最大值为
7．（2024·贵州·三模）以 表示数集 中最大（小）的数.设 ，已知
，则 .
8．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为 ．
9．向量 满足 ， ， ，则 的最大值为 .
10．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 ，向量 与 不共线，且 ，则 的最大值
为 ．
11．已知两个非零向量 满足 ，则 的最大值是 ．
12．设 为正数， ，则 的最大值是
13．函数 的最大值为 .
14．已知实数 满足： ，则 的最大值是
．15．已知圆 是 上的两个动点，且 .设 ， ，则
的最大值为 .
16．已知实数x，y满足 ，则 的最大值和最小值分别为 和 ．
17．函数 的最小值为 .（其中 表示 中较大者）
18．（2024·湖北·一模）记 ， 分别表示函数 在 上的最大值和最小值．则
．
19．记 表示x、y、z中的最小值.若x， ， ，则M的最大值为 .
20．已知将 中最小数记为 ，最大数记为 ，若
，则 ．
