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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 04 练 基本不等式及其应用（精练）
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最值问题．
3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2022·全国·高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，
用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
四、解答题
4．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；(2)求 的最小值．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知 ，则 的最大值是（ ）
A． B．3 C．1 D．6
4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若 且 ，若 的最大值为 ，则正常数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．（23-24高一下·福建南平·期中）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量 ， ，若向量 ， 共线且 ，则 的最大值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．3
9．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数 ， ，满足 （ ），则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·山东枣庄·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知 均为正实数， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（ ）
A． B．
C． D．
14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正数a，b满足 ，则（ ）
A． B．a与b可能相等
C． D． 的最小值为
15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数 满足 ，则下列选项正确的是（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
16．（23-24高一上·北京·期中）已知 ，则当 时， 取最小值为 ．
17．（2024·上海徐汇·二模）若正数 满足 ，则 的最小值为 .
18．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数 满足 ，则 的最小值是 ．
19．（23-24高二下·云南·阶段练习）设 ，若直线 过曲线 （ ，且
）的定点，则 的最小值为 ．
20．（23-24高一上·广西百色·期末）若 ，则 的最小值为 .
21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙 修建一个直角梯形花坛 ，设直角边
米， 米，若 米，问当 米时，直角梯形花坛 的面积最大．
22．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知 ，则 的最小值为 ．
四、解答题
23．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造
隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的
能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度 （单位； ）满足关系： ，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．
24．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知 ， ， ，求证：
(1) ；
(2) .
25．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款
运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产 （单位：千只）手表，
需另投入可变成本 万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价 万
元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）
(1)求2024年的利润 （单位：万元）关于年产量 （单位：千只）的函数关系式．
(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明：
(1)对任意的正实数 ， ， ，证明： ；
(2)设 ， ， 为正实数，且 ，证明： .
【B级 能力提升练】
一、单选题1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
2．（2023·河南信阳·模拟预测）若 ，则函数 有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．8 C． D．
4．（2024·辽宁·一模）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·辽宁大连·一模）若 奇函数，则 的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约 ，
横约 ，挂在墙上最低点 离地面 ，小兰身高 (头顶距眼睛的距离为 .为使观测视角
最大，小兰离墙距离 应为（ ）A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建
一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中 区域
是休闲健身区，以 为底边的等腰三角形区域 是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上， 中点恰
好在圆心O，则当健身广场的面积最大时， 的长度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
二、多选题
10．（2023·浙江绍兴·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． 且 B．
C． D．
11．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则下列说法正确的是（ ）A． 有最小值4 B． 有最小值
C． 有最小值 D． 的最小值为
12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知 ．则下列结论正确的有（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为3 D．
三、填空题
13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数 满足 ，则 的最大值为 ．
14．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若 ， ， ，则 的最大值为 .
15．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ．
16．（2024·陕西西安·三模）已知 ， ，则 的最小值为 ．
17．（2024·上海普陀·二模）若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 .
18．（23-24高一上·浙江·期末）已知 ，则 的最小值为 ．
四、解答题
19．（2024·全国·二模）已知实数 ，满足 .
(1)求证： ；
(2)求 的最小值.
20．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知 ， ，且 ．
(1)求证： ；(2)求证： ．
21．（23-24高一下·甘肃白银·期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在
市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形
鱼塘（记为菱形 ）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养
鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成 ，
， 三块区域，图中 是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边 上（点E与D，
C均不重合），F在鱼塘岸边 ．上（点F与B，C均不重合）．其中△ 的面积与四边形 的面
积相等，△ 为等边三角形．
(1)若测得EC的长为80米，求 的长．
(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢
网所需的花费最少？最少约为多少元？（安装费忽略不计，取 ）
22．（2023·贵州黔西·一模）设 ， ， 均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
23．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知 ， ．
(1)若 ，证明： ．
(2)若 ，求 的最小值．(3)若 ，求 的最大值．
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）设正实数 满足 ，则当 取得最大值时，
的最大值为（）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）设 为 中最大的数.已知正实数 ，记 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知 ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为C． 的最小值为 D． 的最小值为
三、填空题
6．（2023·山西·模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值是 .
7．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知实数 满足 ，则 的最大值为
.
四、解答题
8．（2023·全国·模拟预测）已知 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的最大值．
9．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起
血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间 （单位：小时）的关系如下： 当
血药浓度不低于 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过 ．
(1)若注射 药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml
药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求 的最小值．
