文档内容
重难点突破 04 双变量与多变量问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................2
题型一：双变量单调问题....................................................................................................................2
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题.......................................................................................7
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题.....................................................................................14
题型四：双变量不等式:中点型.........................................................................................................19
题型五：双变量不等式:剪刀模型.....................................................................................................24
题型六：双变量不等式:主元法.........................................................................................................30
题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换.................................................................................35
03过关测试.........................................................................................................................................41破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
题型一：双变量单调问题
【典例1-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，对任意 ，当 时，不等式 恒成立，求实数m
的取值范围.
【解析】（1） ，
若 ，则 恒成立，当且仅当 时等号成立，
故 的增区间为 ，无减区间.
若 ，则当 或 时， ；当 时， ，
故 的增区间为 ，减区间为 ，
若 ，同理可得 的增区间为 ，减区间为 .
（2）若 ，则 ，
由（1）可得 的增区间为 ，
故 即为 ，
故 ，
设 ，故 为 上的减函数，
而 ，所以 在 上恒成立，
故 在 上恒成立，
设 ，故 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
故 ，故 即
【典例1-2】已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：对任意 ， ， ．
【解析】（1）当 时， ， ，切点为
求导 ，切线斜率
曲线 在 处的切线方程为 ．
（2） ， 的定义域为 ，求导 ，
在 上单调递减．
不妨假设 ，∴ 等价于 ．
即 ．
令 ，则 ．
， ， ．
从而 在 单调减少，故 ，即 ，
故对任意 ．
【变式1-1】已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，如果对任意 ， ，求证： .
【解析】（1）函数定义域为 ， ，①当 时， ， 在 单调递增；
②当 时， ， 在 单调递减；
③当 时，由 得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减.
（2）证明：不妨设 而当 时，
由（1）可知 在 单调递减，
从而 ， 等价于 ， .
构造函数 ，只需 在 单调递减，
即 在 恒成立，
分离参数法： ，只需 .
【变式1-2】（2024·安徽·三模）设 ，函数 .
（Ⅰ）讨论函数 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，且对任意 ，
，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（Ⅰ） 的定义域是 .
.
（1）当 时， ， 的定义域 内单增；
（2）当 时，由 得， .
此时 在 内单增，在 内单减；
（3）当 时， ， 的定义域 内单减.
（Ⅱ）因为 ，所以 ， .
此时 .由（Ⅰ）知， 时， 的定义域 内单减.
不妨设 ，
则 ，即 ，
即 恒成立.
令 ， ，则 在 内单减，即 .
， ， .
而 ，当且仅当 时， 取得最小值 ，
所以 ，故实数 的取值范围是 .
【变式1-3】已知函数 .
(1)若函数 在点 处的切线 与直线 平行，求 的方程；
(2)判断命题“ 对任意 恒成立”的真假，并说明理由；
(3)若对任意 都有 恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由函数 ，可得 ，
设切点坐标 ，可得 ，
因为函数 在点 处的切线 与直线 平行， ，解得 ，
所以 ，即切点坐标为 ，所以切线方程为 ，即 .
（2）真命题，
理由如下：
欲证 对任意 恒成立，
即证 对任意 恒成立，
令
可得 ，
令 ，可得 ，
则 的关系如下表：5
+ 0 -
极大
值
故 ，即 对任意 恒成立，
故原命题得证
（3）不妨设 ，若 ，
可得 ，
设 ，则 恒成立，
故 是 的增函数，即 对 恒成立，
可得 在 恒成立，
设 ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 在 上递减，
令 ，可得 ，所以 在 上递增，
即有 在 处取得极小值，且为最小值 ，得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， 且 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
将 代入 的解析式，得 ，
求导得 ．当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ．
所以当 时， ，当 时， ，于是 在区间 上单调递
减，在区间 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增．
（2）当 时， ．
因为 ，所以不等式 可化为 ，
所以 对任意的 恒成立，所以函数 为 上的减函数，
所以 在 上恒成立，可得 在 上恒成立，
设 ，则 ，令 ，得 ．
所以当 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 ，得 ．
所以实数 的取值范围为 ．
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
【典例2-1】设函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的最小值.
【解析】（1）当 时， ，则 定义域为 ，
，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 .（2） 定义域为 ， ，
有两个极值点 等价于 在 上有两个不等实根 ，
， ， ， ，
；
设 ，
则 ，
在 上单调递减， ，
即 ，
的最小值为 .
【典例2-2】（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，
得 ，则 ， ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2） ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无减区间，
当 时，令 ，得 ， 单调递增，令 ，得 ， 单调递减，
综合得：当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ；
（3） ，
则 ，
因为 是函数 的两个极值点，
即 是方程 的两不等正根，
所以 ，得 ，
令 ，则 ，
得 ，
则 ，
所以
，
则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即 .
【变式2-1】已知函数 ，其中自然常数 ．
(1)若 是函数 的极值点，求实数 的值；
(2)当 时，设函数 的两个极值点为 ，且 ，求证： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，解得 ，
所以 ，所以令 ，所以 ，
所以当 时， ，函数 单调递减．
又 ，所以当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 确实是函数 的极大值点．
综上所述，实数 的值为0．
（2）因为 ，函数 的两个极值点为 ，且 ，
所以
设 ， ，则 ．
构建函数 ，则函数 的图象与直线 交于 ， 两点．
因为 ，所以当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，所以 ．
构建函数 ，所以函数 的图象与直线 交于点 ．
构建函数 ，所以 ，
所以当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，
函数 单调递增，所以当 时，函数 取得最小值 ，所以，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
【变式2-2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数
．
(1)求曲线 在点 处的切线 的方程，并判断 是否经过一个定点；
(2)若 ，满足 ，且 ，求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 （c为常数）．
因为 ，所以 ，
所以 ．
又 ，
所以曲线 在点 处的切线 的方程为 ，
即 ，
所以 经过定点 ．
（2）令 ，可得 ．
因为 ，满足 ，且 ，
所以关于 的方程 有两个不相等的正实数根 ，
则 ，所以
，
令函数 ，
则 ，
令 ，得 ，
因为当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又当 时， ，
所以 的取值范围为 ，
即 的取值范围为 ．
【变式2-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 为函数 的两个零点，求证： ．
【解析】（1） ， ．
当 时， ，则 在 上单调递增．
当 时，令 ，得 ，解得 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
记 ，要证 ，只需证 ，
只需证 ，只需证 ．
记 ， ，则 ，
记 ， ，
由（1）可知，取 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 成立．
【变式2-4】已知函数 ．若 有两个零点 ，且 ，证明：
．
【解析】若有两个零点 ，则 ，得 ．
，令 ，则 ，故 ，则， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，
，则 在 上单调递增， ，即 ，
故 .
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
【典例3-1】已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， ，且 有两个极值点，分别为 和 ，求 的最大值.
【解析】（1）若 ， ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ，
当 时， ，
所以函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ；
（2） ，
令 ，可得 ，
由题意可得， 是关于方程 的两个实根，
所以 ， ，
由 ，有 ，
所以 ，
将 代入上式，得 ，
同理可得 ，所以 ，
，①，
令 ,①式化为 ，
设 ，即 ，
，
记 ，则 ，
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ， 在 上单调递增，所以 ，
所以 ， 在 上单调递减，
又 ，
，
当 时， 的最小值为4，即 的最小值为2，
因为 在 上单调递减， 的最大值为 ，
所以 的最大值为 .
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .
【解析】（1）由题意得 ，则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，无最小值，最大值为 .
（2） ，则 ，
又 有两个不同的极值点 ，
欲证 ，即证 ，
原式等价于证明 ①.
由 ，得 ，则 ②.
由①②可知原问题等价于求证 ，
即证 .
令 ，则 ，上式等价于求证 .
令 ，则 ，
恒成立， 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
原不等式成立，即 .
【变式3-1】（2024·四川德阳·二模）已知函数 ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ，求 的最小值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ,
令 ，则 ，
因为 ，
当 时， ，则 ，即 ，此时 在 上单调递增，
当 时， ，由 ，得 ，且 ，
当 或 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 在 , 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 , 上单调递增，在 上单调递减，
其中 .
（2）由（1）可知， 为 的两个极值点，且 ，
所以 ，且 是方程 的两不等正根，
此时 ， ， ，
所以 ， ，且有 ， ，
则
令 ，则 ，令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
所以 ，
所以 的最小值为 .
【变式3-2】（2024·广东佛山·二模）已知 .(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
【解析】（1）当 时， ，
，
则当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
故 的单调递减区间为 、 ，单调递增区间为 ；
（2） ，令 ，即 ，
令 ， ，则 、 是方程 的两个正根，
则 ，即 ，
有 ， ，即 ，
则
，
要证 ，即证 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使 ，即 ，
则当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则 ，
又 ，则 ，故 ，
即 ，即 .
题型四：双变量不等式:中点型
【典例4-1】已知函数 .
(1)求函数 的单调区间;
(2)记函数 的图象为曲线C.设点 ， 是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点
，使得:① ;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依
切线”.试问:函数 是否存在“中值相依切线”，请说明理由.
【解析】（1）函数 的定义域是 .
由已知得， ，
当 时，即 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 .
所以，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，即 时，显然，函数 在 上单调递增；
当 时，即 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 .
所以，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上可得：当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
（2）假设函数 存在“中值相依切线”.
设 ， 是曲线 上的不同两点，且 ，
则 ， ．
，
曲线C在点 处的切线斜率 ，
依题意得： ，
化简可得： ，即 ，
设 （ ），上式化为： ，即 ，
令 （ ）， ，
所以 在 上递增，显然有 恒成立.
所以在 内不存在t，使得 成立，
则函数 不存在“中值相依切线”.
【典例4-2】已知函数 ， ．
(1)若 在 上为增函数，求实数 的取值范围．(2)当 时，设 的两个极值点为 ，且
，求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，
由题意 ，
即 对 恒成立，
整理得： ，
即 ，在 上恒成立，
显然 时成立．
当 时，设 ，
显然 且对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，
所以只要 ，又 ，
所以 ；
综上， ；
（2） ，
即 为方程 的两个根，
由题意可得 ，
∴ ，解得 ，
又 ， ，
两式相减得 ，令 ，则
，
令 ，
，所以 在 递减，
，所以 的最小值为 ．
【变式4-1】已知函数 ．
(1)若函数 在其定义域内为增函数，求实数 的取值范围；
(2)设 ，若函数 存在两个零点 ，且 ．问：函数
在点 处的切线能否平行于 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．
【解析】（1） ， ，
由题意知 恒成立，即 恒成立，所以 ，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，所以 ；
（2）设 在点 的切线平行于 轴，其中 ，
则 ，
由题意有 ，
①－②得 ，所以 ，由④得 ，所以
即 ⑤
设 ，则⑤式变为 ，
令 ， ，
所以函数 在 上单调递增，
因此 ，即 ，也就是 ，此式与⑤矛盾，
所以 在点 的切线不可能平行于 轴．
【变式4-2】（2024·广东·二模）已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函数 的图象
在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题可得
因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意得，斜率
，,
由 得，
，即 ，即
令 ，不妨设 ，则 ，
记
所以 ，所以 在 上是增函数，所以 ，
所以方程 无解，则满足条件的两点 不存在.
题型五：双变量不等式:剪刀模型
【典例5-1】已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程.
（2）若方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： .
【解析】（1）因为 ，所以 .
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
即 ；
（2）解法一：由题知 ， ，
则 ，
因为 ，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 ，令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，所以 ，
令 ， ，
，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 的最大值为 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，
故 .
即 ，得证．
解法二：因为 ，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，
结合（1）可知 ，
设 ，
， ，
故 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 的最大值为 .
因为 ，
所以 在 上恒成立，故 .
设 的解为 ，则 ，设 的解为 ，则 ，故 ， .故 ，得证．
【典例5-2】已知函数 有两个零点 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证： ；
(3)求证： ．
【解析】（1） ，
又因为函数 单调递增，且 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 ，即 时，
，
，
所以 在 和 上各有一个零点，
当 时， 的最小值为 ，且 ，
所以 在 内至多只有一个零点，
综上，实数 的取值范围是 ；
（2）设 ， ，
，
，
当 时， ，
，
所以 ，
所以 在 上单调递增，当 时， ，
即当 时， ，
又因为函数 有两个零点 ，
由（1）知， ， ，
所以 ，
（3）设 ，
，
，当 时，
因为 ，
令 ， ，
设 ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ,
所以 恒成立，显然 ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即 ，
设 的零点为 ， ，
易知 ，所以 ，
设 ，
设 ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 恒成立，即 ，
设 的零点为 ， ，
易知， ，
所以 ，
所以 ，
所以
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿
法．具体做法如下：如图，设r是 的根，首先选取 作为r的初始近似值，若 在点
处的切线与 轴相交于点 ，称 是r的一次近似值；用 替代 重复上面的过程，得到 ，称 是
r的二次近似值；一直重复，可得到一列数： ．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
近似值相等时，该值即作为函数 的一个零点 ．
(1)若 ，当 时，求方程 的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数 在点
处的切线，并证明： ；
(3)若 ，若关于 的方程 的两个根分别为 ，证明： ．【解析】（1） ，
当 时， ， 在点 处的切线方程为 ，与 轴的交点横坐标为 ，
所以 ， ， 在点 处的切线方程为 ，与 轴的交点为 ，
所以方程 的二次近似值为 ．
（2）由题可知， ， ， ，
所以 在 处的切线为 ，即 ；
设 ，
则 ，显然 单调递减，令 ，解得 ，
所以当 时， ，则 在 单调递增，
当 时， ，则 在 单调递减，
所以 ，
所以 ，即 ．
（3）由 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，也是 的最大值点，即 ，
又 时， ， 时， ，
所以当方程 有两个根时，必满足 ；
曲线 过点 和点 的割线方程为 ，
下面证明 ，
设 ，
则 ，
所以当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递增， ；
在 上 单调递减， ，
所以当 时， ，即 （当且仅当 或 时取等号），
由于 ，所以 ，解得 ；①
下面证明当 时， ，
设 ，因为 ，
所以当 时， （当且仅当 时取等号），
由于 所以 ，解得 ，②
① ②，得 ．
题型六：双变量不等式:主元法
【典例6-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)设 ，求 的单调区间；
(3)求证：当 时， .
【解析】（1）当 时， ，
故 在 处的切线斜率为 ，而 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由题意得 ，则 ，
令 ，即 ，
令 ，即 ，
时，单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
（3）证明：由（2）可知，当 时， 在 上单调递增，而 ，
即 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
设 ，则 ，因为 ，则 ，故 ，
所以 在 上单调递增，而 ，
则 ，即 ，而 ，
故 ，即 .
【典例6-2】（2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最小值；
(2)当 时，求证： （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 ， 求证： ．
【解析】(1)
令 得： ，
， ；
令 得： ；
在 上为增函数；在 上为减函数；
.
(2)由（1）知：当 时，有 ，
，即： ， .
(3)将 变形为：
即只证：
设函数
，
令 ，得： ．
在 上单调递增；在 上单调递减；的最小值为： ，即总有： ．
，即： ，
令 ， ，则
，
成立．
【变式6-1】已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的最小值，并证明：当 时， ．（其中e为自然对数的底数）
【解析】(1) 的定义域为 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
(2)令 ， ，
解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
证明如下：当 时，有 ，
所以 ，
即 ，所以 ．
【变式6-2】已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，求证： ， ．
【解析】（1）由题知 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
（2）由题知 ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以
令
即证 在 上恒成立，
因为
当 时， ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
因为 ， ，
令 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 恒成立，
因为 ，
所以 在 上恒成立，即得证.
【变式6-3】设函数 .
(1)求 的极值；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明： .
【解析】(1)函数 ，则 ，
令 ，解得： ，且当 时， ， 时，
因此： 的极小值为 ，无极大值.
(2)
令 ，则 ，
注意到： ，若要 ，必须要求 ，即 ，亦即
另一方面：当 时，因为 单调递增，则当 时，
恒成立，所以 在 时单调递增，故 ；故实数 的取值范围为： ；
(3)构造函数 ， ， ，
， ， ， 在 上是单调递增的；
故 即：
另一方面，构造函数 ，
，
在 上是单调递减的
故 即：
综上， .题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换
【典例7-1】已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，
（i）求实数 的取值范围;
（ii）求证: ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，其中
①当 时， ，所以函数 的减区间为 ，无增区间；
②当 时，由 得 ，由 可得 ．
所以函数 的增区间为 ，减区间为 ．
综上：当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ．
（2）（ⅰ）方程 可化为 ，即 ．
令 ，因为函数 在 上单调递增，
易知函数 的值域为 ，
结合题意，关于 的方程 （*）有两个不等的实根．
又因为 不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为 ．
令 ，其中 ，则 ．
由 可得 或 ，由 可得 ，
所以，函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增．
所以，函数 的极小值为 ，
且当 时， ；当 时，则 ．
作出函数 和 的图象如图所示：由图可知，当 时，函数 与 的图象有两个交点，
所以，实数 的取值范围是 ．
（ⅱ）要证 ，只需证 ，即证 ．
因为 ，所以只需证 ，
由（i）知，不妨设 ．
因为 ，所以 ，即 ，作差可得
所以只需证 ，即只需证 ．
令 ，只需证 ，
令 ，其中 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 在 上恒成立．
所以原不等式得证.
【典例7-2】已知函数 有三个极值点 ， ， （ ）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若 ，求实数a的最大值．
【解析】（1）函数 有三个极值点 ， ， （ ），
则 有三个不相等的实数根 ， ， （ ），
即方程 有三个不相等的实数根 ， ， （ ）．令 ，则 ，
由 得 ，由 得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
结合图象可知函数 的值域为 ，
所以a的取值范围为 ．
（2）由（1）知 ，
且 ， ，所以 ，
令 ，则 ，
则 ，即 ， ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 单调递减，则 ，
则 ，所以 单调递减，则 ，故 ．
由（1）知， 在 上单调递增，
所以 ，
故实数a的最大值为 ．【变式7-1】（2024·安徽阜阳·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性．
(2)已知 是函数 的两个零点 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围．
（ⅱ） 是 的导函数．证明： ．
【解析】（1） ．
①当 时， 在 上单调递增．
②当 时，令 得 ，即 在 上单调递增；
同理，令 得 ，即 在 上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知当 时， 在 上单调递增，不可能有两个零点．
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
若使 有两个零点，则 ，即 ，解得 ，
且 ，当 时， ，则有 ，
所以 的取值范围为 ．
（ⅱ） 是函数 的两个零点，则有 ①， ②，
①-②得 ，即 ，
，
因为 有两个零点，所以 不单调，
因为 ，得 ，
所以 ．
若要证明 成立，只需证 ，
即证 ，令 ，则 ，
则不等式只需证 ，
即证 ，
令 ，
，令 ，
令 ，因为 ，得 在 上单调递减，
得 ，得 ，即 在 上单调递减，
得 ，得 ，即 在 上单调递减，
所以有 ，
故有 ，不等式得证．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 存在零点，求a的取值范围；
(2)若 ， 为 的零点，且 ，证明： ．
【解析】（1） 的定义域为 ，
令 ，即 ，等价于 ，
设 ，则 （ ），
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
则 的最小值为 ， ，
要使得 存在零点，则 ，
即 ，得 ．
（2）由 为 的零点，得 ，
即 ，即
两式相减得 ，即 .
要证当 时， ，
只需证 ，只需证 ， ，
， ．
令 ， ，只需证 ，
，则 在 上单调递增，
∴ ，即可得证.
1．（2024·四川南充·二模）已知函数 有三个极值点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.【解析】（1）函数 有三个极值点
则 有三个不等实根
即方程 有三个不等实根 ，
令 ，则 ，
由 得 ，由 得 或
在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，所以
（2）由（1）知 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
令 ，则
令 ，则 ，
即 ， ，故
在 上单调递增，所以 .
2．（2024·四川·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 有2个零点 ，证明： ．
【解析】（1）当 ，函数 ，
则 ，
可知当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
则当 时， 取得极小值 ，也即为最小值，所以 的最小值为 ；
（2）由已知， 是 的两个零点，
则 ， ，
两式相减，得 ，
整理得 ，
欲证明 ，
只需证明不等式 ，
即证明 ，也即证明 ，
不妨设 ，令 ，则 ，
只需证明 ，即证明 即可，
令 ，则 ，
又令 ，则 ，
所以，当 时， ，即 单调递减，则 ，
故当 时， 单调递增，则 ，
所以，原不等式成立，故不等式 得证．
3．已知 是函数 的导函数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 为函数 的两个零点且 ，证明： ．
【解析】（1）函数 ， ，
令 ， ，
因为 ，令 ， ，当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
即函数 的单调增区间为 ，减区间为 ；
（2）证明：由（1）可知 解得 ，
又 ， ，
所以 ，
因为 是 的两个零点，所以 ， ，
即 ， ，两式相减得 ，
令 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ，
要证 ，即证 ，即证 ，
只需证： ，
令 ， ，
，
令 ，
所以 在 上单调递减且 ，
所以 ，则 在 上单调递增且 ，
所以 ，从而得证 ，即 ．
4．已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 ， 时，证明： .【解析】（1）由题意， ， ，
所以当 时， ， ，
由 解得： 或 ，由 解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 有极大值 ，极小值 .
（2）由题意， ， ，
要证 ，只需证 ，
而 ，
，
所以只需证 ，
即证 ①，下面给出两种证明不等式①的方法：
证法1：要证 ，只需证 ，
即证 ，令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
显然 ，所以当 时， ，
因为 ，所以 ，即 ，
故 .
证法2：要证 ，只需证 ，即证 ，令 ，则 ，所以只需证当 时， ，即证 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，所以 成立，即 ，
故
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 有3个极值点 ，其中 是自然对数的底数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： ．
【解析】（1）由题意，得 ，
由 ，得 或 ，所以0是函数 的一个极值点．
所以 有2个不相等的实数根，且这2个根均不为0和 ．
令 ，则 ．
当 时， 恒成立，故 在定义域上是增函数，不可能有2个零点；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 ，即 ，所以 ．
又 ．
由零点存在定理可知， 在 上存在唯一零点．
令 ，则 ，令 得 ，
令 得 ，所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ， ，
所以 ，由零点存在定理可知， 在 上存在唯一零点．
因为 所以 ，
综上， 的取值范围是 ．
（2）证明：由（1）知，0是函数 的一个极值点．不妨设 ，所以只要证明 ．
由 得 ，即 两式相除得 ．
令 ，则 ．
所以 ，所以 ．
所以要证明 ，只要证明 ，
即 ，其中 ，所以 ．
所以只要证明 ．令 ，
所以 ，从而 恒成立，
所以 在 上是减函数，所以 ．
所以 在 上是增函数，所以 ，即证： ．
另由 ，知 ，所以 ，且 为 的两根．
记 ，则 ，当 ， ，当 ，
故 在 上递增，在 上递减．
不妨取 ，所以要证 ，即要证 ，
只要证 ，又 ，故只要证 ，
即要证 ，也即要证 (#)．
令 ，则 ．
而当 时， ，故 在 上递减，
故 ，故 在 上递增，故 ，所以(#)成立，故 ．
6．已知函数 .
(1)试判断函数 的单调性；
(2)已知函数 ，若 有且只有两个极值点 ，且 ，证明：
.
【解析】（1）因为函数 ，定义域为 ，
所以 ，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 单调递增；
当 时，令 ，即 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减；
（2）由题可知， ， ，
因为 有两个极值点 ，
所以 是 的两个根，
则 ，
所以
，
所以，要证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则证明 ，
令 ，则 ，
所以， 在 上单调递增，则 ，
即 ，
所以原不等式 成立．
7．（2024·福建龙岩·二模）已知函数 ， ．
(1)若 满足 ，证明：曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线；
(2)若 ，且 ，证明： ．
【解析】（1）由已知有 ， ,
曲线 在点 处的切线方程为： ,
即： ，将 代入即有： ,
由 得 令 得： ，此时 ,
可得：曲线 在点 处的切线方程为：
，将 代入化简，
可得：
故曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．
（2）∵ ，∴ ，令 ，得： ，
∴ ， 为方程 的两根，
∴ 即： ，
∴ ∴ ，
∴
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 单调递减 ∴
即
8．（2024·新疆·三模）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个不相等的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，综上当 时， 在区间 上单调递增，当 时， 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减.
（2）方程 ，即 ，等价于 ，
令 ，其中 ，则 ，显然 ，
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，且由 时 可得在区间 上 ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，
因为方程 有两个实根 ，
所以关于 的方程 有两个实根 ， ，且 ， ，所以 ，
要证 ，即证 ，即证 ，只需证 ，
因为 ，所以 ，整理可得 ，
不妨设 ，则只需证 ，
即 ，
令 ， ，其中 ，
因为 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ，故 ．
9．已知函数 .
(1)当 时，试比较 与 的大小；
(2)若斜率为 的直线与 的图象交于不同两点 ， ，线段 的中点的横坐标为 ，证明： .
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 .
（2）因为斜率为 的直线与 的图象交于不同两点 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
要证 ，即证 ，
又因为线段 的中点的横坐标为 ，所以 ，即证 ，
不妨设 ，上式可整理为 ，即 ，
令 ，则 ，所以上式即为 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 得证.
10．已知函数 （a为常数）．
(1)若函数 是增函数，求a的取值范围；
(2)设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），求 的范围．
【解析】（1） 的定义域为 ，
，
若函数 为增函数，则 在 上恒成立，
所以 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，解得 ，
故a的取值范围是 ；
（2）若 在定义域内有两个极值点，则 是方程 ，即 的两个不相等的实数根，
从而得到 ，即 ，
又 ，故 ，，
令 ，则 ，
，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 的值域为 ，
所以 的范围是 .
11．设函数 ， .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的极小值；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，则 .
曲线 在点 处的切线与直线 平行，此切线的斜率为 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得极小值 ，故 的极小值为 ；
（2）对任意 ， 恒成立等价于：对任意 ，
恒成立，
设 ，
则对任意 ， ，即 ，
所以，函数 在 上单调递减，
在 上恒成立，在 上恒成立， ，
故实数 的取值范围是 .
12．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实
数 的取值范围.
【解析】（1）将 代入 的解析式，得 ，
其定义域为 ，
，
当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时，令 ，
得 ，
所以当 时， ，当 时 ，于是 在 上单
调递减，在 上单调递增.
综上可得，当 时， 在 上单调递增；当 时 在 上单调递减，在
上单调递增.
（2）当 时， ，
不等式 恒成立可转化为
恒成立，
即 恒成立，
因为 ，所以 ，
设函数 ，则 为 上的减函数，所以 在 上恒成立，
可得当 时， 恒成立.
设 ，则 ，令 ，得 ，
所以当 时， ，当 时， ，于是 在 上单调递增，在
上单调递减，
所以 ，所以 .
所以实数 的取值范围为 .
13．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 ，若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，当且仅当 即“=”，则 ， 在
上单调递减，
当 时，方程 有两个正根为 ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
于是得 在 、 上单调递减，在 上单调递增；
（2）因 存在两个极值点 ，且 ，由(1)知 ，即 ，则 ，
显然， 对 是递增的，从而有 ，，
令 ，
，
令 ， ，
即 在 上单调递增， ，则 ，于是得 在 上单调递增，
从而得 ，即 ，
所以 的取值范围 .
14．已知函数 ，其中 为常数．曲线 过点 ，曲线 关
于点 中心对称．
(1)求 的值;
(2)记 ．
（i）讨论 在区间 上的单调性;
（ii）若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意知， ，又 的对称中心为 ，
所以 ，故
（2）由（1）知，
，因为 ，
所以当 ，即 时， 恒成立，则函数 在区间 上单调递增．
当 时，由 ，得 ，
当 时， ，当 时，则函数 在区间 单调递减，在 单调递增．
（ⅱ）由（ⅰ）知， 时才可能出现两个极值点 ， ，
且 ， 是方程 的两根，则 ， ．
而
，
令 ， ，
当 时， ，此时 ， ，
所以函数 在 上单调递减，
则 ，即 不符合题意；
当 时， ，此时 ，
，所以函数 在 上单调递减，
则 ，即 成立，
即 成立，综上所述， 的取值范围是 .
15．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数 ，
可得 ，其中 ，
当 时，即 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，即 ，
解得 ， ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在区间 单调递减，在 单调递增；
当 时，令 ，即 ，
解得 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
（2）由（1）值，当 时，函数 存在两个极值点 ，且 ，
因为 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，可得 ，
令 ，则 ，
所以 在 为单调递增函数，
又因为 ，所以当 时， ，
即实数 的取值范围为 ．
16．（2024·四川成都·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 存在两个极值点 且满足 ，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，定义域为 且 ，则 ，
当 或 时， 恒成立，当 时，由 得 或 ，
于是结合函数定义域的分析可得：
当 时，函数 在定义域 上是增函数；
当 时，函数 定义域为 ，此时有 ，
于是 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增
函数；
当 时，函数 定义域为 ，
于是 在 上为减函数，在 上为增函数，
当 时，函数 定义域为 ，此时有 ，
于是 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是减函数，在
上是增函数；
当 时，函数 定义域为 ，
于是 在 上是增函数，在 上是增函数；
（2）由（1）知 存在两个极值点时， 的取值范围是 ，
由上可知， ，
所以
，
不等式 可化为 ，
令 ，所以 ，
令 ， ，
当 时， ， ， ，所以 ，不合题意；
当 时， ， ，
所以 在 上是减函数，
所以 ，适合题意，即 ；
综上， 的取值范围是 .
17．（2024·内蒙古包头·二模）设函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ，
①求a的取值范围；
②证明： ．
【解析】（1）当 时， ，
故 ，
所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）① ，依据题意可知 有两个不等实数根，
即 有两个不等实数根 ．
由 ，得 ，
所以 有两个不等实数根可转化为
函数 和 的图象有两个不同的交点，
令 ，则 ，
由 ，解得 ；由 ，解得 ；
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ．
又当 时， ，当 时， ，因为 与 的图象有两个不同的交点，所以 ．
②由①可知 有两个不等实数根 ，
联立 可得 ，
所以不等式 等价于
．
令 ，则 ，且 等价于 ．
所以只要不等式 在 时成立即可．
设函数 ，则 ，
设 ，则 ，
故 在 单调递增，得 ，
所以 在 单调递减，得 ．
综上，原不等式 成立．
18．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ，证明： ．
【解析】（1）∵ ，当且仅当 时等号成立．
当 时，恒有 ，则 在 上单调递增；
当 时， ，令 ， ．
∵ ，∴方程 有两个不相等的实数根，
∴ ， ，显然 ，
∴当 和 时， ；当 时， ．
∴当 和 时， ，∴ 在 和 上单调递增；
当 时， ，∴ 在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当 时， 存在两个极值点 ，∴ ， ，∴ ， ，
∴ ．
设 ，由（1）易知 ，∴ ．
要证明 ，
只要证明 ．
设 ，则 ，
∴当 时， 单调递增，从而 ，即 ，
∴ 成立，从而 成立．
要证明 ，只要证明 ．
由（1）知， ， ，
只要证明 ．
设 ，
则 ， ，
则当 时， 单调递增，从而 ；
则当 时， 单调递减，从而 ，
即 成立，从而 ．
综上，得 ．
