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专题 4.5 恒成立问题和存在性问题
题型一 最值法
题型二 分离参数法
题型三 分类讨论法
题型四 指对数同构
题型五 双变量问题
题型一 最值法
例1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）若对于任意的 及任意的
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）设函数 .
(1)若直线 是函数 图像的一条切线，求实数 的值；
(2)若 ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
练习1．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，若存在 使得
，则实数 的取值范围是______．
练习2．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知函数 ，
若存在实数x使不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
练习3．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数 .(1)若 ，关于x的不等式 恰有两个整数解，求m的取值范围；
(2)若 的最小值为1，求a.
练习4．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有
在定义域内恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
练习5．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）若不等式
在 有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 分离参数法
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对于 ，均
有 ，则实数b的取值范围为_____
例4．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）已知 ，
.
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)对一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
练习6．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在 ，使 成立，求a的取值范围.练习7．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知
.
(1)求函数 的最小值；
(2)若存在 ，使 成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切 ，都有 成立．
练习8．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数
，对任意 ，存在 ，使 ，则 的最
小值为（ ）．
A．1 B．
C． D．
练习9．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）若不等式
对 恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
练习10．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的最小值．
题型三 分类讨论法
例5．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知函数 ， .
(1)若 恒成立，求实数 的取值范围.
(2)证明：当 时， .
6．（广东省部分地市2023届高三下学期模拟（三）数学试题）已知函数 ，
.(1)讨论 的单调性；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 当 时，若
对于区间 上的任意两个不相等的实数 ，都有 成立，
则实数 的取值范围__________.
练习12．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）若关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围是_____.
练习13．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ．
(1)讨论 在 上的单调性；
(2)若对于任意 ，若函数 恒成立，求实数k的取值范围．
练习14．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知 在
上恒成立，则实数a的取值范围________．
练习15．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数 ，若不等式
对 恒成立，则实数a的取值范围为__________.
题型四 指对数同构
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式 在区间 上有解，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．例8．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知不等式 对任意 恒成立，
则实数a的取值范围是______．
练习16．（2023春·湖北·高二校联考期中）若存在正实数 ，使得不等式
成立（ 是自然对数的底数），则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
练习17．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）若不等式
对任意 成立，则实数 的取值范围为__________．
练习18．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 恒成立，则 的取
值范围为______.
练习19．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知 ，不等式 对
恒成立，则实数 的最小值为__________.
练习20．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知函数 .
(1)试求函数 的极值；
(2)若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围.
题型五 双变量问题
例9．（2023春·贵州·高三校联考期中）（多选）已知 ，且 恒成立，
则k的值可以是（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
例10．（2023春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知函数
（ 是自然对数的底数）(1)求 在 处的切线方程.
(2)存在 成立，求a的取值范围.
(3)对任意的 ，存在 ，有 ，则 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
练习21．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）设函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 （其中 ），证明： ；
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 设
.
(1)若 在 上单调递增,求实数 的取值范围;
(2)求证: ;对 ,使得 总成立.
练习23．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若存在 ， ，使得
恒成立，求实数m的取值范围．
练习24．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知函数 .
(1)当 时，求 的图像在点 处的切线方程；(2)若不等式 恒成立，求 的取值集合.
练习25．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是 增 函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
