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专题四 《不等式》讲义
知识梳理 . 不等式
1．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ac；
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：①a>b，c>0⇒ac>bc; ②a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
有两相异 有两相等实
一元二次方程ax2＋bx＋c 没有
实根x， 根x＝x
1 1 2
＝0(a>0)的根 实数根
x(x<x) ＝－
2 1 2
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x 或x>x} {x|x≠x} {x|x∈R }
1 2 1
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x 1 <x<x 2 } ∅
3.均值定理
如果 ，那么 ，当且仅当 时，等号成立
【均值不等式的常见变形】
（1）
（2）
（3）
（4）
题型一 . 不等式的性质
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则a2＞b2 D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
【解答】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；
对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；
对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；
对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．
故选：C．
2．设a，b R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（ ）
A．充分∈而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，
若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，
故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
1 1
3．若 ＜ ＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不
a b
正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1 1
【解答】解：由 ＜ ＜0，可得 0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；
a b
∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，
故选：C．
4．√7+3与√6+√10的大小关系是（ ）
A．√7+3＜√6+√10B．√7+3＞√6+√10 C．√7+3=√6+√10 D．不确定
【解答】解： ， ，
(√7+3) 2=16+6√7=16+√252 (√6+√10) 2=16+2√60=16+√240
∴ ，
(√7+3) 2＞(√6+√10) 2
∴√7+3＞√6+√10．
故选：B．
5．已知a＞b＞1，0＜c＜1，下列不等式成立的是（ ）
A．ca＞cb B．ac＜bc
C．log a＞log c D．bac＜abc
c b【解答】解：对于A，因为0＜c＜1，所以指数函数f（x）＝cx是减函数，
又a＞b，所以f（a）＜f（b），即ca＜cb，故A错误；
对于B，因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故B错误；
1
对于C，取a＝4，b＝2，c= ，
2
=log 4=− 1
则log c a 1
2
2，log b c=log 22 =−1，log c a＜log b c，故C错误；
b
对于D，由a＞b＞1，可得0＜ ＜1，
a
b b
又0＜c＜1，所以( ) 1＜( ) c，即bac＜abc，故D正确．
a a
故选：D．
6．若实数x，y满足x＞y＞0，则（ ）
1 1
A． ＞ B．ln（x﹣y）＞lny
y x
C． D．x﹣y＜ex﹣ey
x+ y＜√2(x2+ y2 )
1 1
【解答】解：因为x＞y＞0，所以 ＞ ，A正确；
y x
由于x﹣y与y的大小不确定，B不正确；
因为2（x2+y2）﹣（x+y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＞0，
所以2（x2+y2）＞（x+y）2，C正确；
令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由x＞y＞0，得f（x）＞f（y），
所以ex﹣x＞ey﹣y，
所以x﹣y＜ex﹣ey，D正确．
故选：ACD．
题型二 . 一元二次不等式
3
1．集合A={x|(x−1)(2x−3)≤1}，B={x|−1＜x＜ }，则A∩B为（ ）
21 3 3 1 3 1 3
A．{x| ＜x≤ } B．{x|1＜x≤ } C．{x| ≤x≤ } D．{x| ≤x＜ }
2 2 2 2 2 2 2
【解答】解：由A中的不等式变形得：2x2﹣5x+2≤0，即（2x﹣1）（x﹣2）≤0，
1 1
解得： ≤x≤2，即A＝{ ≤x≤2}；
2 2
3
∵B＝{x|﹣1＜x＜ }，
2
1 3
∴A∩B＝{x| ≤x＜ }．
2 2
故选：D．
2．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有一个整数．则实数a的取值范围是（
）
A．{a|﹣1＜a≤0或2≤a＜3} B．{a|﹣2＜a≤﹣1或3＜a≤4}
C．{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3} D．{a|﹣2＜a＜﹣1或3＜a＜4}
【解答】解：不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0；
当a＝1时，不等式的解集为空集，不符合题意；
当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，由解集中恰有一个整数，则实数 a满足2＜
a≤3；
当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足﹣
1≤a＜0；
综上知，实数a的取值范围是{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3}．
故选：C．
3．如果不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c应有
（ ）
A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1） B．f（﹣1）＜f（5）＜f（2）
C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5） D．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，
∴a＜0，﹣2，4是ax2+bx+c＝0的两个实数根，
b c
∴﹣2+4=− ，﹣2×4= ．
a a
那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣8）＝a（x﹣1）2﹣9a，（a＜0）．
此抛物线开口向下，其图象关系直线x＝1对称，
∴f（﹣1）＝f（3），f（2）＞f（3）＞f（5），∴f（2）＞f（﹣1）＞f（5），
故选：D．
4．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，
2
等价于a＜( −x) ，x [1，4]；
x
max
∈
2
设f（x）= −x，x [1，4]，
x
∈
则函数f（x）在x [1，4]单调递减，
且当x＝1时，函数∈ f（x）取得最大值f（1）＝1；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
5．如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2）
【解答】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，
当a＝2时，对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立；
当a≠2时，要使对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，
则{ a−2＜0 ，解得：﹣2＜a＜2．
[2(a−2)] 2−4(a−2)(−4)＜0
综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．
故选：C．
6．已知不等式（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0在x [1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为
[ ln 2 ， 2] ． ∈
【解答】解：若（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0，
则①x2﹣ax+1≥0且lnx﹣a≤0，
1
由x2﹣ax+1≥0，得：a≤x+ ，
x
1
由y＝x+ 在[1，2]递增，得：a≤2，
x
由a≥lnx得：a≥ln2，故ln2≤a≤2；
②x2﹣ax+1≤0且lnx﹣a≥0，
1
由x2﹣ax+1≤0，得：a≥x+ ，
x
1 5
由y＝x+ 在[1，2]递增，得：a≥ ，
x 2
由a≤lnx得：a≤ln1＝0，无解
故a的取值范围是[ln2，2]，
故答案为：[ln2，2]．
题型三 . 基本不等式
考点 1 . 和定积最大、积定和最小
a b
1 ． 已知a＞0，b＞0，且满足 + =1，则ab的最大值是（ ）
3 4
A．2 B．3 C．4 D．6
a b
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足 + =1，
3 4
√a b 3
∴1≥2 ⋅ ，化为：ab≤3，当且仅当a= ，b＝2时取等号．
3 4 2
则ab的最大值是3．
故选：B．
1
2．已知x＞0，则y＝x+ +1的最小值是（ ）
x
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵x＞0，
1 √ 1
∴y＝x+ +1≥2 x⋅ +1＝3，当且仅当x＝1时取等号．
x x
1
∴y＝x+ +1的最小值是3．
x
故选：B．
3．已知0＜x＜2，则y＝x 的最大值为（ ）
√4−x2
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：0＜x＜2，可得4﹣x2＞0，x2+4−x2
则y＝x√4−x2≤ =2，
2
当且仅当x2＝4﹣x2，即x=√2时，上式取得等号，
即有函数y的最大值为2．
故选：A．
考点 2 . 凑定值
1
1．已知0＜x＜ ，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（ ）
2
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 8 9
1
【解答】解：∵0＜x＜ ，
2
1 1 2x+(1−2x) 1
∴x（1﹣2x）= •2x（1﹣2x）≤ •[ ]2= ，
2 2 2 8
1
当且仅当2x＝1﹣2x时，即x= 时等号成立，
4
1 1
因此，函数y＝x（1﹣2x）的最大值为f（ ）= ，
4 8
故选：C．
5 1
2．已知x＜ ，求函数y＝4x﹣1+ 的最大值．
4 4x−5
1 1
【解答】解：根据题意，函数y＝4x﹣5+ +4＝﹣[（5﹣4x）+ ]+4，
4x−5 5−4x
5
又由x＜ ，则5﹣4x＞0，
4
1 √ 1
则（5﹣4x）+ ≥2 (5−4x)× =2，
5−4x 5−4x
1
则y＝﹣[（5﹣4x）+ ]+4≤﹣2+4＝2，
5−4x
1
故函数y＝4x﹣1+ 的最大值为2．
4x−5
考点 3 . 1 的代换
1．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2√a⋅2b．
化简可得 √ab≥2√2，
∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，
故ab的最小值是8，
故选：B．
a b 2√2 1
2．若正数a，b满足2a+b＝1，则 + 的最小值是 − ．
2−2a 2−b 3 2
2−u
【解答】解：设u＝2﹣2a，v＝2﹣b，则a= ，b＝2﹣v，
2
u+v＝3，（u，v＞0），
1
1− u
即有 a b 2 2−v
+ = +
2−2a 2−b u v
1 2 3 1 1 2 3
= + − = （u+v）（ + ）−
u v 2 3 u v 2
1 v 2u 3 1 √v 2u 3
= （3+ + ）− ≥ （3+2 ⋅ ）−
3 u v 2 3 u v 2
2√2 3 2√2 1
＝1+ − = − ．
3 2 3 2
当且仅当v=√2u＝6﹣3√2时，取得最小值．
2√2 1
故答案为： − ．
3 2
2 x
3．已知实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，则 + 的最小值为 2+ 2√2 ．
x y
【解答】解：∵实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，
2 x 2(x+ y) x 2y x √2y x
则 + = + =2+ + ≥2+2 ⋅ =2+2√2，当且仅当x=√2y＝2−√2
x y y y x y x y
时取等号．
故答案为：2+2√2．
考点 4 . x 、 y 、 xy 型
1．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为 2√3−2 ．
【解答】解：已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝2
即：xy＝2﹣（x+y），x+ y
利用基本不等式：xy≤（ ）2．
2
x+ y
∴2﹣（x+y）≤（ ）2．
2
解之得：x+y≥2√3−2
则x+y的最小值为2√3−2．
故答案为2√3−2．
2．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为 4 ．
x+2y
【解答】解：考察基本不等式x+2y＝8﹣x•（2y）≥8﹣（ ）2（当且仅当x＝2y
2
时取等号）
整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0
即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4（当且仅当x＝2y时即x＝2，y＝1时取等号）
则x+2y的最小值是4．
故答案为：4．
2√10
3．设x，y R，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是 ．
5
∈
【解答】解：∵4x2+y2+xy＝1，∴4x2+y2+4xy＝1+3xy，
3 3 2x+ y
∴（2x+y）2＝1+3xy＝1+ •2x•y≤1+ •( ) 2，
2 2 2
5
整理可得 （2x+y）2≤1，
8
2√10 2√10
解关于2x+y的一元二次不等式可得− ≤2x+y≤
5 5
2√10
∴2x+y的最大值为：
5
4．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc＝12，则a+b+c的最小值是 2√3 ．
【解答】解：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝12+（b﹣c）2≥12，
当且仅当b＝c时取等号，
∴a+b+c≥2√3
故答案为：2√31 a
考点 5. y= + 型函数的最值
a b
1 |a|
1．设a+b＝2，b＞0，则当a＝ ﹣ 2 时， + 取得最小值．
2|a| b
【解答】解：法一：
∵a+b＝2，b＞0，
1 |a| 1 |a|
∴ + = + ，（a＜2）
2|a| b 2|a| 2−a
1 |a|
设f（a）= + ，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
2|a| 2−a
利用导数研究其单调性得，
1 a
当a＜0时，f（a）=− + ，
2a a−2
f′（a） 1 2 −(3a−2)(a+2)，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a
= − =
2a2 (a−2) 2 2a2 (a−2) 2
＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，
1 |a| 3
∴当a＝﹣2时， + 取得最小值 ．
2|a| b 4
2 1 |a| 5
同样地，当0＜a＜2时，得到当a= 时， + 取得最小值 ．
3 2|a| b 4
1 |a|
综合，则当a＝﹣2时， + 取得最小值．
2|a| b
法二：
因为a+b＝2，b＞0，
要取得最小值，则a＜0，
1 |a| a+b |a| a b |a|
则 + = + = + + ，
2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b
a √ b |a| a 1 3
≥ +2 ⋅ = +1=− +1= ，
4|a| 4|a| b 4|a| 4 4
b |a|
当且仅当 = ，a＜0时取等号，此时b＝﹣2a，
4|a| b
因为a+b＝2，所以a＝﹣2，b＝4，
故答案为：﹣2．
1 1 4 16
2．若正数a，b满足 + =1，则 + 的最小值为 1 6 ．
a b a−1 b−1
1 1
【解答】解：正数a，b满足 + =1，
a b
1 1 b−1
则有 =1− = ，
a b b
1 a
则有 = ，
b−1 b
1 1 a−1 1 b
=1− = ，即有 = ，
b a a a−1 a
4 16 4b 16a √4b 16a
则有 + = + ≥2 ⋅ =16，
a−1 b−1 a b a bb
4b 16a 1 1
当且仅当 = 即有b＝2a，又 + =1，
a b a b
3
即有a= ，b＝3，取得最小值，且为16．
2
故答案为：16．
1 1
3．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2＝4，则 + 的最小值为 4 ．
x y
【解答】解：∵x+y﹣x2y2＝4
1 1 x+ y x2y2+4 4 √ 4
∴x+y＝x2y2+4则 + = = =xy+ ≥2 xy× =4
x y xy xy xy xy
当且仅当xy＝2时取等号
1 1
故 + 的最小值为4
x y故答案为：4
1 2 4
4．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时， + + 的最
a b c
小值为 ﹣ 1 ．
【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c＝0，
c b 3
∴ =(a− ) 2+ b2
4 4 16
b √3b b √3b
由柯西不等式得，[(a− ) 2+( ) 2][22+(2√3) 2]≥[2（a− ）+ ×2√3]2＝|
4 4 4 4
2a+b|2
b √3b
a−
故当|2a+b|最大时，有 4 4
=
2 2√3
1
∴a= b，c＝b2
2
1 2 4 2 2 4 1 1
∴ + + = + + =4( + ) 2−1
a b c b b b2 b 2
当b＝﹣2时，取得最小值为﹣1．
故答案为：﹣1
题型四 . 不等式恒成立问题
1．若关于x的不等式ax2﹣2ax+1＜0的解集为 ，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．∅0＜a≤1 D．0≤a≤1
【解答】解：当a＝0时，不等式化为1＜0，满足解集为 ；
∅
当a≠0时，应满足{ a＞0 ，
△=4a2−4a≤0
{ a＞0
解得 ，
0≤a≤1
即0＜a≤1；
综上知，实数a的取值范围是0≤a≤1．
故选：D．
2．已知关于x的不等式ax2﹣2x+4a＜0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围是（ ）
1 1
A．(−∞， ) B．( ，+∞) C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
2 22x 2
a＜ =
【解答】解：x （0，2]时，不等式可化为 x2+4 4 ，
x+
x
∈
2
f(x)= 1
则 4在（0，2]上单调递增，当x＝2时，f（x）取得最大值f（2）= ，
x+ 2
x
2 1
则a＜f(x) = = ，
max 2√4 2
1
综上所述，实数a的取值范围是(−∞， )．
2
故选：A．
1
3．设a R，若x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，则a＝ ．
2
∈
【解答】解：若a≤0，则当x＞0时，ax﹣1＜0，
由二次函数的性质可知，
不等式x2+ax﹣5≤0不可能在x＞0时恒成立，
故当x＞0时不可能都有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，
故a＞0，
1
故当0＜x＜ 时，ax﹣1＜0，
a
1
当x＞ 时，ax﹣1＞0，
a
∵当x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，
1
故当0＜x＜ 时，x2+ax﹣5≤0，
a
1
当x＞ 时，x2+ax﹣5≥0，
a
1
故x= 是方程x2+ax﹣5＝0的实数根，
a
1 1 1
故 + 1﹣5＝0，解得：a=− （舍）或a= ，
a2 2 2
1
综上：a= ，
2
1
故答案为： ．
2
4．若a，b R，且a＞0，b＞0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
∈1 1 2 2b a
A．a2+b2＞2ab B．a+b≥2√ab C． + ≥ D． + ≥2
a b √ab a 8b
【解答】解：对于A，根据重要不等式a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立；故A
不恒成立；
对于B，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，a+b≥2√ab成立，故B正确；
对于C，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，1 1 2√ 1 2 成立，故C正确；
+ ≥ =
a b ab √ab
2b a √2b a
对于D，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时， + ≥2 × =1成立，故D不
a 8b a 8b
恒成立．
故选：BC．
1 4x2 y2
5．设正实数x，y满足x＞ ，y＞1，不等式 + ≥m恒成立，则m的最大值
2 y−1 2x−1
为 8 ．
【解答】解：设y﹣1＝b，得y＝b+1，
1
令2x﹣1＝a，得x= （a+1），则a＞0，b＞0；
2
那么： 4x2 y2 (a+1) 2 (b+1) 2 2•(a+1)(b+1)
+ = + ≥
y−1 2x−1 b a √ab
ab+(a+b)+1
＝2•
√ab
＝2•（ 1 a+b）≥2•（2√ 1 2√ab）
√ab+ + √ab⋅ +
√ab √ab √ab √ab
＝2•（2+2）＝8；
当且仅当a＝b＝1，即x＝2，y＝1时取等号；
4x2 y2
∴ + 的最小值为8，
y−1 2x−1
即m的最大值为8．
故答案为：8．
6．设函数f（x）＝x2﹣ax+a+3，g（x）＝ax﹣2a，若 x R，使得f（x ）＜0和g（x ）＜
0 0 0
0同时成立，则a的取值范围为（ ） ∃ ∈
A．（7，+∞） B．（6，+∞）∪（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣2） D．（7，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
【解答】解：由f（x）＝x2﹣ax+a+3知f（0）＝a+3，f（1）＝4，又存在 x R，使得f
0
（x ）＜0， ∃ ∈
0
知△＝a2﹣4（a+3）＞0即a＜﹣2或a＞6，
另g（x）＝ax﹣2a，中恒过（2，0），
当a＝0时，f（x）＝x2﹣ax+a+3恒大于0，显然不成立．
若a＞0时，g（x）＝ax﹣2a＜2，
∴{ a＞0 ，则a＞7，
f(2)＜0
若a＜0时，g（x）＝ax﹣2a＞2，
a a
此时函数f（x）＝x2﹣ax+a+3图象的对称x= ＜−1，故函数在区间（ ，+∞），为
2 2
增函数，
又f（1）＝4，f（x ）＜0不成立．
0
故选：A．
