文档内容
重难点突破 04 双变量与多变量问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................2
题型一：双变量单调问题............................................................................................................................................2
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题...............................................................................................................3
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题...............................................................................................................5
题型四：双变量不等式:中点型...................................................................................................................................6
题型五：双变量不等式:剪刀模型...............................................................................................................................7
题型六：双变量不等式:主元法...................................................................................................................................8
题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换.........................................................................................................10
03过关测试.........................................................................................................................................11破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
题型一：双变量单调问题
【典例1-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，对任意 ，当 时，不等式 恒成立，求实数m
的取值范围.
【典例1-2】已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：对任意 ， ， ．
【变式1-1】已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，如果对任意 ， ，求证： .【变式1-2】（2024·安徽·三模）设 ，函数 .
（Ⅰ）讨论函数 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，且对任意 ，
，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【变式1-3】已知函数 .
(1)若函数 在点 处的切线 与直线 平行，求 的方程；
(2)判断命题“ 对任意 恒成立”的真假，并说明理由；
(3)若对任意 都有 恒成立，求实数m的取值范围.
【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， 且 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
【典例2-1】设函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的最小值.
【典例2-2】（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： ．
【变式2-1】已知函数 ，其中自然常数 ．
(1)若 是函数 的极值点，求实数 的值；
(2)当 时，设函数 的两个极值点为 ，且 ，求证： ．
【变式2-2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数
．
(1)求曲线 在点 处的切线 的方程，并判断 是否经过一个定点；
(2)若 ，满足 ，且 ，求 的取值范围．
【变式2-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)若 ， 为函数 的两个零点，求证： ．
【变式2-4】已知函数 ．若 有两个零点 ，且 ，证明：
．
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
【典例3-1】已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， ，且 有两个极值点，分别为 和 ，求 的最大值.
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .
【变式3-1】（2024·四川德阳·二模）已知函数 ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ，求 的最小值.【变式3-2】（2024·广东佛山·二模）已知 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
题型四：双变量不等式:中点型
【典例4-1】已知函数 .
(1)求函数 的单调区间;
(2)记函数 的图象为曲线C.设点 ， 是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点
，使得:① ;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依
切线”.试问:函数 是否存在“中值相依切线”，请说明理由.
【典例4-2】已知函数 ， ．
(1)若 在 上为增函数，求实数 的取值范围．
(2)当 时，设 的两个极值点为 ，且
，求 的最小值．
【变式4-1】已知函数 ．(1)若函数 在其定义域内为增函数，求实数 的取值范围；
(2)设 ，若函数 存在两个零点 ，且 ．问：函数
在点 处的切线能否平行于 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．
【变式4-2】（2024·广东·二模）已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函数 的图象
在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明理由.
题型五：双变量不等式:剪刀模型
【典例5-1】已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程.
（2）若方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： .
【典例5-2】已知函数 有两个零点 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证： ；
(3)求证： ．【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿
法．具体做法如下：如图，设r是 的根，首先选取 作为r的初始近似值，若 在点
处的切线与 轴相交于点 ，称 是r的一次近似值；用 替代 重复上面的过程，得到 ，称 是
r的二次近似值；一直重复，可得到一列数： ．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
近似值相等时，该值即作为函数 的一个零点 ．
(1)若 ，当 时，求方程 的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数 在点
处的切线，并证明： ；
(3)若 ，若关于 的方程 的两个根分别为 ，证明： ．
题型六：双变量不等式:主元法
【典例6-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)设 ，求 的单调区间；
(3)求证：当 时， .【典例6-2】（2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最小值；
(2)当 时，求证： （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 ， 求证： ．
【变式6-1】已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的最小值，并证明：当 时， ．（其中e为自然对数的底数）
【变式6-2】已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，求证： ， ．
【变式6-3】设函数 .
(1)求 的极值；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明： .题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换
【典例7-1】已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，
（i）求实数 的取值范围;
（ii）求证: ．
【典例7-2】已知函数 有三个极值点 ， ， （ ）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若 ，求实数a的最大值．
【变式7-1】（2024·安徽阜阳·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性．
(2)已知 是函数 的两个零点 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围．
（ⅱ） 是 的导函数．证明： ．【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 存在零点，求a的取值范围；
(2)若 ， 为 的零点，且 ，证明： ．
1．（2024·四川南充·二模）已知函数 有三个极值点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
2．（2024·四川·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 有2个零点 ，证明： ．
3．已知 是函数 的导函数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 为函数 的两个零点且 ，证明： ．4．已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 ， 时，证明： .
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 有3个极值点 ，其中 是自然对数的底数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： ．
6．已知函数 .
(1)试判断函数 的单调性；
(2)已知函数 ，若 有且只有两个极值点 ，且 ，证明：
.
7．（2024·福建龙岩·二模）已知函数 ， ．
(1)若 满足 ，证明：曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线；
(2)若 ，且 ，证明： ．8．（2024·新疆·三模）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个不相等的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ．
9．已知函数 .
(1)当 时，试比较 与 的大小；
(2)若斜率为 的直线与 的图象交于不同两点 ， ，线段 的中点的横坐标为 ，
证明： .
10．已知函数 （a为常数）．
(1)若函数 是增函数，求a的取值范围；
(2)设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），求 的范围．
11．设函数 ， .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的极小值；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.12．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实
数 的取值范围.
13．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 ，若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围.
14．已知函数 ，其中 为常数．曲线 过点 ，曲线 关
于点 中心对称．
(1)求 的值;
(2)记 ．
（i）讨论 在区间 上的单调性;
（ii）若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围．
15．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围．16．（2024·四川成都·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 存在两个极值点 且满足 ，求 的取值范围.
17．（2024·内蒙古包头·二模）设函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ，
①求a的取值范围；
②证明： ．
18．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ，证明： ．
