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北师大版（2024）八年级数学上册第七章《证明》
7.3平行线的证明（性质定理）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 七
课题 平行线的证明（性质定理） 课时 1
《平行线的证明》课标要求其核心在于“启蒙”个“奠基”，在知识层面，要求学生掌握平行线的
课标 判断和性质这两组工具；在能力上，要求学生开启演泽推理的大门，初步掌握几何证明的基本
要求 方法和规范格式；在思维上，要求学生从直觉感知到逻辑推理的转变，培养严谨的科学态度。
《平行线的性质》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第七章第四节的内
容。教材是在学生已经掌握了同位角、内错角、同旁内角的概念和平行线的判定的基础上安排
的．性质1是类比平行线的判定，通过探究得出，性质2、3则是以性质1和对顶角相等或邻
补角互补为依据推理得出．教学时，要让学生经历平行线的性质 1，即“两直线平行，同位角
教材
相等”的探究发现过程，经历平行线的性质 2“两直线平行，内错角相等”和平行线的性质
分析
3“ 两直线平行，同旁内角互补”的推理获得过程，引导学生循序渐进地思考，使学生初步养
成言之有据的习惯，逐步学会简单推理．另外，平行线的性质是类比平行线的判定进行学习
的，教学时，要注意让学生体会利用判定(性质)研究性质(判定)这样一种研究几何图形常用的
方法．
学习本课之前，学生对平行线的性质已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，特别是上一
学情 节课的学习，使学生对简单的证明步骤有了更为清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好
分析 的基础。在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本
节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础
1、认识平行线的三条性质，能熟练运用这三条性质证明几何题，进一步理解和总结证明的步
骤、格式、方法，了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程．
2、经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和
核心 计算，经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展学生空间观念，推理能力和有
素养 条理表达能力。
目标 3、通过对平行线性质的探究，使学生初步认识数学与现实生活的密切联系，体会科学的思想
方法，激发学生探索创新精神；通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情
感、合作交流、主动参与的意识。
教学 平行线三个性质的探究及运用
重点
教学 平行线性质定理和判定定理的综合运用以及证明过程的规范表达。
难点
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、证明一个命题有四个步骤： 回答问题，复 复习旧知，为新
（1）根据题意， 画出图形 ；
习平行线的判 授铺垫。
（2）找出命题的题设（条件）和结论。
（3）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求 定定理，思考
证 ；
两直线平行能
（4）写出证明过程。
2、平行线的判定 得到哪些结
公理:
论。
同位角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b
判定定理1:
内错角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理2:
同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=1800 ,
∴ a∥b.二、问题 思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同 根据问题画出 提出问题，直截了
导入 旁内角各有什么关系呢? 草图。 当地切入本节课的
E 中心内容，通过学
1 生的猜想、讨论，
B
M
A 引起学生的探究欲
2
N
望.
C D
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位
F
角相等”.你能作出相关的图形吗？
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗
三、探究 一、平行线的性质 学生小组合作 以学生为主体，让
1、如果两条直线平行.那么同位角相等。 交流，在教师 学生经历知识的产
∴ ∥b,∴∠a∴∠2=∴4∵ 的指导下完成 生与发展过程，体
2、如果两条直线平行.那么内错角相等。 完成3个定理 会数学证明的逻辑
∵a∥b,∴∠2=∠3 的证明，注意 性和严谨性。
3、如果两条直线平行.那么同旁内角互补相等。 检查学生书写
∵a∥b,∴∠1+∠2=180° 的规范性。
c
4
a
3 1
2
b
二、证明性质定理
1、性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位
角相等
G E
1
B
M H
A 2
N
C D
F
已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直
线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，
使∠EMH= ∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH
都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只
有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.
2、性质定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角
相等.
c
4
a
3 1
2
b
已知：直线a∥b，∠3和∠2是直线a，b被直线c截
出的内错角.
求证： ∠2=∠3.
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠4(两条直线平行，同位角相
等)
∵∠4＝∠3(对顶角相等)，
∴∠2=∠3(等量代换)
3、性质定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内
角互补
c
4
a
3 1
b 2
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截
出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b (已知)
∴∠2＝∠4 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠4 =180° (平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) .
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把
命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符
号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求
证.把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，
命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写
出证明过程．
四、尝试 基础 完成课堂练习 引导学生能够在课
达 题，能力提升 堂练习的完成过程
标： 题小组交流完 中对要点知识加深
1.下 成。 巩固，有效应用。
列图
形
中，
由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( B )
2.如图,若AB∥DE , AC∥DF，那么∠A和∠D的关系
是（ 相等 ）
3.如图,若AB∥DE , AC∥DF，那么∠A和∠D的关系
是（ 相等 ）
第2题 第3题
4.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得
∠A=100°，
∠B=115°，梯形的另外两个
角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平
行，所以∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.
5.如图：直线AB、CD都和AE相交，且
∠1+∠A=180º 。
求证：AB//CD
证明：∵∠1=∠2（对顶角相等）
∵∠1+∠A=180º ( 已知 ）
∴∠2+∠A=180º （等量代换）
∴ AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
能力提升：
6.证明邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分
∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明： ∵OE平分∠AOB.
OF平分∠BOC（已知）
∴∠EOB=∠AOB
∠BOF=∠BOC（角平分线定义）
∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）
∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性
质）
即∠EOF=90° ∴OE⊥OF（垂直的定义）
7.如图(1)所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成
图；(2)再沿BF折叠成图；(3)继续沿EF折叠成图
(4),按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，
整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是(
18° )
解答提示：对折9次完全盖住∠EFG，就是把平角分成
10份，每份18°，即∠BFE=18°，而
∠DEF=∠BFE=18°
拓展迁移：
8. 已 知 ， 如 图 ， AB∥ CD ，
∠B=∠D，求证：AD∥BC.
证法一：
∵AB∥DC（已知）
∴∠B+∠C=180°（两直线平
行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠D+∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
证法二：如图，延长BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D
（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
9.如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C
落在∠MON 的内部，三角板的另两条直角边分别与
ON、OM交于点D和点B．
(Ⅰ)求∠OBC+∠ODC的值；
(Ⅱ)如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：
DE⊥BF：
(Ⅲ)如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外
角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
解：（Ⅰ）解：∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
在四边形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°；
故答案为180°；
（Ⅱ）证明：延长DE交BF于H，如图1，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
而∠OBC+∠CBM=180°，
∴∠ODC=∠CBM，
∵ DE 平 分 ∠ ODC ， BF 平 分
∠CBM，
∴∠CDE=∠FBE，
而∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C=90°，
∴DE⊥BF；
（Ⅲ）解：DG∥BF．理由如下：
作CQ∥BF，如图2，
∵∠OBC+∠ODC=180°，∴∠CBM+∠NDC=180°，
∵BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，
∴∠GDC+∠FBC=90°，∵CQ∥BF，∴∠FBC=∠BCQ，
而∠BCQ+∠DCQ=90°，
∴∠DCQ=∠GDC，
∴CQ∥GD，
∴BF∥DG．
五、提升 适时小结，兴趣延伸 引导学生进行 引导学生从知识内
1、两直线平行性质定理： 课堂总结 容、研究方法以及
两直线平行，同位角相等； 运用过程三个方面
两直线平行，内错角相等； 总结自己的收获，
两直线平行，同旁内角互补； 让学生全面把握本
2、证明的一般步骤： 节课的重点和难
第一步：根据题意，画出图形分析． 点，并启发学生用
第二步：写出已知、求证， 类比或迁移的方法
第三步：写出证明过程． 学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、
符号、图表等呈现
本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1．下列说法中正确的有（ B ）
习） ①等角的余角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③相等的角是对顶角；④同位角相
等；⑤直角三角形中两锐角互余.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图所示，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直
线b于点C，若∠1＝58°，
则∠2的度数为( C )
A. 58° B. 42° C. 32° D. 28°
3. 如图所示，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ( B
)
A. 38° B. 52° C. 76° D. 142°
第2题图 第3题图
第4题图4．如图，AB∥EF，则下列关系中正确的是（ C ）
A．∠C＝∠B+∠D B．∠B+∠E+∠C﹣∠D＝180°
C．∠B+∠D+∠E﹣∠C＝180° D．∠E+∠B＝∠C+∠D
5.如图所示，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为( D )
A. 60° B. 80° C. 75° D. 70°
6.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（ C
）
A．35° B．45° C．55° D．65°
第5题 图
第6 题图
能力提升：
7．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠、则∠1与∠α的关系式是（ C ）
A．∠ α ＝60°+ ∠1
B．∠ α ＝45°+ ∠1
C．∠ α + ∠1＝90°
D．∠ α + ∠1＝120°
8. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．
解：△AEF是等腰三角形．理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵EG∥AD，
∴∠E=∠CAD，∠EFA=∠BAD，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形．
拓展迁移：
9.如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小
关系如何
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D
理由：∵AB∥CD （已知 ）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）
同理 ∠A=∠C
10.我们都知道“三角形的内角和等于180°”。如图1，教材中是用“延长BC，过点C作
CE∥AB”的方法把∠A移到∠1的位置，把∠B移到∠2的位置，从而完成证明的。请你借助
图2作辅助线的思路将下面证明“三角形的内角和等于180°”的过程补充完整。
已 知：△ABC
求 证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°
证 明：如图2，过点A作直线DE∥BC
∵DE∥BC
∴∠B=∠DAB ∠C=∠EAC ，∴∠BAC+∠B+∠C
=∠BAC+∠DAB+∠EAC=180° ，∴∠BAC+∠B+∠C=180° 。
教学反思
