文档内容
思想 04 采纳转化与化归方法以高效解决数学问题
目录
01考情透视·目标导航...................................................................................................2
02知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................8
题型一：运用“熟悉化原则”转化化归问题 8
题型二：运用“简单化原则”转化化归问题 9
题型三：运用“直观化原则”转化化归问题 11
题型四：运用“正难则反原则”转化化归问题 12高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：
1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已
有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、 建系等方
法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．
2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特
殊化、等价转化、不等转化等 方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解
答，达到解决复杂问题的目的．
3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，
有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为
直观的问题来解决．
4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．
一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很
少，此时从反面考虑较简单．1．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，
， ，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
2．（2024年北京高考数学真题）设函数 .已知 ， ，且 的最
小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，
其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底
面直径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高
为 ．
4．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于
原点对称.若 ，则 的最大值为 ．
5．（2024年北京高考数学真题）已知集合
．给定数列 ，和序列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
6．（2024年北京高考数学真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
7．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．题型一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
【典例1-1】（多选题）图形由铰接的薄片构成，则下列五个点不动（固定），所有连杆会固定的选项是
（ ）
A．A，B，C，D，O
B．A，B，C，D，F
C．K，L，M，N，O
D．K，L，M，N， E
【典例1-2】在 中， 是边 的中点，若 ， ， ，则 ．
【变式1-1】若 ，则 .
【变式1-2】（1）设 ， ，求 的最小值．
（2）设A，B，C是 的三个内角，求证 ．1．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ， 的面积为 ，
求边 上的中线 的长.
2．三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”,“化圆为方问题”并称为
“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问
题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四
象限，且点B在双曲线T： 的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A．以点A
为圆心， 为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则 ．若
， ，则a的值为（ ）
A． B．8 C． D．10
题型二：运用“简单化原则”转化化归问题
【典例2-1】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为 ，则圆锥的高与底面
半径之比为（ ）A． B． C． D．
【典例2-2】如图，正方体 的棱长为2，点 为底面 的中心，点 在侧面 的
边界及其内部运动.给出下列四个结论：① ；②存在一点 ， ；③若 ，则
面积的最大值为 ；④若 到直线 的距离与到点 的距离相等，则 的轨迹为抛物线的一部
分.其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-1】在四面体 中， 在面 内， 在面 内，且满足
，若 ，则线段 与 的关系是（ ）
A． 与 所在直线是异面直线
B． 与 所在的直线平行
C．线段 与 必相交
D．线段 与 延长后相交
【变式2-2】《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳
马” ， 平面 ， ， 为底面 及其内部的一个动点且满足
，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
1．在棱长为1的正方体 中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线 与直
线 所成角的大小为 ，则线段 扫过的面积的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．正方体 的棱长为1，M是面 内一动点，且 ，N是棱 上一动点，
则 周长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
题型三：运用“直观化原则”转化化归问题
【典例3-1】若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知点 是曲线 上任意一点，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【变式3-1】已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，具体数列为
即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列 为“斐波那契数列”，
为数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
1．已知数列 中， ， （其中 表示 的整数部分， 表示 的小数部分），
则 （ ）
A．2024 B．2025 C．4046 D．4047
2．已知公比为 的正项等比数列 ，其首项 ，前 项和为 ，前 项积为 ，且函数
在点 处切线斜率为1，则错误的是（ ）
A．数列 单调递增 B．数列 单调递减
C． 或5时， 取值最大 D．题型四：运用“正难则反原则”转化化归问题
【典例4-1】设 ， ， ， ，则（ ）
A．在这四个数中至少存在两个数 ， ，满足
B．在这四个数中至少存在两个数 ， ，满足
C．在这四个数中至多存在两个数 ， ，满足
D．在这四个数中至多存在两个数 ， ，满足
【典例4-2】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为 ，若直线 上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】已知圆 和两点 ， ，若圆C上至少存在一点P，使
得 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】 “省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根 长的尺子，要能够量出长度
为 到 且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根 的尺子，要能够一次量出长度为 到 且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（ ）个刻度
A．3 B．4 C．5 D．6
1． 5个正四面体，每个四面体各面上分别标有A，B，C，D，同时掷出，连掷3次，则至少一次全部出现
同一字母的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知矩形 , , ,将 沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中
A．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
B．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
C．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直
