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北师大版（2024）第二章《实数》2.3 根式（2）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 二次根式 课时 1
让学生理解二次根式的概念和乘除法计算法则，掌握二次根式的化简和运算，并能够进行简单
课标 的运用，同时培养学生数学思维能力和解决问题的能力。
要求
教材 本节内容分为2课时，第一课时：二次根式的概念与乘除法计算法则；二次根式的运算，第二课
分析 时，最简二次根式；二次根式的化简。每个部分的内容结合具体的例题和练习，让学生再理解的
基础上周五方法，并通过练习巩固技能。本节课是第二课时。
学情 在认识平方根、立方根的概念和求法以及实数的有关概念和运算的基础上学习二次根式。
分析 通过对二次根式的概念和性质学习后，学生对实数的概念有更深刻的认识。通过对二次根式的
加减乘除的运算学习，学生将对实数的四则运算有更进一步的了解。理解二次根式与整式之间
的关系，明确整式的运算性质、公式、法则与二次根式的一致性。让学生经历观察、思考、讨论等
探究活动归纳出结论的过程，体会数学与日常生活的紧密联系，增强运用意识，提高归纳概括能
力。
核心 1. 认识最简二次根式和二次根式的化简。
素养
2. 熟练掌握二次根式的加、减、乘、除法运算。
目标
3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力。
教学 会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算
重点
教学 二次根式的化简.
难点
教学 预习单和相应课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1.二次根式的乘法法则和除法法则： 回顾旧知 回顾知识，唤醒
记忆，为新授奠
基。
1. 什么是同类项，如何合并同类项？试把下列是同类
项的合并。
（1）3x2+2x2= ;
（2）x2+2x2+4y= ;
3.类比合并同类项的方法，想想如何计算
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二、引新 P43例3 二次根式的乘除法计算： 完成例题3的 通过例题 3 的学
学习，然后归 习，经过观察、比
(1) 8164 81 64 98 72
纳出最简二次 较得出最简二次根
根式的概念及 式的概念。
(2) 256 25 6 5 6 5 6
最简二次根式
5 5 5 5 具备的条件。
(3)
观察：化9简以后9的结果9中的被3开方数又有什么特征？
最简二次根式：
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的
因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
最简二次根式条件
①是二次根式
②被开方数中不含分母
③被开方数中不含能开得尽方的因数和因式
三、探究 合作探究，活动领悟 1、学习课本 通过例题的学生使
1、判断下列根式是否为最简二次根式，不是最简二次 例题4，明晰 学生明晰二次根式
根式的请化简成二次根式（课本43页例题4改编） 怎样进行二次 的化简方法、二次
根式的化简。 根式的四则运算、
2、学习例题 掌握计算前非最简
不是最简二次根式，因为50=25×2，25的算术平方根是
5，理解二次 二次根式的首先化
5
根式的四则运 简成最简二次根式
算和实数的四 再计算。
则运算法则、
是最简二次根式
运算定律同样
适用。
是最简二次根式。
3、学习例题
6，掌握非最
简二次根式的
不是最简二次根式，因为被开方数有分母。
计算，首先化
简成最简二次
根式，然后按
照实数的四则
运算法则进行
计算。
小结：化简成最简二次根式的方法：
1、若被开方数为整数，需分解为完全平方数与另一数
的乘积
2若被开方数为分数，分子、分母乘以分母的根式，确保
分母不含根号（分母有理化）：
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2、课本第44页例题5，二次根式的加减运算
小结：
二次根式的四则运算和实数的四则运算法则、运算定律
同样适用。
3、课本第45页例题6，二次根式的混合运算
原式
原式
原式
原式
小结：
非最简二次根式的计算，首先化简成最简二次根式，然
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后按照实数的四则运算法则进行计算。
四、变式 拓展延伸 小组交流讨论 通过小组讨论，会
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的 怎样求格点梯 求格点梯形的周
周长面积，你有哪些方法，与同伴交流． 形的面积和周 长，格点图形的面
长。 积，鼓励学生用多
种方法求面积。
解析：
周长：构成格点直角三角形利用勾股定理分别求出
AB、BC、CD;然后用AB+BC+CD+DA即为梯形的周
长。
面积：
方法1：过D点向AB作垂线交AB于E,利用勾股定理
求出ED,梯形面积=（CD+AB)×DE÷2。
方法2：构成一个长7宽6的矩形，梯形面积=矩形面积
减去三个三角形的面积。
答案：18
五、课堂 基础达标： 学生独立完成 引导学生能够在课
练习 课堂练习。 堂练习的完成过程
1.化简 的结果是 ．
中对要点知识加深
巩固，有效应用。
1 ；
2. ＝ - 4 ．
4．下列二次根式中是最简二次根式的是（ B ）
A． B． C． D．
5．已知a＜b，则化简二次根式 的正确结果是（
C ）
A． B． C． D．
6．把 中根号外面的因式移到根号内的结果是（
A ）
A． B． C． D．
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7.计算
解：原式＝4 + ﹣ +2
＝5 ﹣ +2
＝5 + ；
8.计算（3 ）（3 ）﹣（ ）
解：）原式＝18﹣12﹣（3﹣2 +2）
＝6﹣5+2
＝1+2 ．
能力提升：
9.如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（B、C
）【多项选择】
A． ＝ B． × ＝1
B．C． ÷ ＝﹣b D．（ ）2＝﹣ab
10.已知xy＝8，x+y＝﹣4，求 + 的值．
解：∵xy＝8，x+y＝﹣4，∴x＜0，y＜0，
+
＝
＝
＝
＝
＝ ．
拓展迁移
11.现有问题：“已知a＝ ，求2a2﹣8a+1的值．”
小颖的解答过程是这样的：
∵a＝ ，
∴a﹣2＝﹣ ．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
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∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据上面的解答过程，解决如下问题：
（1）填空： ＝ ， ＝ ；
（2）计算：（ + + +
）×（ +1）；
（3）若a＝ ，求4a2﹣8a+1的值．
解：（1） ＝ ，
＝
＝
＝ + ，
故答案为： ， ；
（2）原式＝[ +
+…+
]•（ +1）
＝（ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣2）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝5﹣1
＝4；
（3）∵a＝ ＝ ＝ +1，
∴a﹣1＝ ，
∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2．
∴a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5．
六、提升 1、二次根式的乘除法计算法则： 引导学生对本 引导学生从知识内
课知识进行回 容、研究方法以及
顾总结。 运用过程三个方面
总结自己的收获，
让学生全面把握本
2、最简二次根式：①是二次根式;
节课的重点和难
②被开方数不含有分母；
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③不含开得尽的因数或因式。 点，并启发学生用
3、如何化简二次根式： 类比或迁移的方法
①若被开方数为整数，需分解为完全平方数与另一数的 学习后续课程。
乘积
②若被开方数为分数，分子、分母乘以分母的根式，确
保分母不含根号（分母有理化）
板书设计 二次根式 利用简洁的文字、
符号、图表等呈现
本节课的新知，可
乘 除 法 计 算 法 则 ：
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
①是二次根式
的知识体系。
②被开方数中不含分母
最简二次根式
③被开方数中不含能开得尽方的因数和因式
作业设计 基础达标：
（课外练 1. 已知最简二次根式 与 是可以合并的二次根式，则x的值为 2
习）
2. 计算 的结果是 - ．
3．若x＝ +1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ C ）
A．7 B．4 C．3 D．3﹣2
4．计算 的结果为（ D ）
A．6 B．8 C． D．
5．计算 ÷3 × 的结果正确的是（ A ）
A．1 B． C．5 D．9
6.计算： ．
解：原式＝2 ﹣ +
＝2 ．
7.计算： ．
解：原式＝2 + ﹣ +
＝ ．
8.计算：2 ﹣ + ﹣ ．
解：原式＝（2﹣ + ﹣ ）
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＝
＝2 ．
能力提升：
9.如果最简二次根式 与 的被开方数相同，求x+7的平方根和立方根．
解：由题意可知：5x﹣6＝4x+3，
解得：x＝9，
∴x+7＝16，
∴16的平方根是±4，
16的立方根是2 ．
10.已知x＝1﹣ ，求代数式（6+2 ）x2+（1 ）x﹣ 的值．
解：∵x＝1﹣ ，
∴（6+2 ）x2+（1 ）x﹣
＝（6+2 ）（1﹣ ）2+（1+ ）（1﹣ ）﹣5
＝（6+2 ）（6﹣2 ）+（1+ ）（1﹣ ）﹣5
＝36﹣20+1﹣5﹣5
＝7．
拓展迁移：
11.某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8 米，宽AB为
米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为
+1米，宽为 ﹣1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，
要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
解：（1）长方形ABCD的周长
＝2×（ ）
＝2（8 +7 ）
＝16 +14 （米），
答：长方形ABCD的周长是16 +14 （米），
（2）通道的面积＝
＝56 ﹣（13﹣1）
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＝56 （平方米），
购买地砖需要花费＝6×（56 ）＝336 ﹣72（元）．
答：购买地砖需要花费336 ﹣72元；
教学反思
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