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北师大版（2024）第二章《实数》2.2 平方根教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 平方根 课时 1
1、理解平方根和算术平方根的的表示法，理解平方根的性质。
课标 2、会求平方根和算术平方根，会根据实际要求灵活运用知识解决实际问题。
要求
教材 算术平方根和平方根是初中重要的概念，但由于实际问题中所求出的答案往往是正数的情况，
分析 所以算术平方根尤为重要。教材先设计了一个典型的求算术平方根的情景问题，把情景问题抽
象成数学问题就是利用勾股定理求直角三角形斜边边长。在理解、掌握算术平方根的概念后讲
平方根就水到渠成。
学情 对于初中的学生来说，已经有了一定是我知识储备，能否在教师的指导下建立新旧真是的联系。
分析 此阶段的学生具有很强的好奇心、强烈的“自我”和自我发展的意识，因此对新鲜事物或新内
容特别感兴趣，但缺乏学习的方法。所以本节课的教学方法采用讲授法、讨论法、启发引导法。
核心 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。
素养 2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。
目标
教学 平方根的概念；会求一个非负数的平方根。
重点
教学 平方根和算术平方根之间的联系和区别；
难点
教学 预习单、课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、填空 展示预习单 复习旧知，为新
( 3 ) =9 ( 5 ) =25 (
授奠基
4 ) =16 ( 9 ) =81
( 0 ) =0 ( 11 ) =121
2、做一做
①一个直角三角形，它的两条直角边分别为5和12，求
它的斜边长。【13】
②一个直角三角形，它的两条直角边分别为15和20，
求它的斜边长。【25】
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二、引新 前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合 根据勾股定理 问题导入，激发学
图形完成填空： 出X ,Y ,Z 生兴趣。导入新课
x = ，
W .
y = ，
z = ，
w = ．
那么x、y、z、w分别等于多少？
三、探究 探究1：算术平方根 1、合作探究 让学生体验算术平
x =2，y =3，z =4，w =5，已知幂和指数，求底数x，y， 完成课本例题 方根形成过程，加
1的学习。 深对算术平方根的
z，w，你能求出来吗？
2、引导学生 理解和掌握，同时
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那
小结算术平方 培养学生的说理能
么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“
根的含义和性 力。经历算术平方
”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方
质。 根的探究过程自然
根是0， 即 =0
3合作探究完 引入平方根的概
做一做 成课本例题3 念。并对算术平方
1.求下列各数的算术平方根。（课本例题1） 的学习。 根、平方根两个不
引导学生小结 同概念进行比较，
1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14.
平方根的含义 找出相同点和不同
解：
和性质。 点。通过例题的学
（1）因为30 =900，所以900的算术平方根是30，即
习，使学生掌握求
=30. 算术平方根、平方
（2）因为1 =1，所以1的算术平方根是1，即 =1. 根的方法，明白开
方和乘法使互逆运
（3）因为 ，所以 的算术平方根是 ，即
算。
.
（4）14的平方根是
2.回答引入新课的问题
x =2，y =3，z =4，w =5
知识小结：
1、.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一
是a≥0，二是 ≥0.
2、算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个
正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
3、求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆
的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方
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根.
做一做
1. 若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 7
.
2. 的算术平方根是
3. 的算术平方根是
4. 若 =2，则(m+2) = 4
5..求下列各数的算术平方根。
36， ，15，0.64，10-4， 225 ，
探究2：平方根
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有
其它的数，它的平方也是9吗？
3×3=9，（-3）×（-3）=9
.8×0.8=0.64，（-0.8）×（-0.8）=0.64
探究小结；
1. 如果一个数x的平方等于a , 即x =a,那么这个数
x叫做a的平方根(square root 也叫做二次方根).
2. 平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为
相反的数；0的平方根是0；负数没有平方根.
做一做
求下列各数的平方根：（课本例题3）
（1）64，（2） ， （3）0.0004
（4） （5）11
解：
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11的平方根是
四、典例 例题1：自由下落物体的高度h（米）与下落时间t(秒)的 学生自学例 通过例题的学习，
精析 关系为h=4.9t: .有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由 题，思考为什 是学生能够根据现
么这里取算术 实情境灵活处理是
下落，到达地面需要多长时间 ？（课本例题2）
平方根。 求平方根还是求算
解：将h=19.6代入h=4.9t: 得到
术平方根。
19.6=4.9t:
t: =4，t=2
答：到达底面需要2秒钟。
例题2；求下列各式的值（课本例题4）
， ，
解：
五、课堂 学生完成课堂 引导学生能够在课
基础达标
练习 练习 堂练习的完成过程
1．25的算术平方根是（ B ）
中对要点知识加深
A．﹣5 B．5 C．±5 D．
巩固，有效应用。
2．化简 的结果是（ A ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．若|x﹣5|+ ＝0，则x+y＝（ D ）
A．﹣5 B．6 C．0 D．5
4．一个正数的平方根分别为：2a+6与a﹣3，则这个正
数是（ D ）
A．1 B．4 C．9 D．16
5． ＝ 4 ．
6．若|x﹣1|+（y﹣2）2+ ＝0，则x+y+z＝ 6 ．
7．观察分析下列数据：0， ， ，3， ， ，
，…，根据数据排列的规律得到第19个数据
应是 ．
能力提升
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8已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求 的平方根．
解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
故 的平方根为：±2．
9．（1）观察各式： ≈0.1732， ≈1.732，
≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动
位，其算术平方根的小数点向 移动
位；
（2）应用：已知 ≈2.236，则 ≈ ，
≈ ；
（3）拓展：已知 ≈2.449， ≈7.746，计算 和
的值．
解：（1）观察各式： ≈0.1732， ≈1.732，
≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算
术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：2，右，1；
（2）应用：已知 ≈2.236，则 ≈0.2236，
≈22.36；
故答案为：0.2236，22.36；
（ 3 ）
应用拓展
10.小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形
游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S ，S ）．
1 2
如图1，S ＝1，S ＝1，拼成的大正方形A B C D 边
1 2 1 1 1 1
长为 ；
如图2，S ＝1，S ＝4，拼成的大正方形A B C D 边
1 2 2 2 2 2
长为 ；
如图3，S ＝1，S ＝16，拼成的大正方形A B C D 边
1 2 3 3 3 3
长为 ．
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解:如图1，当S ＝1，S ＝1，拼成的大正方形A B C D
1 2 1 1 1 1
的面积为1+1＝2，因此其边长为 ；
如图2，当S ＝1，S ＝4，拼成的大正方形A B C D
1 2 2 2 2 2
的面积为1+4＝5，因此其边长为 ；
如图3，当S ＝1，S ＝16，拼成的大正方形A B C D
1 2 3 3 3 3
的面积为1+16＝17，因此其边长为 ；
故答案为： ， ， ；
六、课堂 1.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是 回顾本节课内 引导学生从知识内
总结 容，畅所欲 容、研究方法以及
a≥0，二是 ≥0.
言，相互补 运用过程三个方面
2.算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正
充，完成本节 总结自己的收获，
数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
课的总结。 让学生全面把握本
3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆
节课的重点和难
的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方
点，并启发学生用
根.
类比或迁移的方法
4.如果一个数x的平方等于a , 即x =a,那么这个数x
学习后续课程。
叫做a的平方根(square root 也叫做二次方根).
5.平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为相
反的数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
板书设计 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数. 利用简洁的文字、
符号、图表等呈现
乘方 开方 本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
互逆运算
握知识，形成完整
的知识体系。
【 算术平方根（双重非负性）】 【平方根】
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作业设计 基础达标：
（课外练 1． 的平方根是（ D ）
习） A．4 B．2 C．4或﹣4 D．2或﹣2
2．81的算术平方根是（ A ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．81
3．下列计算正确的是（ C ）
A． B． C． D．
4．已知 与 互为相反数，则a+b的值为 - 1 ．
5．若 ＝0，则a2+b2的算术平方根是 5 ．
6．已知 ，则 1.0 1 ．
7．已知 ＝5.706， ＝18.044，那么 ＝ 0.570 6 ．
能力提升：
8.已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
9.已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
解：∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4，
∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，
∴5a+2b﹣2＝16，
解得b＝﹣1，
∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，
∴3a﹣4b的平方根是±4．
拓展迁移：
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10.．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：如图，S ＝1，S ＝16，拼成的大
1 2
正方形A B C D 边长为 ．能否剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方
3 3 3 3
形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．
解：当S ＝1，S ＝16，拼成的大正方形A B C D 的面积为1+16＝17，
1 2 3 3 3 3
因此其边长为
不能剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x＝14.52，
所以x2＝1.21，
即x＝1.1（x＞0），
因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3，
因为（4.4）2＝19.36＞17，
所以不能用正方形A B C D 剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
3 3 3 3
教学反思
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