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新版北师大版八年级数学上册第2章《实数》同步练习及答案—
2.7二次根式
专题一 与二次根式有关的规律探究题
1.将1、 、 、 按如图所示的方式排列.
2 3 6
若规定（m，n）表示第m排从左到右第n个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ）
A.1 B.2 C. D.6
2 3
2. 观察下列各式及其验证过程：
2 2 ，验证： 2 8 222 2 ．
2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 ，验证： 3 27 323 3 ．
3 3 3 3
8 8 8 8 8 8
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 4 的变形结果并进行验证；
4
15
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出
验证；
（3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且n≥2）,有无上述类似的变形，如果有，
写出用a（a为任意自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证．
3. 阅读材料：
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小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 =
2
，善于思考的小明进行了以下探索：
（1 2）2
设a+b = （其中a、b、m、n均为正整数）,则有a+b =m2+2n2+2mn ,
2 （mn 2）2 2 2
∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 的式子化为平方式的方法.
2
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b = ,用含m、n的式子分别表示a、b，得：
3 (mn 3)2
a= ，b= ；
来源：http://www.bcjy123.com/tiku/
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： +
3
=（ ＋ ） ；
3 2
（3）若a+4 = ，且a、m、n均为正整数，求a的值.
3 (mn 3)2
专题二 利用二次根式的性质将代数式化简
4. 化简二次根式 a+2 的结果是（ ）
a -
a2
A. B. C. D.
-a- 2 - -a- 2 a- 2 - a- 2
5.如图，实数a．b在数轴上的位置，
化简： ．
a2 b2 (ab)2
答案：
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1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）所表示的数是 .∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210
6
个数，∴（21，2）表示的是第210+2=212个数.∵这些数字按照1、 、 、 的顺序循
2 3 6
环出现，212÷4=53，∴（21，2）表示的数是 .∴（4，2）与（21，2）表示的两数之积是
6
.
6 6 6 来源：http://www.bcjy123.com/tiku/
2.解：（1） 4 4 ．验证： 4 64 424 4 ．
4 4 4 4
15 15 15 15 15 15
（2） a a （ 为任意自然数，且 ）．
a a a a≥2
a2 1 a2 1
验证： a a3 aa a3 a ．
a a
a2 1 a2 1 a2 1 a2 1
（3） a a （ 为任意自然数，且 ）．
3 a a3 a a≥2
a3 1 a3 1
验证： 3 a 3 a4 aa 3 a4 3 a ．
a a
a3 1 a3 1 a3 1 a3 1
n a n a （ 为任意自然数，且 ）．
a a a a≥2
an 1 an 1
验证： a an1 aa an1 a .
n a n n an
an 1 an 1 an 1 an 1
3. 解：(1) 2mn (2)21 12 3 2
m2 3n2
(3) ∵ ,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n为正整数，∴m=1,n=2或m=2,n=1,
a m2 3n2
∴a=13或a=7.
a2 a
4.B 【解析】若二次根式有意义，则 ≥0，-a-2≥0，解得a≤-2，∴原式= -a- 2=
a2 -a
．故选B．
- -a- 2
5.解：由图知，a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，
∴
a2 b2 (ab)2
=|a|﹣|b|+|a﹣b|=（﹣a）﹣b+（b﹣a）=﹣2a．
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