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2.3 二次根式
16大知识点（基础）+能力提升题（8道）+拓展培优练（5道）
一、二次根式的判断
1．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）下列各式中是二次根式的是（ ）
A．√3 8 B．❑√−1 C．❑√2 D．❑√x(x≤0)
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义：正数的算术平方根；根据二次根式的定义，需满足根指数为2且被
开方数非负，据此判断即可．
【详解】解：选项A：√3 8，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的条件；
选项B：❑√−1，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式；
选项C：❑√2，根指数为2（省略未写），被开方数2为正数，符合二次根式的定义；
选项D：❑√x(x≤0)，当x<0时被开方数为负数，无意义；仅当x=0时❑√0=0有意义，但需满足所有条件值
有意义，因此整体不符合二次根式的要求；
故选：C．
2．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （ ）
❑√x
❑√1.2；❑√x y2；❑√m2+n2； ；❑√x2−10x+30；❑√6x．
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子❑√a(a≥0)叫做二次根式，逐一判断即可．
【详解】解：❑√1.2被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式；
❑√x y2被开方数为x y2，当x≥0时，无论y取何值，x y2≥0；当y=0时，无论x取何值，被开方数为0，
但若x<0且y≠0，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式；
❑√m2+n2无论m、n取何值，m2+n2≥0，恒成立，属于二次根式；
❑√x
被开方数为x，需x≥0才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式；
3❑√x2−10x+30配方得(x−5) 2+5≥5>0，被开方数恒为正，属于二次根式；
❑√6x被开方数为6x，需x≥0才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式；
故二次根式的个数有3个，
故选：B．
3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．❑√−1 B．❑√3 C．√35 D．❑√a
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的识别，根据二次根式有意义的条件逐项分析即可．
【详解】解：A、−1<0，❑√−1没有意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、❑√3是二次根式，故本选项符合题意；
C、√35是立方根，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D、当a<0时，❑√a没意义，即❑√a不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
二、二次根式的值
1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当x=1时，二次根式❑√1+3x的值是（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的求值，将x=1代入所求二次根式，再求解即可．
【详解】解：当x=1时，二次根式❑√1+3x=❑√1+3×1=❑√4=2，
故选：A．
2．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当x=1时，二次根式❑√5−x2的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查二次根式的求值，将x=1代入二次根式中求解即可．
【详解】解：当x=1时，❑√5−x2=❑√5−1=❑√4=2，
故答案为：2．
3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当x=3时，二次根式❑√13−3x的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将x=3代入❑√13−3x，进而根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：当x=3时，❑√13−3x=❑√13−3×3=2，
故答案为：2．
4．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当x=−3时，二次根式❑√1−x的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将x=−3代入，进而根据二次根
式的性质化简，即可求解．
【详解】解：当x=−3时，❑√1−x=❑√1−(−3)=❑√4=2．
故答案为：2．
5．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 a=2 时，求下列二次根式的值．
(1)❑√4a−8．
(2)❑√a2−2a+5．
【答案】(1)0
(2)❑√5
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键．
（1）根据题意将a=2代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
（2）根据题意将a=2代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
【详解】（1）解：当 a=2 时，
❑√4a−8
=❑√4×2−8
=❑√0
=0；
（2）解： 当 a=2 时，
❑√a2−2a+5
=❑√22−2×2+5
=❑√5．
三、二次根式有意义的条件
1．（2025·福建·中考真题）若❑√x−1在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）A．−2 B．−1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即
x−1≥0，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项．
【详解】解：要使❑√x−1在实数范围内有意义，
需满足被开方数x−1≥0，
解得x≥1．
∴x=2符合．
故选：D．
2．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）要使二次根式❑√x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
．
【答案】x≥5/5≤x
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式．根据二次根式有意义的条件：被开方数必须
为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意：x−5≥0，
则x≥5．
故答案为：x≥5．
3．（2025年北京市中考数学真题）若❑√3x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥1
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是
解题的关键．
此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解．
【详解】解：∵❑√3x−3在实数范围内有意义，
∴3x−3≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
❑√x+1
4．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
2
【答案】x≥−1
【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答．
❑√x+1
【详解】解：∵二次根式 有意义，
2∴x+1≥0，
∴x≥−1，
故答案为：x≥−1．
4．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）若❑√3x+2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
2
【答案】x≥−
3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件—被开方数大于等
于零．根据二次根式有意义的条件—被开方数大于等于零，列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：3x+2≥0，
2
解得：x≥− ，
3
2
故答案为：x≥− ．
3
四、利用二次根式的性质化简求值
1．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．❑√(−a) 2=−a B．√3 (−a) 3=−a
C．a3 ⋅(−a) 2=a4 D．(−a2) 3 =a6
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运
算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解；A、❑√(−a) 2=|a)，原式计算错误，不符合题意；
B、√3 (−a) 3=−a，原式计算正确，符合题意；
C、a3 ⋅(−a) 2=a3 ⋅a2=a3+2=a5，原式计算错误，不符合题意；
D、(−a2) 3 =−a6，原式计算错误，不符合题意；
故选；B．
2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简❑√a2−❑√b2+❑√(a−b) 2的结果为（ ）
A．2(b−a) B．−2b C．2a D．0
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式及绝对值的化简，熟记化简规则
❑√a2=|a)= { a(a≥0) )
即可．
−a(a≤0)
【详解】解：❑√a2−❑√b2+❑√(a−b) 2=|a)−|b)+|a−b)，
由数轴可知：b<00，
∴|a)−|b)+|a−b)=a+b+a−b=2a，
即❑√a2−❑√b2+❑√(a−b) 2=2a，
故选：C．
√−5
3．（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式3a❑ 根号外的a移入根号内得到（ ）
a
A．2❑√5a B．3❑√5a C．−3❑√5a D．−3❑√−5a
【答案】D
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得a<0，
据此根据二次根式的性质求解即可．
−5
【详解】解： ≥0，
a
∴a<0．
√−5 √−5
∴3a❑ =−3❑ ⋅a2=−3❑√−5a，
a a
故选：D．
4．（24-25八年级下·福建南平·期末）计算❑√8= ．
【答案】2❑√2
【分析】本题考查了二次根式的化简．直接化简二次根式即可．
【详解】解：❑√8=❑√2×2×2=2❑√2，
故答案为：2❑√2．√12
5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）化简：❑ = ．
5
2❑√15
【答案】
5
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可，掌握二次根式的性质是解题的
关键．
√12 ❑√12 2❑√3×❑√5 2❑√15
【详解】解：❑ = = = ，
5 ❑√5 (❑√5) 2 5
2❑√15
故答案为： ．
5
6．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）❑√(2−❑√5) 2= .
【答案】❑√5−2
【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的性质根据❑√a2=|a)，化简得❑√(2−❑√5) 2=|2−❑√5)，结合
2−❑√5<0，即可作答．
【详解】解：∵❑√4<❑√5<❑√9，
∴2<❑√5<3，
∴2−❑√5<0，
则❑√(2−❑√5) 2=|2−❑√5)=❑√5−2，
故答案为：❑√5−2
五、复合二次根式的化简求值
1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2的结果是（ ）
A．3+❑√2 B．3−2❑√2 C．3+2❑√2 D．3−❑√2
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题．
【详解】解：原式=❑√ 23−6❑√ 10+4❑√ (❑√2−1) 2
=❑√23−6❑√10+4❑√2−4=❑√23−6❑√4❑√2+6
=❑√ 23−6❑√ (2+❑√2) 2
=❑√23−12−6❑√2
=❑√11−6❑√2
=❑√ (3−❑√2) 2
=3−❑√2，
故选：D．
2．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子
可以化成另一个式子的平方，如：5+2❑√6=(2+3)+2❑√2×3=(❑√2) 2+(❑√3) 2+2❑√2×❑√3=(❑√2+❑√3) 2 ；
8+2❑√7=(1+7)+2❑√1×7=12+(❑√7) 2+2×1×❑√7=(1+❑√7) 2 ．
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将4+2❑√3化成了(1+❑√x) 2，则x=__________，❑√4+2❑√3=__________．
(2)请运用小明的方法化简❑√7−4❑√3．
【答案】(1)3；❑√3+1
(2)2−❑√3
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
（1）将4看成是1+3，则2❑√3=2×1×❑√3，由此求解即可；
（2）将7看成是4+3，则4❑√3=2×2×❑√3，由此求解即可．
【详解】（1）解：4+2❑√3=(3+1)+2❑√1×3
=(❑√3) 2+12+2×1×❑√3
=(❑√3+1) 2 ，
∴x=3；
∴❑√4+2❑√3=❑√(❑√3+1) 2=❑√3+1；
（2）解：❑√7−4❑√3
=❑√4+3−4❑√3=❑√22+(❑√3) 2 −2×2×❑√3
=❑√(2−❑√3) 2
=2−❑√3．
3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如❑√a±2❑√b，如
果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a，且mn=❑√b，则❑√a±2❑√b可变形为
❑√m2+n2±2mn=❑√(m±n) 2=|m±n)．从而达到化去一层根号的目的．例如化简❑√5−2❑√6：
∵ 5=3+2且6=3×2，∴ ❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2=❑√3−❑√2．
(1)填上适当的数：❑√9+2❑√14=❑√(______) 2=｜__________｜=__________；
(2)当1≤x≤2时，化简❑√x+2❑√x−1+❑√x−2❑√x−1．
【答案】(1)❑√7+❑√2，❑√7+❑√2，❑√7+❑√2
(2)2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解
题的关键．
（1）将9写成(❑√7) 2+(❑√2) 2，将❑√14写成❑√7×❑√2，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得
出答案．
（2）将x写成(❑√x−1) 2+1，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ 2+7=9，2×7=14，
∴ ❑√9+2❑√14=❑√(❑√7+❑√2) 2=|❑√7+❑√2)=❑√7+❑√2，
故答案为：❑√7+❑√2，❑√7+❑√2，❑√7+❑√2；
（2）∵ 1≤x≤2，
∴ ❑√x+2❑√x−1+❑√x−2❑√x−1
=❑√(❑√x−1) 2+2×❑√x−1×1+12+❑√(❑√x−1) 2 −2×❑√x−1×1+12
=❑√(❑√x−1+1) 2+❑√(❑√x−1−1) 2
=❑√x−1+1+1−❑√x−1=2．
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b) 2及二次根
式的性质❑√a2=|a)化去一层根号．例如：
❑√3+2❑√2=❑√3+2×1×❑√2=❑√12+(❑√2) 2+2×1×❑√2=|1+❑√2)=1+❑√2．
解决问题：
(1)在横线和括号内上填上适当的数：
❑√4+2❑√3=❑√4+2×1×❑√3=❑√() 2+2+2×1×❑√3=❑√() 2=|____)=____；
(2)根据上述思路，试将❑√9−4❑√5予以化简．
【答案】(1)❑√3；1；❑√3+1；❑√3+1
(2)❑√5−2
【分析】本题主要考查了复合二次根式化简：
（1）根据4=1+3=(❑√3) 2+(1) 2结合完全平方公式得到❑√4+2❑√3=❑√(❑√3+1) 2，据此化简即可；
（2）根据9=5+4=(❑√5) 2+(2) 2结合完全平方公式得到❑√9−4❑√5=❑√(❑√5−2) 2，据此化简即可．
【详解】（1）解：❑√4+2❑√3
=❑√4+2×1×❑√3
=❑√(❑√3) 2+(1) 2+2×1×❑√3
=❑√(❑√3+1) 2
=|❑√3+1)
=❑√3+1；
故答案为：❑√3；1；❑√3+1；❑√3+1；
（2）解：❑√9−4❑√5
=❑√9−2×2❑√5
=❑√(❑√5) 2+22−2×2❑√5=❑√(❑√5−2) 2
=|❑√5−2)
=❑√5−2．
六、最简二次根式的判断
1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√12
A．❑√0.5 B．❑ C．❑√18 D．❑√23
7
【答案】D
【分析】此题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开方的因数；②
被开方数不含分母求解即可．
【详解】解：A、❑√0.5，被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意；
√12
B、❑ ，被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意；
7
C、❑√18，含能开方的因数9，不是最简二次根式，不符合题意；
D、❑√23为最简二次根式，符合题意，
故选：D．
2．（24-25八年级下·广东云浮·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√4 B．❑√5 C．❑√0.3 D．❑
3
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，
根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母．对各选项逐一分
析即可．
【详解】A：❑√4=2，不是最简二次根式．
B：❑√5是最简二次根式．
C：❑√0.3，原式被开方数含分母10， 不是最简二次根式．
√1
D：❑ ，被开方数含分母3，不是最简二次根式．
3
综上，只有选项B是最简二次根式．
故选B．3．（24-25八年级下·河南漯河·期末）下列各式中，为最简二次根式的是（ ）
A．❑√4 B．❑√(a−1) 2 C．❑√10 D．❑√2x2
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二次根式的性质，根据最简二次根式的定义（被开方数不含能
开方的因数且不含分母），逐一分析各选项是否满足条件，即可作答．
【详解】解：A、❑√4=2，可化简为整数，不是最简二次根式，
B、❑√(a−1) 2=|a−1)，可化简为绝对值形式，不是最简二次根式，
C、被开方数10的质因数分解为2×5，不含平方数因数，无法化简，是最简二次根式，
D、❑√2x2=|x)❑√2，含可开方的因数x2，不是最简二次根式．
故选：C
4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√0.2 C．❑√5 D．❑√8
2
【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟记最简二次根式的特征．根据最简二次根式：被开方数
不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可．
√1
【详解】解：A．❑ 被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项错误；
2
B．❑√0.2 被开方数含小数，不是最简二次根式，故该选项错误；
C．❑√5是最简二次根式，故该选项正确；
D❑√8=❑√4×2=2❑√2被开方数含开方开得尽的因数，不是最简二次根式，故该选项错误；
故选：C．
七、同类二次根式
1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式中，与❑√2不是同类二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√4 C．❑√8 D．❑√18
2
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质，判断二次根式是否为同类，需将各选项化简为最简
二次根式后比较被开方数，即可作答．√1 ❑√1 1 ❑√2
【详解】解：A、❑ = = = ，被开方数为2，与❑√2是同类二次根式，故该选项不符合题意；
2 ❑√2 ❑√2 2
B、❑√4=2，与❑√2不是同类二次根式，故该选项符合题意；
C、❑√8=❑√4×2=❑√4⋅❑√2=2❑√2，与❑√2是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、❑√18=❑√9×2=❑√9⋅❑√2=3❑√2，与❑√2是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B
2．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）已知最简二次根式❑√3x−4与❑√5能合并成一项，则x的值是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了同类二次分式的定义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，
则它们的被开方数必须相等，列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵最简二次根式❑√3x−4与❑√5能合并，
∴3x−4=5，
解得：x=3．
故选：B．
3．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知❑√x2+1是最简二次根式，且与❑√5可以合并，则x的值为
（ ）
A．2 B．−4 C．4 D．±2
【答案】D
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的
关键．
由❑√x2+1是最简二次根式且与❑√5可以合并，得出x2+1=5，然后利用平方根解方程即可．
【详解】解：∵❑√x2+1是最简二次根式且与❑√5可以合并，
∴x2+1=5，解得：x=±2，
故选：D．
4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）若3❑√6与最简二次根式❑√a−1可以合并，则a= ．
【答案】7【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，根据题意得a−1=6，进而可求解，熟练掌握基础知
识是解题的关键．
【详解】解：依题意得：a−1=6，
解得：a=7，
故答案为：7．
5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知最简二次根式❑√a−1与❑√6能合并，则a= ．
【答案】7
【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，
如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定
义解答即可．
【详解】解：∵最简二次根式❑√a−1与❑√6能合并，
∴a−1=6，
解得a=7
故答案为：7
八、二次根式的乘法
1．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：❑√3×❑√27= ．
【答案】9
【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则．
按照二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：❑√3×❑√27=❑√3×27=❑√81=9，
故答案为：9．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
2 √5
(1)6❑√30× ❑ ；
3 2
(2)2❑√5a⋅❑√10a(a≥0)．
【答案】(1)20❑√3
(2)10❑√2a
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．
（1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可；
（2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可．2 √5
【详解】（1）解：6❑√30× ❑
3 2
2 √ 5
=6× ❑30×
3 2
=4❑√75
=4×5❑√3
=20❑√3；
（2）解：2❑√5a⋅❑√10a(a≥0)
=2❑√5a⋅10a
=2❑√50a2
=2×5❑√2a
=10❑√2a．
3．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算：
√1
(1)(❑√12+❑√3)×❑√6−2❑
2
(2)(3−2❑√5)(3+2❑√5)−(1+❑√5) 2
【答案】(1)8❑√2
(2)−17−2❑√5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘法，再进行加减计算；
（2）分别由平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算．
√1
【详解】（1）解：(❑√12+❑√3)×❑√6−2❑
2
❑√2
=❑√12×❑√6+❑√3×❑√6−2×
2
=6❑√2+3❑√2−❑√2
=8❑√2；
（2）解：(3−2❑√5)(3+2❑√5)−(1+❑√5) 2
=32−(2❑√5) 2 −(1+5+2❑√5)
=9−20−6−2❑√5=−17−2❑√5．
九、二次根式的除法
√ 1 √1
1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）化简：❑ ÷❑ = ．
12 3
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查了二次根式的除法，算术平方根．
根据二次根式的除法运算法则计算，再求算术平方根，即可求解．
√ 1 √1 √ 1 1 √1 1
【详解】解：❑ ÷❑ =❑ ÷ =❑ = ．
12 3 12 3 4 2
1
故答案为： ．
2
2．（2014·上海虹口·二模）计算：❑√8÷❑√2= ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式除法．
根据二次根式除法法则计算即可．
【详解】❑√8÷❑√2=❑√8÷2=❑√4=2，
故答案为：2．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)❑√27a4÷❑√3a2 (a>0)；
√x
(2)4❑√6x3÷2❑ (x>0)．
3
【答案】(1)3a
(2)6❑√2x
【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键；
（1）根据二次根式的除法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的除法法则进行计算即可；
【详解】（1）解：❑√27a4÷❑√3a2 (a>0)=❑√27a4÷(3a2)=❑√9a2=3a；
√x √ 3
（2）解：4❑√6x3÷2❑ (x>0)=2×❑6x3
⋅
=2❑√18x2=6❑√2x；
3 x十、二次根式的乘除混合运算
❑√3a(√b √3)
1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化： ❑ ÷2❑
2b a b
1
【答案】
4
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式性质化简，再变除法为乘法，约分化简即可．
❑√3a(❑√ab 2❑√3b)
【详解】解：原式= ÷
2b a b
❑√3a(❑√ab b )
= ⋅
2b a 2❑√3b
❑√3a b❑√a
= ⋅
2b 2a❑√3
1
= ．
4
2．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算：
1
(1)2❑√3÷❑√2× ．
❑√2
√ 2 √ 1 √ 1
(2)❑1 ÷❑2 ×❑1
3 3 5
【答案】(1)❑√3
❑√42
(2)
7
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
1
【详解】（1）解：2❑√3÷❑√2×
❑√2
❑√2 1
=2❑√3× ×
2 ❑√2
=❑√3；√ 2 √ 1 √ 1
（2）解：❑1 ÷❑2 ×❑1
3 3 5
√5 7 6
=❑ ÷ ×
3 3 5
√5 3 6
=❑ × ×
3 7 5
√6
=❑
7
❑√42
= ．
7
√1
3．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： ❑√12÷❑√3−❑√48×❑
3
【答案】−2
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法混合运算．先算二次根式乘除法，再算减法即可求解．
√1
【详解】解：❑√12÷❑√3−❑√48×❑
3
√ 1
=❑√12÷3−❑48×
3
=❑√4−❑√16
=2−4
=−2．
十一、二次根式的加减运算
1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）下列计算正确的个数是（ ）
❑√18−❑√8
①❑√2+❑√3=❑√5，②3❑√2−❑√2=3，③❑√12÷❑√3=2，④ =❑√9−❑√4=3−2=1，⑤
2
❑√8−❑√2=❑√2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐一判断，统计正确个数，即可求解．
【详解】解：① ❑√2+❑√3≠❑√5，错误．
② 3❑√2−❑√2=2❑√2≠3，错误．
√12
③ ❑√12÷❑√3=❑ =❑√4=2，正确．
3❑√18−❑√8 3❑√2−2❑√2 ❑√2
④ = = ≠1，错误．
2 2 2
⑤ ❑√8−❑√2=2❑√2−❑√2=❑√2，正确．
综上，正确的为③和⑤，共2个，
故选B．
2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．4❑√3−3❑√3=1 B．❑√2+❑√3=❑√5
C．3+2❑√2=5❑√2 D．❑√12−❑√3=❑√3
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据二次根式的性质及运算法则逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A．4❑√3−3❑√3=(4−3)❑√3=❑√3≠1，计算错误；
B．❑√2与❑√3不能合并，❑√2+❑√3≠❑√5，计算错误；
C．3与2❑√2不能合并，3+2❑√2≠5❑√2，计算错误；
D．❑√12−❑√3=2❑√3−❑√3=❑√3，计算正确；
故选：D．
( √1)
3．（重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）计算： ❑√48+❑ −(❑√50−❑√27)．
2
9❑√2
【答案】7❑√3−
2
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式加减计算法则求解即可．
( √1)
【详解】解： ❑√48+❑ −(❑√50−❑√27)
2
❑√2
=4❑√3+ −(5❑√2−3❑√3)
2
❑√2
=4❑√3+ −5❑√2+3❑√3
2
9❑√2
=7❑√3− ．
2
4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算：
√1 √ 1
(1)5❑ +2❑√20−❑4 ；
5 2(2)❑√2(4❑√3+❑√2)−❑√24．
3❑√2
【答案】(1)5❑√5−
2
(2)2❑√6+2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是准确熟练地进行计算．
（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
❑√5 3❑√2
【详解】（1）解：原式=5× +2×2❑√5−
5 2
3❑√2
=5❑√5− ；
2
（2）解：原式=4❑√6+2−2❑√6
=2❑√6+2．
十二、二次根式的混合运算
1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）计算：
(1)❑√3+3❑√3−6❑√3
(2)6×❑
√1
−√3−27+(❑√2) 2
9
√1
(3)❑√18−4❑ +2❑√24÷❑√3
2
(4)(7+4❑√3)(7−4❑√3)
【答案】(1)−2❑√3
(2)7
(3)5❑√2
(4)1
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）直接合并即可；
（2）先进行开方和乘方运算，再进行乘法运算，最后算加减；
（3）先化简，进行除法运算，再合并即可；
（4）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=−2❑√3；1
（2）原式=6× −(−3)+2=2+3+2=7；
3
（3）原式=3❑√2−2❑√2+2❑√24÷3=3❑√2−2❑√2+4❑√2=5❑√2；
（4）原式=49−48=1．
2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算：
(1)4❑√5+❑√45−❑√8+4❑√2；
√1
(2)❑√48÷❑√3−2❑ ×❑√30．
5
√1
(3)❑√12+❑ −❑√27；
3
(4)(3❑√3−2❑√2) 2
【答案】(1)7❑√5+2❑√2
(2)4−2❑√6
2❑√3
(3)−
3
(4)35−12❑√6
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的加减运算法则计算；
（2）先计算二次根式的乘除法，再进行加减计算；
（3）根据二次根式的加减运算法则计算；
（4）利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：4❑√5+❑√45−❑√8+4❑√2
=4❑√5+3❑√5−2❑√2+4❑√2
=7❑√5+2❑√2；
√1
（2）解：❑√48÷❑√3−2❑ ×❑√30
5
√1
=❑√16−2×❑ ×30
5
=4−2❑√6．
√1
（3）解：❑√12+❑ −❑√27
3
❑√3
=2❑√3+ −3❑√3
32❑√3
=− ．
3
（4）解：(3❑√3−2❑√2) 2
=27−12❑√6+8
=35−12❑√6．
3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算：
√1
(1)❑√8÷❑√2+6❑ −❑√32；
2
(2)(❑√5−1) 2+(❑√5+2)(❑√5−2)．
【答案】(1)2−❑√2
(2)7−2❑√5
【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简各二次根式和运算二次根式的除法，然后合并同类二次根式计算即可．
（2）先利用完全平方公式与平方差公式进行展开，再合并即可．
√1
【详解】（1）解：❑√8÷❑√2+6❑ −❑√32
2
=2+3❑√2−4❑√2
=2−❑√2；
（2）解：(❑√5−1) 2+(❑√5+2)(❑√5−2)
=5−2❑√5+1+5−4
=7−2❑√5．
十三、分母有理化
1（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数学小组在探究学习中，小组成员遇到这样一个问题：
1
已知a= ，求2a2−8a+1的值．经过思考他们是这样解答的：
2+❑√3
1 2−❑√3
= =2−❑√3，a−2=−❑√3，∴(a−2) 2=3即a2−4a+4=3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a2−4a=−1，∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．请你根据探究小组的解题方法和过程，解决以下问题：
1
(1) =________；
❑√3+❑√2
1 1 1 1
(2)计算按规律排列的式子： + + +⋯+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√99+❑√98
1
(3)若a= ；求2a4−8a3−8a+4的值．
❑√5−2
【答案】(1)❑√3−❑√2
(2)3❑√11−1
(3)6
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键．
（1）根据分母有理化的方法求解即可；
1
（2）先分母有理化得到 =❑√n+1−❑√n，再把所求式子的每一项分母有理化，再计算加减法即
❑√n+1+❑√n
可得到答案；
（3）分母有理化得到a=❑√5+2，则a−2=❑√5，进而得到a2−4a=1，把所求式子变形为
2a2(a2−4a)−8a+4，进一步变形得到2(a2−4a)+4，据此求解即可．
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
【详解】（1）解； = = =❑√3−❑√2；
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2
1 ❑√n+1−❑√n ❑√n+1−❑√n
（2）解： = = =❑√n+1−❑√n，
❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n) n+1−n
1 1 1 1
∴ + + +⋯+
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√99+❑√98
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√99−❑√98
=❑√99−1
=3❑√11−1；
1 ❑√5+2 ❑√5+2
（3）解：∵a= = =❑√5+2，
❑√5−2 (❑√5−2)(❑√5+2) 5−4
∴a−2=❑√5，
∴(a−2) 2=(❑√5) 2=5，即a2−4a+4=5，∴a2−4a=1
∴2a4−8a3−8a+4
=2a2(a2−4a)−8a+4
=2a2−8a+4
=2(a2−4a)+4
=2×1+4
=6．
2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数
学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
(1)小青编的题：观察下列等式：
1 ❑√3−1 ❑√3−1 1 ❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3
= = = =
； ．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2
1
直接写出以下算式的结果： = _______．
5+❑√23
(2)小明编的题：由二次根式的乘法可知：
(❑√3+1) 2=4+2❑√3，(❑√5+❑√3) 2=8+2❑√15，(❑√a+❑√b) 2=a+b+2❑√ab(a≥0,b≥0)；
再根据平方根的定义可得❑√4+2❑√3=❑√3+1，❑√8+2❑√15=❑√5+❑√3，
❑√a+b+2❑√ab=❑√a+❑√b(a≥0,b≥0)．
直接写出以下算式的结果：❑√7+4❑√3=_______．
(3)数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：
( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) ×❑√12+2❑√11．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√9+❑√7 ❑√11+❑√9
5−❑√23
【答案】(1)
2
(2)2+❑√3
(3)10
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简.
（1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可；（2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可；
（3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简❑√12+2❑√11，最后利用平方差公式
计算即可.
1 5−❑√23 5−❑√23
【详解】（1）解： = = ，
5+❑√23 (5+❑√23)×(5−❑√23) 2
5−❑√23
故答案为： ；
2
（2）解：❑√7+4❑√3=❑√22+4❑√3+(❑√3) 2=❑√(2+❑√3) 2=2+❑√3，
故答案为：2+❑√3；
（3）解： ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) ×❑√12+2❑√11
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√9+❑√7 ❑√11+❑√9
=(❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+❑√9−❑√7+❑√11−❑√9)×(❑√11+1)
=(❑√11−1)×(❑√11+1)
=10．
31．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较❑√2−1与❑√3−❑√2的大小可以采用下面的方法：
(❑√2−1)(❑√2+1)
❑√2−1=
❑√2+1
2−1
=
❑√2+1
1
= ；
❑√2+1
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)
❑√3−❑√2=
❑√3+❑√2
3−2
=
❑√3+❑√2
1
= ．
❑√3+❑√2
1 1
显然❑√2+1<❑√3+❑√2，所以 > ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2
仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：
(1)猜想：❑√2011−❑√2010与❑√2012−❑√2011的大小关系；1 1 1 1
(2)尝试计算： + + +⋯+ ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 10+❑√99
【答案】(1)❑√2011−❑√2010>❑√2012−❑√2011
(2)9
【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因
式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
（1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较；
（2）原式变形后，计算即可得到结果．
(❑√2011−❑√2010)(❑√2011+❑√2010) 1
【详解】（1）解：❑√2011−❑√2010= = ，
1×(❑√2011+❑√2010) ❑√2011+❑√2010
(❑√2012−❑√2011)(❑√2012+❑√2011) 1
❑√2012−❑√2011= = ．
(❑√2012+❑√2011)×1 ❑√2012+❑√2011
显然❑√2011+❑√2010<❑√2012+❑√2011，
1 1
所以 > ．
❑√2011+❑√2010 ❑√2012+❑√2011
所以❑√2011−❑√2010>❑√2012−❑√2011
1 1 1 1
（2）解： + + +⋯+
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 10+❑√99
❑√2−1 ❑√3−❑√2 2−❑√3 10−❑√99
= + + +⋯+
(❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (2+❑√3)(2−❑√3) (10+❑√99)(10−❑√99)
=(❑√2−1)+(❑√3−❑√2)+(2−❑√3)+⋯+(10−❑√99)
=−1+10
=9
十四、二次根式相关的化简求值
1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知x=❑√5−2，y=❑√5+2，则xy= ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，直接把x、y的值代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵x=❑√5−2，y=❑√5+2，
∴xy=(❑√5−2)(❑√5+2)=(❑√5) 2 −22=5−4=1，故答案为：1．
1 √ x √ x
2．（2025·江西吉安·一模）已知❑√x+ =2，那么❑ +❑ 的值等于
❑√x x2+3x+1 x2−x+1
❑√5
【答案】 +1
5
1 1
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将❑√x+ =2两边同时平方，可求x+ 的值，
❑√x x
√ x √ x 1
将式子化为❑ +❑ 即可求解；掌握x+ 的典型解法是解题的关键．
x2+3x+1 x2−x+1 x
1
【详解】解：由❑√x+ =2得
❑√x
( ❑√x+ 1 ) 2 =22 ，
❑√x
1
整理得：x+ =2，
x
√ x √ x
❑ +❑
x2+3x+1 x2−x+1
√ 1 √ 1
= +
❑ 1 ❑ 1
x+3+ x−1+
x x
√ 1 √ 1
=❑ +❑
2+3 2−1
❑√5
= +1．
5
❑√5
故答案为： +1．
5
x−3 x−3 1
3．（24-25八年级下·四川德阳·期中）先化简，再求值： ÷ − ，其中x=❑√2+1．
x−1 x2+2x+1 x−1
x2+2x 5❑√2+8
【答案】 ，
x−1 2
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
先根据分式的混合运算的顺序，化简分式，再代入x值计算x−3 x−3 1
【详解】解： ÷ −
x−1 x2+2x+1 x−1
x−3 (x+1) 2 1
= ⋅ −
x−1 x−3 x−1
x2+2x+1 1
= −
x−1 x−1
x2+2x
= ，
x−1
(❑√2+1) 2+2(❑√2+1) 5+4❑√2 5❑√2+8
当x=❑√2+1时，原式= = = ．
❑√2+1−1 ❑√2 2
4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）已知x=❑√3−1，y=❑√3+1，求代数式x2−y2的值．
【答案】−4❑√3
【分析】本题考查二次根式的混合运算，代数式求值，平方差公式，先利用平方差公式将x2−y2变形为
(x+ y)(x−y)，再将x=❑√3−1，y=❑√3+1代入求值即可．
【详解】解：∵ x=❑√3−1，y=❑√3+1，
∴ x2−y2
=(x+ y)(x−y)
=(❑√3−1+❑√3+1)×(❑√3−1−❑√3−1)
=2❑√3×(−2)
=−4❑√3．
1 1
5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知x= ×(❑√3+❑√2)，y= ×(❑√3−❑√2)，求下列各代数式的
2 2
值．
(1)x2+3xy+ y2；
y x
(2) + ．
x y
1
【答案】(1)3
4
(2)10
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，分式化简求值，完全平方公式，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．1 1 1
（1）先由x= ×(❑√3+❑√2)，y= ×(❑√3−❑√2)整理得x+ y=❑√3，xy= ，然后代入
2 2 4
x2+3xy+ y2=(x+ y) 2+xy，进行计算，即可作答．
1 x y (x+ y) 2−2xy
（2）把x+ y=❑√3，xy= 代入 + = ，进行计算，即可作答．
4 y x xy
1 1
【详解】（1）解：∵x= ×(❑√3+❑√2)，y= ×(❑√3−❑√2)
2 2
则x+ y
1 1
= ×(❑√3+❑√2)+ ×(❑√3−❑√2)
2 2
1
= (❑√3+❑√2+❑√3−❑√2)
2
1
= ×2❑√3
2
=❑√3，
∴xy
1 1
= ×(❑√3+❑√2)× ×(❑√3−❑√2)
2 2
1
= ×(❑√3+❑√2)×(❑√3−❑√2)
4
1
= ×(3−2)
4
1
= ；
4
则x2+3xy+ y2
=x2+2xy+ y2+xy
=(x+ y) 2+xy
1
=(❑√3) 2+
4
1
=3 ；
4
1
（2）解：由（1）得x+ y=❑√3，xy= ，
4x y
则 +
y x
y2+x2
=
xy
y2+2xy+x2−2xy
=
xy
(x+ y) 2−2xy
=
xy
(x+ y) 2
= −2
xy
3
= −2
1
4
=12−2
=10．
√ y x √ x y
6．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果x2+ y2−8x−6 y+25=0，试求❑ + +2−❑ + −2的
x y y x
值．
【答案】❑√3
【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为(x−4) 2+(y−3) 2=0，根据平方的非负性质得x=4，
√ y x √ x y √(x+ y) 2 √(x−y) 2
y=3，继而得到x+ y=7，x−y=1，xy=12，再将❑ + +2−❑ + −2化为❑ −❑ ，
x y y x xy xy
然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是
解题的关键．
【详解】由x2+ y2−8x−6 y+25=0得到x2−8x+16+ y2−6 y+9=0，
∴(x−4) 2+(y−3) 2=0，
∴x−4=0，y−3=0，
解得：x=4，y=3，
∴x+ y=7，x−y=1，xy=12，
√ y x √ x y
∴❑ + +2−❑ + −2
x y y x√x2+2xy+ y2 √x2−2xy+ y2
=❑ −❑
xy xy
√(x+ y) 2 √(x−y) 2
=❑ −❑
xy xy
√72 √ 12
=❑ −❑
12 12
√49 √ 1
=❑ −❑
12 12
7 1
= ❑√3− ❑√3
6 6
=❑√3．
7．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知m=2❑√2−1，n=2❑√2+1，求下列代数式的值．
(1)m2n+mn2；
(2)m2+n2−mn．
【答案】(1)28❑√2
(2)11
【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算；
（1）先求解m+n=4❑√2，mn=7，再把原式化为m2n+mn2=mn(m+n)，再代入计算即可；
（2）把原式化为m2+n2−mn=(m+n) 2−3mn，再代入计算即可；
【详解】（1）解：∵m=2❑√2−1，n=2❑√2+1，
∴m+n=(2❑√2−1)+(2❑√2+1)=4❑√2，
mn=(2❑√2−1)(2❑√2+1)=(2❑√2) 2 −12=8−1=7，
∴m2n+mn2=mn(m+n)=7×4❑√2=28❑√2．
（2）解：由（1）得m+n=4❑√2，mn=7，
∴m2+n2−mn=(m+n) 2−3mn=(4❑√2) 2 −3×7=32−21=11．
十五、二次根式的大小比较
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小：−❑√17 −3❑√2（填“>”或“<”或“=”）【答案】>
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握二次根式的性质是解题关键．由二次根式的性质可得
3❑√2=❑√18，再根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，即可得到答案．
【详解】解：∵|−❑√17)=❑√17，|−3❑√2)=3❑√2=❑√18，且❑√17<❑√18，
∴−❑√17>−3❑√2，
故答案为：>．
2．（20-21八年级下·山东临沂·期中）比较大小：2❑√5 3❑√2．（填>，<或=）
【答案】>
【分析】本题考查了二次根式的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有
理数的大小比较．先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系．
【详解】解：∵(2❑√5) 2=20，(3❑√2) 2=18，
∴(2❑√5) 2>(3❑√2) 2 ，
∴2❑√5>3❑√2．
故答案为：>．
3．（24-25八年级下·北京·期中）比较大小：3❑√7 4❑√6（填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查二次根式的大小比较，根据二次根式的大小比较方法进行判断即可，熟练掌握二次根式
的大小比较的方法是解答的关键．
【详解】解：∵(3❑√7) 2=63,(4❑√6) 2=96,63<96，
∴3❑√7<4❑√6，
故答案为：<．
十六、二次根式的应用
1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名
的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为
√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
S=❑ a2b2− ．已知△ABC的三边长为2，5，❑√15，则利用公式求得△ABC的面积是
4 2．
❑√51 1
【答案】 / ❑√51
2 2
【分析】根据面积公式代入计算即可．
本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：由△ABC的三边长为2，5，❑√15，
√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
得S=❑ a2b2−
4 2
=❑
√1[
4×25−
(4+25−15) 2 )
4 2
√1
=❑ ×(100−49)
4
❑√51
= ．
2
❑√51
故答案为： ．
2
2．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图，老李家有一块长方形空地ABCD，长BC为❑√72m，宽AB为
❑√50m，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的
长为(❑√5+1)m，宽为(❑√5−1)m．
(1)求长方形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售
完，销售收入为多少元？
【答案】(1)22❑√2m
(2)1120元
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据长方形周长计算公式求解即可；
（2）用长方形空地的面积减去长方形水池的面积可得种植草莓的面积，进而可求出销售收入．【详解】（1）解：2(❑√72+❑√50)=2(6❑√2+5❑√2)=2×11❑√2=22❑√2m，
答：长方形空地ABCD的周长为22❑√2m；
（2）解：❑√72×❑√50−(❑√5+1)(❑√5−1)
=❑√3600−(5−1)
=60−4
=56m2，
56×2×10=1120（元），
答：销售收入为1120元．
3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上
截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B．
(1)木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________；
(2)求木板中剩余部分（阴影部分）的面积．
【答案】(1)2❑√3，3❑√3
(2)木板中剩余部分（阴影部分）的面积为6dm2
【分析】本题主要考查了图形面积和二次根式计算的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列
式、求解．
（1）运用正方形的面积公式和二次根式知识进行求解；
（2）运用长方形的面积公式和二次根式知识进行求解．
【详解】（1）解：∵在长方形木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B，
∴正方形木板A的边长为❑√12dm，B的边长为❑√27dm，
∵ ❑√12=2❑√3，❑√27=3❑√3，
∴正方形木板A的边长为2❑√3dm，B的边长为3❑√3dm．
故答案为：2❑√3dm；3❑√3dm．
（2）解：根据题意得，
2❑√3×(3❑√3−2❑√3)
=2❑√3×❑√3
=6dm2，∴木板中剩余部分（阴影部分）的面积是6dm2．
1．（重庆市大足区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）例如：
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2−1)
= =3−2❑√2．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)
号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论：
2
①若a是❑√3的小数部分，则 的值为❑√3+1；
a
1 1 1 1
② + + +⋯+ =❑√2025−1；
1+❑√3 ❑√3+❑√5 ❑√5+❑√7 ❑√2023+❑√2025
❑√2−1 ❑√2+1
③已知x= ，y= ，则x2+ y2=35；
❑√2+1 ❑√2−1
④设实数m，n满足(m+❑√m2+2025)(n+❑√n2+2025)=2025，则(m+n) 2+2025=2025．其中说法正确
的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式
的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程．
2 2
①❑√3的小数部分a=❑√3−1．得 = =❑√3+1，结论①正确．
a ❑√3−1
1 1 1 1
② + + +⋯+
1+❑√3 ❑√3+❑√5 ❑√5+❑√7 ❑√2023+❑√2025
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 ❑√2025−1
= + + +…+ = =22，结论②错误．
2 2 2 2 2
③可得xy=1，x+ y=6，得x2+ y2=(x+ y) 2−2xy=34，结论③错误．
④由已知得 ，得 ，由
m+❑√m2+2025=❑√n2+2025−n m+n=❑√n2+2025−❑√m2+2025，得 ，得 ，得
n+❑√n2+2025=❑√m2+2025−m m+n=❑√m2+2025−❑√n2+2025 m+n=0
．结论④正确．
(m+n) 2+2025=2025
【详解】解：①∵1<3<4，
∴1<❑√3<2，
∴❑√3的整数部分为1，
∴小数部分a=❑√3−1．
2 2 2(❑√3+1)
∴ = = =❑√3+1．
a ❑√3−1 (❑√3−1)(❑√3+1)
∴①正确．
1 1 1 1
②∵ + + +⋯+
1+❑√3 ❑√3+❑√5 ❑√5+❑√7 ❑√2023+❑√2025
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
= + + +⋯+
(1+❑√3)(❑√3−1) (❑√3+❑√5)(❑√5−❑√3) (❑√5+❑√7)(❑√7−❑√5) (❑√2023+❑√2025)(❑√2025−❑√2023)
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
= + + +…+
2 2 2 2
❑√2025−1
=
2
45−1
=
2
=22，
∴②错误．
❑√2−1 ❑√2+1
③∵x= ，y= ，
❑√2+1 ❑√2−1
∴xy=1．
❑√2−1 ❑√2+1
∵x= =(❑√2−1) 2=3−2❑√2，y= =(❑√2+1) 2=3+2❑√2，
❑√2+1 ❑√2−1
∴x+ y=6．
∴x2+ y2=(x+ y) 2−2xy=34．
∴③错误．④：∵(m+❑√m2+2025)(n+❑√n2+2025)=2025，
2025
2025(❑√n2+2025−n)
∴m+❑√m2+2025= = =❑√n2+2025−n．
n+❑√n2+2025 (n+❑√n2+2025)(❑√n2+2025−n)
∴m+n=❑√n2+2025−❑√m2+2025．
2025
2025(❑√m2+2025−m)
∵n+❑√n2+2025= = =❑√m2+2025−m，
m+❑√m2+2025 (m+❑√m2+2025)(❑√m2+2025−m)
∴m+n=❑√m2+2025−❑√n2+2025．
∴2(m+n)=0．
∴m+n=0．
∴(m+n) 2+2025=0+2025=2025．
∴④正确．
综上，正确结论为①和④，共2个．
选：B．
2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下
操作：
例如：a=❑√3+1时，移项得a−1=❑√3，两边平方得(a−1) 2=(❑√3) 2 ，所以a2−2a+1=3，即得到整系数方
程：a2−2a−2=0．
仿照上述操作方法，若a=❑√3+2，计算：a3−15a−2025= ．
【答案】−2029
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据已知可
得a=❑√3+2，然后利用完全平方公式得到的整系数方程为：a2−4a+1=0，可得a2+1=4a,a2−4a=−1，
然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：∵a=❑√3+2，
∴a−2=❑√3
∴(a−2) 2=3，
∴a2−4a+4=3，∴得到的整系数方程为：a2−4a+1=0，
∴a2+1=4a,a2−4a=−1，
∴a3−15a−2025
=a(a2−4a)+4a2−15a−2025
=−a+4a2−15a−2025
=4(a2−4a)−2025
=−4−2025
=−2029
故答案为：−2029．
3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式．
第1个等式：
1 ❑√2−1 ❑√2−1
= = =❑√2−1；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 2−1
第2个等式：
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
= = =❑√3−❑√2；…
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2
请你根据上述方法完成下列题目：
1
(1)计算： = ______________；
❑√10+❑√9
1
(2)计算： = ______________；
❑√n+❑√n−1
( 1 1 1 1 )
(3)计算： + + +⋯+ (❑√2025+1)．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
【答案】(1)❑√10−3
(2)❑√n−❑√n−1
(3)2024
【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解；
（2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解；（3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解．
1 (❑√10−❑√9)
【详解】（1）解： = =❑√10−❑√9=❑√10−3；
❑√10+❑√9 (❑√10+❑√9)(❑√10−❑√9)
故答案为：❑√10−3；
1 (❑√n−❑√n−1)
（2）解： = =❑√n−❑√n−1；
❑√n+❑√n−1 (❑√n+❑√n−1)(❑√n−❑√n−1)
故答案为：❑√n−❑√n−1；
1 1 1 1
（3）解：( + + +…+ )×(❑√2025+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
=(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+…+❑√2025−❑√2024)×(❑√2025+1)
=(❑√2025−1)×(❑√2025+1)
=2025−1
=2024．
4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算：
2 √4 ❑√18
(1) ❑√12+❑√54−❑√8×❑√6−3❑ +
3 3 ❑√3
(2)已知x=2−❑√3，y=2+❑√3，求下列各式的值：
x2y−x y2； (2x−y) 2
① ②
14❑√3
【答案】(1)4❑√6−
3
(2)①−2❑√3；②31−12❑√3
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及求代数的值，熟练掌握二次根式的运算法则以及公式法
因式分解是解题的关键．
（1）根据二次根式混合运算的法则，先化简各二次根式，再进行二次根式乘法计算后合并即可，
（2）①根据已知条件求得x−y，根据x2y−x y2 =xy(x−y)代入数据即可求解．
②直接代入数据，根据完全平方公式进行计算即可求解．
2 √4 ❑√18
【详解】（1） ❑√12+❑√54−❑√8×❑√6−3❑ +
3 3 ❑√32
= ×2❑√3+3❑√6−4❑√3−2❑√3+❑√6
3
14❑√3
=4❑√6−
3
（2）①x2y−x y2
=xy(x−y)
=(2−❑√3)(2+❑√3)(2−❑√3−2−❑√3)
=−2❑√3
②(2x−y) 2
=(4−2❑√3−2−❑√3) 2
=(2−3❑√3) 2
=4−12❑√3+27
=31−12❑√3
5．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）计算：2❑√20+3❑√45−❑√125
（2）计算：(−❑√5+3)(3+❑√5)−(❑√3−1) 2
【答案】（1）8❑√5；（2）2❑√3
【分析】（1）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可；
本题考查了二次根式的加减和混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式=2×2❑√5+3×3❑√5−5❑√5
=4❑√5+9❑√5−5❑√5
=8❑√5；
（2）原式=9−5−(3−2❑√3+1)
=4−(4−2❑√3)
=4−4+2❑√3
=2❑√3．
6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：(❑√2+1)(❑√2−1)=1； (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=1；
(❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3)=1 ； (❑√5+❑√4)(❑√5−❑√4)=1
(1)观察以上规律，请写出第5个等式：______；
(2)观察以上规律，请写出第n个等式：______（n为正整数）；
(3)请利用上面的规律，比较❑√20−❑√19与❑√19−❑√18的大小．
【答案】(1)(❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5)=1
(2)(❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)=1
(3)❑√20−❑√19<❑√19−❑√18
【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题
关键．
（1）观察已知等式规律作答即可；
（2）观察已知等式规律作答即可；
（3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小．
【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：(❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5)=1，
故答案为：(❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5)=1
（2）解：观察以上规律，第n个等式为：(❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)=1，
故答案为：(❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)=1；
1 (❑√20+❑√19)
（3）解： = =❑√20+❑√19，
❑√20−❑√19 (❑√20−❑√19)(❑√20+❑√19)
1 (❑√19+❑√18)
= =❑√19+❑√18，
❑√19−❑√18 (❑√19−❑√18)(❑√19+❑√18)
∵❑√20>❑√19>❑√18，
1 1
∴❑√20+❑√19>❑√19+❑√18，即 > ，
❑√20−❑√19 ❑√19−❑√18
∴❑√20−❑√19<❑√19−❑√18．7．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）阅读下面文字，解决问题：
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部的写出来，于是
小明用❑√2−1来表示❑√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，
因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵❑√4<❑√7<❑√9，即
2<❑√7<3，∴❑√7的整数部分是2，小数部分是❑√7−2根据以上知识解答下列问题：
(1)如果❑√5的小数部分为a，❑√13的整数部分为b，求a+b+5的值；
(2)已知10+❑√3=x+ y，其中x是整数，且0
