文档内容
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实数
第二章
2.3 二次根式（2）导学案
►
学习目标与重难点
学习目标：
1. 认识最简二次根式和二次根式的化简。
2. 熟练掌握二次根式的加、减、乘、除法运算。
3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力。
学习重点：
会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算
学习难点：
二次根式的化简
►
预习自测
一、知识链接
1、 二次根式的乘除法计算法则
。
2、什么是同类项，如何合并同类项？
。
二、自学自测
（1）3x2+2x2= ；（2）x2+2x2+4y= ; （3） 。
►
教学过程
一、创设情境、导入新课
1、P43例3 二次根式的乘除法计算：
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观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
最简二次根式：
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二
次根式。
最简二次根式条件
①是二次根式
②被开方数中不含分母
③被开方数中不含能开得尽方的因数和因式
二、合作交流、新知探究
探究一：1、判断下列根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的请化简成二次根式（课本 43
页例题4改编）
小结：小结：化简成最简二次根式的方法：
1、若被开方数为整数，需分解为完全平方数与另一数的乘积
2若被开方数为分数，分子、分母乘以分母的根式，确保分母不含根号（分母有理化）
探究二：
课本第44页例题5，二次根式的加减运算
小结：
二次根式的四则运算和实数的四则运算法则、运算定律同样适用。
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探究三：课本第45页例题6，二次根式的混合运算
小结：
非最简二次根式的计算，首先化简成最简二次根式，然后按照实数的四则运算法则进行计算。
探究四：教材第46页，拓展延伸
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的周长面积，你有哪些方法，与同伴交流．
解析：
周长：构成格点直角三角形利用勾股定理分别求出AB、BC、CD;然后用AB+BC+CD+DA即为梯形
的周长。
面积：
方法1：过D点向AB作垂线交AB于E,利用勾股定理求出ED,梯形面积=（CD+AB)×DE÷2。
方法2：构成一个长7宽6的矩形，梯形面积=矩形面积减去三个三角形的面积。
答案：18
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.化简 的结果是 ．
；
3. ＝ ．
4．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
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A． B． C． D．
5．已知a＜b，则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
6．把 中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
7.计算 8.计算（3 ）（3 ）﹣（ ）
能力提升：
9.如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（ ）【多项选择】
A． ＝ B． × ＝1 C． ÷ ＝﹣b D．（ ）2＝﹣ab
10.已知xy＝8，x+y＝﹣4，求 + 的值．
拓展迁移
11.现有问题：“已知a＝ ，求2a2﹣8a+1的值．”
小颖的解答过程是这样的：
∵a＝ ，
∴a﹣2＝﹣ ．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
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∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据上面的解答过程，解决如下问题：
（1）填空： ＝ ， ＝ ；
（2）计算：（ + + + ）×（ +1）；
（3）若a＝ ，求4a2﹣8a+1的值．
四、总结反思、拓展升华
1、二次根式的乘除法计算法则：
2、最简二次根式：①是二次根式;
②被开方数不含有分母；
③不含开得尽的因数或因式。
3、如何化简二次根式：
①若被开方数为整数，需分解为完全平方数与另一数的乘积
②若被开方数为分数，分子、分母乘以分母的根式，确保分母不含根号（分母有理化）
五、【作业布置】
基础达标：
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1. 已知最简二次根式 与 是可以合并的二次根式，则x的值为
2. 计算 的结果是 ．
3．若x＝ +1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．3﹣2
4．计算 的结果为（ ）
A．6 B．8 C． D．
5．计算 ÷3 × 的结果正确的是（ ）
A．1 B． C．5 D．9
6.计算： ． 7.计算： ．
8.计算：2 ﹣ + ﹣ ．
能力提升：
9.如果最简二次根式 与 的被开方数相同，求x+7的平方根和立方根．
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10.已知x＝1﹣ ，求代数式（6+2 ）x2+（1 ）x﹣ 的值．
拓展迁移：
11.某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8 米，宽AB为 米，
现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为 +1米，宽
为 ﹣1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 6元/m2的地砖，要铺
完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
课堂练习参考答案
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1、
2、1
3、-4
4、B
5、C
6、A
7、解：原式＝4 + ﹣ +2
＝5 ﹣ +2
+ ；
＝5
8、解：原式＝18﹣12﹣（3﹣2 +2）
＝6﹣5+2
＝1+2
9、
B,C
10、解：∵xy＝8，x+y＝﹣4，∴x＜0，y＜0，
+
＝
＝
＝
＝
＝ ．
11、解：（1） ＝ ，
＝
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＝
＝ + ，
故答案为： ， ；
（2）原式＝[ + +…+ ]•（
+1）
＝（ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣2）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝5﹣1
＝4；
（3）∵a＝ ＝ ＝ +1，
∴a﹣1＝ ，
∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2．
∴a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5
课外作业参考答案
1、2
2、-
3、C
4、D
5、A
6、解：原式＝2 ﹣ +
＝2 ．
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7、解：原式＝2 + ﹣ +
＝ ．
8、解：原式＝（2﹣ + ﹣ ）
＝
＝2 ．
9、解：由题意可知：5x﹣6＝4x+3，
解得：x＝9，
∴x+7＝16，
∴16的平方根是±4，
16的立方根是2 ．
10、解：∵x＝1﹣ ，
∴（6+2 ）x2+（1 ）x﹣
＝（6+2 ）（1﹣ ）2+（1+ ）（1﹣ ）﹣5
＝（6+2 ）（6﹣2 ）+（1+ ）（1﹣ ）﹣5
＝36﹣20+1﹣5﹣5
＝7．
11、解：（1）长方形ABCD的周长
＝2×（ ）
＝2（8 +7 ）
＝16 +14 （米），
答：长方形ABCD的周长是16 +14 （米），
（2）通道的面积＝
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＝56 ﹣（13﹣1）
＝56 （平方米），
购买地砖需要花费＝6×（56 ）＝336 ﹣72（元）．
答：购买地砖需要花费336 ﹣72元；
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