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第二章 实数
2.5 二次根式
基础篇
一、单选题
1．【2022沈阳市南昌中学】x取下列何值时，不能使 成立的是（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
【答案】D
【分析】
根据二次根式的被开方数为非负数建立不等式，求出 的取值范围，由此即可得．
【详解】
解：由二次根式的被开方数为非负数得： ，
解得 ，
则观察四个选项可知，只有选项 不满足 ，
即当 取 时，不能使 成立，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，熟练掌握定义是解题关键．
2．【2022西宁市第十一中学】下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用最简二次根式定义判断即可．【详解】
解：A、 ，不是最简二次根式；
B、 ，不是最简二次根式；
C、 是最简二次根式；
D、 ，不是最简二次根式；
故选C．
【点睛】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
3．【2022湖北省水果湖第二中学】使式子 有意义的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
解：∵式子 有意义，
∴x+2≥0，
∴x≥-2．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4．【2022哈尔滨第六十九中】下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根、二次根式的减法、完全平方公式、合并同类项逐一计算即可．【详解】
解：A. ，此选项错误；
B. ，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了算术平方根、二次根式的减法、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．【2022重庆市第五十七中】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据合并同类项法则，二次根式的性质，负整数指数幂和求绝对值法则，逐一判断选项，即可．
【详解】
解：A. 不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确．
【点睛】
本题主要考查合并同类项法则，二次根式的性质，负整数指数幂和求绝对值法则，熟练掌握上述性质和法则，是解题的关键．
6．【2022上海进才实验中学】下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐
项进行判定即可得出答案．
【详解】
A、 不是最简二次根式，不符合题意；
B、 不是最简二次根式，不符合题意；
C、 不是最简二次根式，不符合题意；
D、 是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义进行计算是解决本题的关键．
7．【2022长春市第八十七中】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用分式的约分对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；
根据完全平方公式对D进行判断．
【详解】解：A. ，此选项错误；
B. ，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次
根式的混合运算中，灵活运用二次根式的性质是解题的关键．
8．【2022西安高新一中】若 ， ， 分别表示 的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意分别列出 ， ， 分别表示的数，然后比较即可得出结论．
【详解】
由题意， ， ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查分母
9．【2022西安铁一中】已知 ，则 的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】A【分析】
根据二次根式的性质求出a=13，得到b=-10，代入计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∴a-13=0，
∴a=13，
∴b=-10，
∴ = ，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次根式的性质，化简二次根式，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
有理化，准确将 的倒数求出是解题关键．
10．【2022西安交大附中】若a2+b2＝4ab，a>b>0，则 ＝（ ）
A． B．3 C．﹣ D．﹣3
【答案】C
【分析】
由a2+b2＝4ab可得 ， ，再由a>b>0，可得b -a<0，a+b>0，根据二次根式的
性质可得b –a= ，a+b= ，整体代入后化简即可求解．
【详解】
∵a2+b2＝4ab，
∴ ， ，
∵a＞b＞0，
∴b -a<0，a+b>0，ab>0，
∴b –a= ，a+b= ，∴ ＝ ．
故选C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形及二次根式的性质，正确求得b –a= 及a+b= 是解决问题的
关键．
提升篇
二、填空题
11．【2022大连市第九中学】计算： ______．
【答案】
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再合并即可．
【详解】
解： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题关键．
12．【宁波市第七中学】计算： __________．
【答案】11
【分析】
利用二次根式的乘法运算法则，直接求解即可．【详解】
解：原式=
=
=
=
=11．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法运算法则，是解题的关键．
13．【2022太原市第三十六中学】已知y＝1＋ ＋ ，则2x＋3y的算术平方根为_____．
【答案】2
【分析】
根据二次根式的非负性求出 ，代入计算得到 ，再根据算术平方根的定义解答．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴2x＋3y的算术平方根为2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查二次根式的非负性，算术平方根的定义，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．14．【2022陕师大附中】计算： ________．
【答案】-2
【分析】
根据负整数指数幂和绝对值定义得到原式=- -2+ ，然后合并即可．
【详解】
解：原式=- -2+
=-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的加减运算，然后
合并同类二次根式，也考查了负整数指数幂和绝对值．
三、解答题
15．【2022北京经纶中学】计算：
【答案】
【分析】
分别利用绝对值的性质、乘方运算、二次根式的乘法法则及零指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即
可得出结果．
【详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算及零指数幂的运算，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
16．【2022济南育才中学】计算： ；
【答案】
【分析】
先化绝对值然后二次根式化简，零指数幂，乘方，最后合并同类项即可．
【详解】
解： ，
，
．
【点睛】
本题考查绝对值，二次根式化简，零指数幂，乘方，掌握以上知识是解题关键．
17．【2022太原市第三十六中学】计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）分别化简各数，再作加减法；
（2）先算乘除法，并化简，再作加减法．
【详解】
解：（1）
=
= ；（2）
=
=
=
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
18．【2022福州市第十九中学】计算：
【答案】 ．
【分析】
根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
19．【2022昆明市第二中学】观察下列各式：
① ；② ；③ ；④ ．
根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题：
（1）写出第⑤个式子：____________；（2）写出第 个式子（ ，且 为整数），并给出证明．
【答案】（1） ；（2） ，见解析
【分析】
（1）从两个角度去思考：一是序号与右边根式前面的整数的关系，二是这个整数与分数的分母之间的关
系，确定好规律好，问题自然得解；
（2）利用特殊与一般的关系推广即可
【详解】
（1）∵右边根式前面的整数等于序号+1，分数的分母等于这个整数的平方减去1，
∴第⑤个式子： ，
故答案为： ；
（2）第 个式子： .
证明如下：
=
=
= .
【点睛】
本题考查了二次根式背景下的规律探索问题，准确找出序号与右边根式前面的整数的关系，这个整数与分
数的分母之间的关系是解题的关键．20．【2022成都树德中学】对于三个数 ， ， ，用 表示这三个数的平均数；用
表示这三个数中最大的数，如 ， ．
（1） ________．
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可；
（2）先化简三个数，再求出三个数的平均数即可．
【详解】
解：（1）∵-4＜-3＜ ，
∴max{-3，-4， }= ；
（2）∵ ， ， ，
∴ = = ，
即 = ．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较法则，负整数指数幂，算术平方根等知识点，能理解已知的新定义是解此题的
关键．
