文档内容
中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版（2024）第二章《实数》回顾与思考教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 回顾与思考 课时 1
课标 1、无理数与实数：理解无理数和实数的概念；理解实数与数轴上的点一一对应； 能对实数进
要求 行分类。
2、掌握算术平方根、平方根的区别，理解平方根和算术平方根的概念；理解立方根的概念；会用
根号表示平方根和立方根；了解平方根和立方根的性质； 能求某些非负数的平方根和算术平
方根，能求某些数的立方根。
3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能把非最简二次根式化简成最简二次根式，能进行简
单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
教材 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数
分析 的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本
掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节
的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中
悟数学思想与方法。
学情 从知识储备来看，学生已经平方根、立方根、二次根式的运算，数的认识扩充到无理数。并且
分析 会用数轴上的点表示一个无理数。
从能力看，八年级学生的思维从具体的形象思维到逻辑思维的转折，教材内容呈现具体性
和形象性，同时具备了适当的概括要求，适应了这一时期的发展要求，又促进了他们的思维向高
一级发展。
在学习态度上，由于学生的种种原因，忽视了自身的内在思维能力的成长，独立思考、自主
探究、合作交流这一数学学习的基本过程还没有形成常态。
核心 1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念及简单的运算。
素养
目标 2.熟练掌握实数的分类、无理数的概念，会用数轴表示无理数。
3.理解最简二次根式的含义，能熟练地进行实数的化简和计算。
4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。
教学 知识的整理和归纳。
重点
教学 运用知识解决实际问题。
难点
教学
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 知识框架 展示预习题 绘制思维导图，
（章节思维导 对本章节知识点有
图） 大致的了解。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
二、知识 一、实数的相关概念 1、梳理实数 通过梳理章节主要
梳理 1.实数的分类 的相关概念， 内容，采用边梳理
完成习题。 边完成习题。使学
2、梳理平方 生灵活运用和掌握
根和立方根相 知识点。提高学生
关知识，完成 的综合素养。
相应习题。
3、梳理二次
根式相关知
识，完成相应
习题。
2、真题再现
①1.下列各数，0， ， ，3π， 中，中无理数的个
数是（ A ）
A.2 B.3 C.4 D.5
②一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可
能是（ D ）
A.整数， B. 分数 C.有理数 D.无理数
二、平方根与立方根
1、正数a的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根
2、0的算术平方根是0 ，负数没有平方根。
3、算术平方根具有双重非负性，即被开方数非负数，算
术平方根非负数。
1、平方根的定义：
若 ，则x叫a的平方根，即
2、立方根的定义；
若 ，则x叫a的平方根，即
6、平方根和立方根的相同点与不同点：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
开平方的定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平
方，其中a叫做被开方数
开立方的定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立
方，其中a叫做被开方数
平方根的性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平
方根，它是0本身；负数没有平方根.
立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是
负数；0的立方根是0.
7、真题再现
①.下列语句中正确的是（ D ）
A.-9的平方根是-3, B.9的平方根是3,
C.9的算术平方根是 ±3， D.9的算术平方根是3
② 的平方根是( A )
A. ±5 B.﹢5 C.﹣5 D.
③.9的算术平方根是（ 3 ）; (-5) 的立方根是（ -5
） ; 10 的平方根是（ ±0.1 ） ;
④已知一个正方形的边长为a,面积为 S ，则( C )
A. B.S的平方根是a
C.a是S平方根 D.
三、二次根式
1、二次根式的定义：
形如 的式子叫做二次根式，其中a叫做
被开方数.
2、二次根式乘除法计算法则
⑴积的算术平方根等于算术平方根的积；
⑵商的算术平方根等于算术平方根的商；
3、最简二次根式 ：满足以下三个条件的二次根式叫最
简二次根式 ：
⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；
⑵被开方数不能含有分母；
⑶分母不能含有根号.
注意：二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二
次根式.
4、二次根式的运算 ：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
⑴二次根式的加减：类似合并同类项 ；
⑵二次根式的乘法 ：
⑶二次根式的除法 ：
(4)二次根式的乘方 ：
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
5、真题再现
①下列运算中，正确的是（ A ）
②.下列运算正确的是( D )
③比较大小：
④4.在数轴上作出 的对应点。
⑤5.实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示，则
它们从小到大的顺序是 c < d < b < a
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
五、课堂 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课
练习 1. （1） ＝ 1 0 ； 练习 堂练习的完成过程
（2）|3﹣ |＝ ； 中对要点知识加深
巩固，有效应用。
（3）﹣8的立方根是 - 2 ；
（4）4的平方根是 ± 2 ．
2.．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣
+ ＝ 2 ．
3．在0、﹣ 、﹣1、2四个数中，最小的数是（ C ）
A．0 B．2 C．﹣ D．﹣1
π
4．下列四个实数中，一定是无理数的是（ A ）
π
A． B．
C．3.1415926 D．0.13133……
5．若2、5、n为三角形的三边长，则化简 +
的结果为（ A ）
A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10
6．下列二次根式中，化简后与 可以合并的二次根
式是（ D ）
A． B． C． D．
计算：
7.
（1） ；
．
（2）
解：（1）
＝
＝ ﹣3﹣2 ﹣3+
＝﹣6；
（2）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
＝3﹣2 +1+3+4 +4﹣2（3+ ﹣2）
＝3﹣2
＝9．
能力提升：
8.观察下列计算：．
＝ ＝
＝ ﹣1，
＝
＝
＝ ﹣ ，
＝
＝
＝ ﹣ ，
（1）运用上面的计算方法化简 （n为正整
数）；
（2）利用上面的结论计算：（ + +
+…+ ）（1+ ）；
（3）计算： + + ．
解：（1）
＝
＝
＝ ；
解 ： （ 2 ） （ + + +… +
）（1+ ）
＝ （ + + +… +
）（1+ ）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
＝（ ﹣1）（1+ ）
＝2022﹣1
＝2021；
解：（3） + +
＝ + +
＝ ﹣1+ +
＝ ﹣1．
拓展迁移
9.“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：＝＝
7＋4．除此之外，还可以用先平方再开方的方法化
简一些有特点的无理数，如要化简－，可以先设x＝
－，再两边平方，得x2＝(－)2＝4＋＋4－－2=2，又
因为, ＞，所以x＞0，所以x＝，故－＝．根据以上方
法，化简+－的结果是 ．
解析：设x＝－，
两边平方，得x2＝(－)2＝8＋4＋8－4－2＝8，
因为>，
所以x＞0，
所以x＝2.
故原式＝＋2
＝＋2
＝＋2
＝3－2＋2＝3.
10．已知a，b，c满足a2－4a＋8＋＋|c－3|=0.
(1)求a，b，c的值；
(2)若a，b，c为三条线段的长，这三条线段能否构成三
角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不
能构成三角形，请说明理由．
解：(1)因为a2－4a＋8＋＋|c－3|＝0，
所以(a－2)2＋＋|c－3|＝0，
所以a－2＝0，b－5＝0，c－3＝0.
所以a＝2，b＝5，c＝3.
(2)能．
因为2＋3＝5＞5，
所以能构成三角形，
三角形的周长＝2＋3＋5＝5＋5.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
六、提升 1、实数的分类（有理数与无理数）. 对照思维导图 引导学生从知识内
总结 2、平方根的概念类比得出立方根的概念. 复述相应的概 容、研究方法以及
3、平方根与算术平方根的联系与区别. 念。 运用过程三个方面
总结自己的收获，
4、平方根与立方根的计算.
让学生全面把握本
5、二次根式与最简二次根式.
节课的重点和难
6、实数的运算，①加减法；②乘除法；③乘方.
点，并启发学生用
类比或迁移的方法
学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、
符号、图表等呈现
本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1．在实数，－，，0，π，－中，无理数的个数是( C )
习） A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列结论中，正确的有( A )
①＝4；②＝±；③－32的平方根是－3；
④的算术平方根是－5；⑤±是1的平方根．
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简＋|a－b|＋2－|a＋b|的结果是( C )
A．2a－b＋1 B．a－2b＋1
C.－a＋2b－1 D．2a＋b－1
4．若＋＝b(b为整数)，则a的值可以是( D )
A． B．27 C．24 D．20
5．把(2－x)的根号外的(2－x)适当变形后移入根号内，得( D )
A． B． C．－ D．－
解析：：由≥0且x－2≠0，得x－2>0，
故(2－x)
＝－(x－2)
＝－
＝－.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
6．计算：
(1) ＋|－3|－(π－1)0－；
解：原式＝－2＋3－－1－3
＝－4.
(2)－×－(＋2)(2－)．
解;原式＝＋1－－[22－()2]
＝2＋1－2－(4－3)
＝1－1
＝0.
能力提升：
7.观察下面的式子：
S＝1＋＋，S＝1＋＋，S＝1＋＋，…，S＝1＋＋.
1 2 3 n
(1)计算：＝__________，＝__________，猜想：＝________(用含n的代数式表示)；
(2)计算：S＝＋＋＋…＋.(用含n的代数式表示)
解：(1)；；
点拨：因为S＝1＋＋＝，
1
所以＝＝.
因为S＝1＋＋＝，
2
所以＝.
因为S＝1＋＋＝，
3
所以＝，….
所以＝.
(2)S＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋
＝n＋(1－＋－＋－＋…＋－)
＝n＋1－
＝.
8.实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．
(1)如图1，点A表示的数是__ __；
(2)如图2，直线l垂直数轴于表示4的点，请用尺规作出表示1－的点(不写作法，
保留作图痕迹)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(2)如图，点P即为所求．
拓展迁移：
9．阅读材料：
因为2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.
解决下列问题：
(1)填空：的小数部分是 ____________；
(2)已知a是－4的整数部分，b是－4的小数部分，求代数式(a＋1)3＋(b＋4)2的值；
(3)已知m是2＋的整数部分，n是2＋的小数部分，求m－n的相反数．
解：(1) －8
(2)因为4<<5，
所以0<－4<1.
因为a是－4的整数部分，b是－4的小数部分，
所以a＝0，b＝－4，
所以(a＋1)3＋(b＋4)2
＝13＋()2
＝1＋19
＝20.
(3)因为1<<2，所以3<2＋<4.
因为m是2＋的整数部分，n是2＋的小数部分，
所以m＝3，n＝2＋－3＝－1，
所以m－n的相反数为－(m－n)＝n－m＝－4.
10．规定新运算符号“☆”：a☆b＝ab＋－. 例如：(－2)☆1＝(－2)×1＋－＝1－.
(1)求☆的值；
(2)求(＋)☆的值；
(3)若[－(2x－1)2]☆ ＝－，求x的值．
解：(1)☆＝3 ×＋－＝9.
(2)(＋)☆
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
＝(＋)×＋－
＝12＋6＋－
＝18－.
(3)因为[－(2x－1)2]☆ ＝[－(2x－1)2]× ＋－＝－，
所以(2x－1)2＝9，
所以2x－1＝±3，
所以x＝或x＝.
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
