文档内容
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第二章 实数
回顾与思考导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念及简单的运算。
2.熟练掌握实数的分类、无理数的概念，会用数轴表示无理数。
3.理解最简二次根式的含义，能熟练地进行实数的化简和计算。
4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。
学习重点：知识的整理和归纳。
学习难点：运用知识解决实际问题。
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预习自测
一、绘制章节思维导图
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教学过程
一、知识梳理
一、实数的相关概念
1.实数的分类
2、真题再现
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①1.下列各数，0， ， ，3π， 中，中无理数的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
②一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ ）
A.整数， B. 分数 C.有理数 D.无理数
二、平方根与立方根
1、正数a的 ，叫做这个正数的算术平方根
2、0的算术平方根是 ， 没有平方根。
3、 具有双重非负性，即被开方数非负数，算术平方根非负数。
4、平方根和立方根的相同点与不同点：
开平方的定义： 。
开立方的定义： 。
平方根的性质： 。
立方根的性质： 。
7、真题再现
①.下列语句中正确的是（ ）
A.-9的平方根是-3, B.9的平方根是3, C.9的算术平方根是 ±3， D.9的算术平方根是3
② 的平方根是( )
A. ±5 B.﹢5 C.﹣5 D.
③.9的算术平方根是（ ）; (-5) 的立方根是（ ） ; 10 的平方根是（ ） ;
④已知一个正方形的边长为a,面积为 S ，则( )
A. B.S的平方根是a C.a是S平方根 D.
三、二次根式
1、二次根式的定义： .
2、二次根式乘除法计算法则
⑴积的算术平方根= ；
用字母表示： 。
⑵商的算术平方根= ；
用字母表示： 。
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3、最简二次根式 ：满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式 ：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ 。
【强调】：二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式.
4、二次根式的运算 ：
⑴二次根式的加减：类似合并同类项 ；
⑵二次根式的乘法 ：
⑶二次根式的除法 ：
(4) 二次根式的乘方 ：
【强调】注意平方差公式与完全平方公式的运用！
5、真题再现
①下列运算中，正确的是（ ）
②.下列运算正确的是( )
③比较大小：
④4.在数轴上作出 的对应点。
⑤5.实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是 。
三、课堂练习、巩固提高
1. （1） ＝ ；
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（2）|3﹣ |＝ ；
（3）﹣8的立方根是 ；
（4）4的平方根是 ．
2.．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ + ＝ ．
3．在0、﹣ 、﹣1、2四个数中，最小的数是（ ）
A．0 πB．2 C．﹣ D．﹣1
4．下列四个实数中，一定是π无理数的是（ ）
B．
A．
C．3.1415926 D．0.13133……
5．若2、5、n为三角形的三边长，则化简 + 的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10
6．下列二次根式中，化简后与 可以合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
计算：
7.
（1） ；
（2）
．
能力提升：
8.观察下列计算：．
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＝ ＝ ＝ ﹣1，
＝ ＝ ＝ ﹣ ，
＝ ＝ ＝ ﹣ ，
（1）运用上面的计算方法化简 （n为正整数）；
（2）利用上面的结论计算：（ + + +…+ ）（1+
）；
（3）计算： + + ．
拓展迁移
9.“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：＝＝
7＋4．除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简－，可以
先设x＝－，再两边平方，得x2＝(－)2＝4＋＋4－－2=2，又因为, ＞，所以x＞0，所以x＝，故
－＝．根据以上方法，化简+－的结果是 ．
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10．已知a，b，c满足a2－4a＋8＋＋|c－3|=0.
(1)求a，b，c的值；
(2)若a，b，c为三条线段的长，这三条线段能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；
若不能构成三角形，请说明理由．
四、总结反思、拓展升华
1、实数的分类（有理数与无理数）.
2、平方根的概念类比得出立方根的概念.
3、平方根与算术平方根的联系与区别.
4、平方根与立方根的计算.
5、二次根式与最简二次根式.
6、实数的运算，①加减法；②乘除法；③乘方.
五、【作业布置】
基础达标：
1．在实数，－，，0，π，－中，无理数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列结论中，正确的有( )
①＝4；②＝±；③－32的平方根是－3；
④的算术平方根是－5；⑤±是1的平方根．
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简＋|a－b|＋2－|a＋b|的结果是( )
A．2a－b＋1 B．a－2b＋1
C.－a＋2b－1 D．2a＋b－1
4．若＋＝b(b为整数)，则a的值可以是( )
A． B．27 C．24 D．20
5．把(2－x)的根号外的(2－x)适当变形后移入根号内，得( )
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A． B． C．－ D．－
6．计算：
(1) ＋|－3|－(π－1)0－； (2)－×－(＋2)(2－)．
能力提升：
7.观察下面的式子：
S＝1＋＋，S＝1＋＋，S＝1＋＋，…，S＝1＋＋.
1 2 3 n
(1)计算：＝__________，＝__________，猜想：＝________(用含n的代数式表示)；
(2)计算：S＝＋＋＋…＋.(用含n的代数式表示)
8.实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．
(1)如图1，点A表示的数是____；
(2)如图2，直线l垂直数轴于表示4的点，请用尺规作出表示1－的点(不写作法，保留
作图痕迹)．
拓展迁移：
9．阅读材料：
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因为2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.
解决下列问题：
(1)填空：的小数部分是 ____________；
(2)已知a是－4的整数部分，b是－4的小数部分，求代数式(a＋1)3＋(b＋4)2的值；
(3)已知m是2＋的整数部分，n是2＋的小数部分，求m－n的相反数．
10．规定新运算符号“☆”：a☆b＝ab＋－. 例如：(－2)☆1＝(－2)×1＋－＝1－.
(1)求☆的值；
(2)求(＋)☆的值；
(3)若[－(2x－1)2]☆ ＝－，求x的值．
课堂练习参考答案：
1.10； ；-2；±2
2.2
3.C
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4.A
5.A
6.D
7.解：（1）
＝
＝ ﹣3﹣2 ﹣3+
＝﹣6；
（2）
＝3﹣2 +1+3+4 +4﹣2（3+ ﹣2）
＝3﹣2
＝9．
8.解：（1）
＝
＝
＝ ；
解：（2）（ + + +…+ ）（1+ ）
＝（ + + +…+ ）（1+ ）
＝（ ﹣1）（1+ ）
＝2022﹣1
＝2021；
解：（3） + +
＝ + +
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＝ ﹣1+ +
＝ ﹣1．
9.解析：设x＝－，
两边平方，得x2＝(－)2＝8＋4＋8－4－2＝8，
因为>，
所以x＞0，
所以x＝2.
故原式＝＋2
＝＋2
＝＋2
＝3－2＋2＝3.
10.解：(1)因为a2－4a＋8＋＋|c－3|＝0，
所以(a－2)2＋＋|c－3|＝0，
所以a－2＝0，b－5＝0，c－3＝0.
所以a＝2，b＝5，c＝3.
(2)能．
因为2＋3＝5＞5，
所以能构成三角形，
三角形的周长＝2＋3＋5＝5＋5.
课外作业参考答案：
1. C
2. A
3. C
4. D
5.D; 解析：：由≥0且x－2≠0，得x－2>0，
故(2－x)
＝－(x－2)
＝－
＝－.
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6.（1）解：原式＝－2＋3－－1－3
＝－4.
（2）解;原式＝＋1－－[22－()2]
＝2＋1－2－(4－3)
＝1－1
＝0.
7.解：(1)；；
点拨：因为S＝1＋＋＝，
1
所以＝＝.
因为S＝1＋＋＝，
2
所以＝.
因为S＝1＋＋＝，
3
所以＝，….
所以＝.
(2)S＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋
＝n＋(1－＋－＋－＋…＋－)
＝n＋1－
＝.
8. （1）
(2)如图，点P即为所求．
9.解：(1) －8
(2)因为4<<5，
所以0<－4<1.
因为a是－4的整数部分，b是－4的小数部分，
所以a＝0，b＝－4，
所以(a＋1)3＋(b＋4)2
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＝13＋()2
＝1＋19
＝20.
(3)因为1<<2，所以3<2＋<4.
因为m是2＋的整数部分，n是2＋的小数部分，
所以m＝3，n＝2＋－3＝－1，
所以m－n的相反数为－(m－n)＝n－m＝－4.
10.解：(1)☆＝3 ×＋－＝9.
(2)(＋)☆
＝(＋)×＋－
＝12＋6＋－
＝18－.
(3)因为[－(2x－1)2]☆ ＝[－(2x－1)2]× ＋－＝－，
所以(2x－1)2＝9，
所以2x－1＝±3，
所以x＝或x＝.
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