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第二章 实数
2.3 二次根式（1）导学案
►
学习目标与重难点
学习目标：
1.认识二次根式概念.
2.探索二次根式的乘除法计算法则．二次根式的简单计算。
3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力
学习重点：
学习难点：
►
预习自测
一、知识链接
叫算术平方根。
叫平方根。
►
教学过程
一、合作交流、新知探究
探究1：二次根式的概念
1、问题： 其中b=24,C=25.
上面各式的共同特点是什么？ 。
2、请指出下列哪些是二次根式？
二次根式有： 。
3、x取何值时,下列二次根式有意义?
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参考答案：（1）x≥1 （2）x≤0 （3）x为任意实数（4） x>0 （5）x≥0 （6）x≠0
探究2：二次根式乘除法计算法则
用计算器计算下列各式，你能得到什么猜想?
= = = =
= = = = = =
= =
小结：二次根式乘除法计算法则
【强调】用字表示二次根式乘除法计算法则，注意字母的取值范围。
二、典例精析，
例题1：计算（课本第42页）
例题2：计算下列各题（课本第42页例题2）
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三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．（2 ）2＝ ．
2．化简： ＝ ．
3．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
4．下列根式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
Π
5．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥1 C．x≥2 D．x＜3
6．计算： ． 7．计算： ．
能力提升：
8．比较大小：2 ， ， 的大小顺序是（ ）
A．2 ＜ ＜ B．2 ＜ ＜
C． ＜2 ＜ D． ＜ ＜2
9．若 ，则代数式x2﹣6x﹣9的值为（ ）
A．2022 B．2004 C．﹣2004 D．﹣2022
拓展迁移：
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10.已知a＝ ，求代数式a2+2a﹣5的值．
11．已知x＝ +1，y＝ ﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
四、总结反思、拓展升华
1、什么是二次根式，怎样判断一个根式是二次根式？
2、根据二次根式被开方数是非负数，知道求其取值范围。
二次根式乘除法的计算法则
五、【作业布置】
基础达标：
1．当x＝﹣4时， 的值是 ．
2．若分式 有意义，则实数x的取值范围为 ．
3．计算： ＝ ．
4．实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
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A．2b﹣a B．a+2b C．﹣a D．a
5．下列二次根式中能与 相乘得到有理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各数中，与 不能合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
7．计算： ． 8．计算：（ +3）（ ﹣3）﹣（ ﹣1）2．
能力提升：
9．已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 ﹣|c﹣a|+
10.观察下列分母有理化的计算： ＝ ﹣ ， ＝ ﹣ ， ＝ ﹣
， ＝ ﹣ ，…
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：（ + + +…+
）（ +1）＝ ．
拓展迁移：
11.阅读下列解题过程
例：若代数式 的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
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当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简： ＝ ；
（2）若等式 ＝4成立，则a的取值范围是 ；
（3）若 ＝8，求a的取值．
课堂练习参考答案：
1.20
2．π-3
3．X＞3
4．D
5．B
6. 解：原式＝3 +2 ﹣3 ﹣2
＝ ﹣ ．
7.解：
＝2 ﹣ +3
＝ +3．
8. B
9. B
10.解：∵a＝ ，
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∴a2+2a﹣5
＝a2+2a+1﹣1﹣5
＝（a+1）2﹣6
＝（ ﹣1+1）2﹣6
＝（ ）2﹣6
＝5﹣6
＝﹣1．
11.解：（1）x2+2xy+y2
＝（x+y）2
＝（ ）2
＝（2 ）2
＝12；
（2）x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝（ ）×[ ]
＝2 ×2
＝4 ．
课外作业参考答案：
1. 3 ．
2. x≥﹣1且x≠0
3. 5
4. B
5. A
6. B
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7.解：
＝ +
＝ +
＝
＝3
＝4 ．
8.解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2 +1）
＝﹣4﹣4+2
＝﹣8+2 ．
9.解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|
＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣c+a﹣b+c
＝﹣b
10.2020
11.解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
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∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
（3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
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