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第五章 二元一次方程组
5.1二元一次方程组的应用（增收节支）导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数
学模型，培养学生数学的应用能力。
3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。
学习重点：能获取文字信息，利用表格分析解决较复杂的数量关系，建立等量关系
学习难点：借助图表分析问题中的数量关系,掌握列二元一次方程组解决简单的实际问题的方法。
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预习自测
一、预习交流
1、利息、本金、利率之间的关系 .
2、某人按定期一年存入银行10000元，若年利率为2.25%，则一年后可得利息 元；本息
和为 元（不考虑利息税）.
3、利润、利润率公式 .
某商品进价为2000元，卖出后可获利50%，则利润为 元，该商品的售价为 元。
3、增长率公式 .
1、某人去年每个月的工资是6000元，今年比去年增长了10%，则今年的工资为 元。如果
要扣除5%的税，则还剩 元。
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教学过程
一、创设情境、导入新课
例: 某公司去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去
年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
分析：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，填写下表
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
关键:找出等量关系. ； 。
解设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，依题意得
1解得
答：去年的总收入为 万元，总支出为 万元
二、合作交流、新知探究
例 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,
每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么
每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?
分析:设每餐甲、乙原料各x，y克. 填写下表
甲原料x 甲原料x 所配营养品
克 克
蛋白质含量
铁质含量
想一想：等量关系是什么？
(1) ；
(2) ．
解:设每餐甲、乙原料各x克，y克.依题意得
化简得
解得：
答：每餐需甲原料 克、乙原料 克.
例题2：有甲乙两种溶液,甲种溶液由酒精1升,水3升配制而成;乙种溶液由酒精3升,水2升配制而成.
现要配制浓度为50%的酒精溶液7升,甲乙两种溶液应各取几升?
分析：甲种溶液的浓度是 ；
乙种溶液的浓度是 。
若设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升，填写下表
溶液(升) 浓度 酒精含量(升)
配
甲溶液
制
前
乙溶液
配制后
等量关系式：（1） .
(3) .
解：设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升，依题意得：
化简得
解得
2答:甲种溶液需 升,乙种溶液需 升.
【强调】：
一、列方程解应用题步骤
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
二、二元一次方程组解决增收节支问题的思维过程
问题 方程（组） 解答
分析、抽象 求解、检验
三、要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具
体问题灵活选用．
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了
2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,列方程组得：
2、一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。如果一班学生的
体育达标率为87.5%，二班的达标率为75%，那么一、二两班的学生数各是多少?设一班学生有x名、
二班学生有y名，列出方程组得：
3、某公司用30000元购进甲乙两种货物.货物卖出后,甲种货物获利10%,乙种货物获利11%,共得利
润3150元,问两种货物各进多少钱的货?设甲种货物进x元的货,乙种货物进 y元的货.列出方程组：
4、在新玛特、百货大楼同款的mp3的单价相同，书包单价也相同，mp3和书包单价之和是452元，
且mp3的单价比书包单价的4倍少8元，你能算出mp3和书包单价各是多少元吗？
5.已知A、B两件服装的成本共500元，大不同服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销
售，该服装店共获利130元，问A、B两件服装的成本各是多少元？
36．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每枝钢笔5元，那么小明最
多能买 枝钢笔．
7．为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品每种体育用品都购买，其中甲种
体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元，请你设计一下，共有 种购买方
案
能力提升：
8．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划
的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
9．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率
是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别
为x万元和y万元，则（ ）
A．x=15,y=20 Bx=12,y=23． Cx=20,y=15． Dx=23,y=12．
拓展迁移
10. 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两
种货车的情况如下表：
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完这批货．已知每吨需付运费30元，问货
主应付运费多少元？
第一次 第二次
甲种货车辆数(辆) 2 5
乙种货车辆数(辆) 3 6
运货总吨数(吨) 15.5 35
4四、总结反思、拓展升华
一、列方程解应用题步骤
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
二、二元一次方程组解决增收节支问题的思维过程
问题 方程（组） 解答
分析、抽象 求解、检验
三|、要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具
体问题灵活选用．
五、【作业布置】
基础达标：
1．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2．某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖
励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
3．某船顺流航行的速度为a，逆流航行的速度为b，则水流速度为（ ）
A． B． C ．a-b D．以上都不对
4.用含糖分别为35%和40%的两种糖水混合,配制成含糖36%的糖水50千克,每种糖水应各取多少千克?
设应取35%的糖水x千克,40%的糖水Y千克.列出方程组:
5.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,如甲比乙先走2时,那么他们在乙出发2.5时后相遇;
如果乙比甲先走2时,那么他们在甲出发3时后相遇,甲、乙两人每时各走多少千米?设甲、乙两人每
时分别行走x千米,y千米。列出方程组;
6．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率
是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别
为x万元和y万元，则（ ）
5A．x=15,y=20; B. x=12,y=23; C.x=20,y=15 ; D.x=23,y=12
7．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划
的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
能力提升：
8.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个
乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，求李师傅加工2个甲种零件
和4个乙种零件共需多少分钟.
9.甲、乙两件服装的进价共500元，商店老板将甲种服装按的利润的50%定价，乙种服装按的利润的
40%定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按九折出售，这样商店老板共获利157元．求甲、
乙两件服装的进价各是多少元？
拓展迁移：
10．疫情期间，为最大程度地减少人员接触，减少病毒的传播，武汉市某医院计划购买A，B两种型
号的机器人，协助医护人员进行送餐和消毒工作，已知购买A型机器人2个和B型机器人3个共需
16万元，购买A型机器人3个和B型机器人2个共需14万元．
(1)求A，B两种机器人的单价；
(2)医院准备购买A，B两种机器人共30个，并且A型机器人的数量不多于B型机器人数量的2倍，
请设计最省钱的购买方案，并说明理由
6课堂练习参考答案：
x+y=3100
1、
(1+6%)x+(1-2%)y=3100×（1+4%）
x+y=100
2、 87.5%x+75y=100×81%
x+y=3000
3、 10%x+11%y=3150
4、解：设mp3的单价为x元，书包的单价为y元。
由题意得
x+y=452
x=4y-8
x=360
解得，
y=92
7答：mp3的单价为360元，书包的单价为92元。
5、解：设A服装的成本为x元，B服装的成本为y元。
由题意得 x+y=500
30%x+20%y=130
x=300
解得，
y=200
答：A、B两件服装的成本分别为300元，200元。
6、13
7、两
8、A
9、A
2x+3y=15.5
10、解：设甲种货车每辆装x吨，乙种货车每辆装y吨，根据题意得:
5x+6y=35
x=4
解得
y=2.5
所以 30 ×（3x+5y)=30×(3×4+5×2.5）=735（元）
答：货主应付运费735元。
课外作业参考答案：
1、A
2、B
3、B
{x+ y= 50, ¿ ¿¿¿
4、
5、
{(2+2.5)x+2.5y= 36,
¿¿¿¿
6、A
7、A
8、解：设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟.
3x+5y=55 ①
4x+9y=85 ②
8依题意得，
由 ①+②得；7x+14y=140
所以 x+2y=20，则.2x+4y=40
答：李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟.
9、解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，
根据题意可得： x+y=5500 ①
（50%x+40%y）×90%=157 ②
x=300
解得： ．
y=200
答：甲服装的进价是300元，乙服装的进价是200元．
10、解：(1)设A种机器人的单价是X万元，B种机器人的单价是y万元，
2x+3y=16
根据题意得
3x+2y=14
x=2
解得：
y=4
∴A型机器人的单价是2万元，B型机器人的单价是4万元；
(2)设购买A型机器人m个，总费用为W万元，
依题意得w=2m+4(30-m)=-2m+120，
∵ -2＜0
∴当m取最大值时，w有最小值，
又∵m 2(30-m)
m 20
∴当m=20时，w=-2×20+120=80
此时，30-20=10．
故最省钱的购买方案是购进20个A型机器人，10个B型机器人
9
