文档内容
第十一章 三角形压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
【答案】B
【分析】分析题意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即
可．
【详解】解：连接AD，
在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，将图形中角的关系利用三角形的内
角和等于180°进行转化，再运用等量代换是解题的关键．
2．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 ，则原来多边形的边
数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解
题关键．
3．在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（ ）
A．化归思想 B．分类讨论 C．方程思想 D．数形结合思想
【答案】A
【分析】根据多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数）的推导过程即可解答．
【详解】解：多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数），该公式推导的基本
方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，
这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和，体现了化归思想．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的
关键.
4．如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中 ， ，
， ，现按住三角板 不动，将三角板 绕点C顺时针旋
转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记
（k为常数），给出下列四个说法：
①当 时，直线 与直线 相交所成的锐角度数为 ；②当 时， ；
③当 时， ；
④当 时， ．其中正确的说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先证明 ，然后求出当 时， ，由此按
照图①求解即可判断（1）；当 时， 求得 ， ，则
，即可判断（2）；当 时，先求出 ，则
， ，即可判断（3）；根据题意当
时，只有如图②一种情况，据此判断（4）即可．
【详解】解：当三角板 旋转角度小于 度时，如题干图②，设直线 与直线 交
于F，
∴ ，
∴ ，
当 时，即 ，如图①所示，
∴ ，
∴ ；
当三角板 旋转角度大于 时，如图②所示，
∴ ，
∴当 时，即 ，
∴ ，
∴此时 在图中 的位置，
∴ ，故（1）正确；当三角板 旋转角度小于 度时，如图 所示，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当三角板 旋转角的大于 时，如图④所示，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故（2）错误；如图⑤所示，当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故（3）正确；
由于 顺时针旋转到B、C、E共线时停止，
∴当 时，只有如下图⑥一种情况，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故（4）正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定，正确
理解题意是解题的关键．
5．在 中， 分别是高和角平分线，点F在 的延长线上， 交
于点G，交 于点H，下列结论：
① ；
② ；
③ ，④ ；
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①根据 ， ，由直角三角形锐角互余可证明；②根据角平分线的
定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据三角形的内角和和角平分线的定义，进行
等量代换，即可证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【详解】解：有题意可知
，
①正确；
是角平分线，
②正确；
③正确；
，④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念
以及三角形外角的性质是解题的关键．
6．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为
G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（ ）
A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE=∠CHG
D．不一定
【答案】C
【分析】先根据AD、BE、CF为 ABC的角平分线可设∠BAD=∠CAD=x，
∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，由三角形内角和定理可知，2x+2y+2z=180° 即
△
x+y+z=90°在 AHB中由三角形外角的性质可知∠AHE=x+y=90°﹣z，在 CHG中，
∠CHG=90°﹣z，故可得出结论．
△ △
【详解】∵AD、BE、CF为 ABC的角平分线
∴可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，
△
∴2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°，
∵在 AHB中，∠AHE=x+y=90°﹣z，
在 CHG中，∠CHG=90°﹣z，
△
∴∠AHE=∠CHG，
△
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和
180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
7．如图， ，点 在 上，且 ，点 到射线 的距离为 ，点 在
射线 上， ．若 的形状，大小是唯一确定的，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D． 或【答案】A
【分析】根据 的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：过点 作 交 于点 ，作点 关于 的对称点 ，如图：
∵点 到射线 的距离为 ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
当 ，即点 在线段 上（不含端点）或点 在线段 上（不含端点），
不能唯一确定 ；
当 时，即点 与点 重合，
可唯一确定 为直角三角形；
当 时，即点 与点 重合或点 与点 重合，
∵点 与点 重合时不能构成三角形，故能唯一确定 ；
当 时，即点 在点 的右侧，故能唯一确定 ；
综上，若 的形状，大小是唯一确定的，则 的取值范围是 或 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，
， 于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；
③∠ADC =∠GCD；④∠DFB= ∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明
∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内
角和定理先推出 ，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．【详解】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵ ，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；
∵∠A=90°，CG⊥EG， ，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故③正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ，
∴ ，
∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，
∴ ，故④正确；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行
线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
9．已知 中， 是 边上的高， 平分 ．若 ， ， ，
则 的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目由于在三角形中未确定 大小，所以需要进行分类讨论：（1）
，作出符合题意的相应图形，由图可得： ，根据角平分
线的性质得： ，在 中，
，故可得 ；（2） 时，由图可得：， ，在 中，
，故可得 ；综上可得： ．
【详解】解：（1）如图1所示： 时，
图1
∵CD是AB边上的高，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵CE平分 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（2）如图2所示： 时，
图2
∵CD是AB边上的高，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵CE平分 ，∴ ，
在 中， ，
∴ ；
综合（1）（2）两种情况可得： ．
故选：D．
【点睛】题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分
线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，
作出相应的三角形图形．
10．如图，DC∥AB，AE⊥EF，E在BC上，过E作EC⊥DC，EG平分∠FEC，ED平分
∠AEC．若∠EAD＋∠BAD＝180°，∠EDA＝3∠CEG，则下列结论：① ∠EAB＝
2∠FEG；② ∠AED＝45°＋∠GEF；③ ∠EAD＝135°－4∠GEC；④ ∠EAB＝15°，其中
正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵EG平分∠FEC，
∴∠FEG＝∠CEG，
设∠FEG＝∠CEG＝α，
∴∠FEC＝2α，
∵∠EDA＝3∠CEG，
∴∠EDA＝3α，
∵EC⊥DC， ，
∴EB⊥AB，∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC＝∠AEF＋∠FEC＝90°＋2α，
∵∠AEC＝∠B＋∠EAB＝90°＋∠EAB，
∴90°＋2α＝90°＋∠EAB，∴∠EAB＝2α＝2∠FEG，
故①正确；
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝ ∠AEC＝ （90°＋2α）＝45°＋α＝45°＋∠GEF，
故②正确；
∵∠AED＝45°＋α，∠EDA＝3α，
∴∠EAD＝180°−∠AED−∠EDA＝180°−（45°＋α）−3α＝135°−4α＝135°−4∠GEC，
故③正确；
∵∠EAD＋∠BAD＝180°，
∴∠EAB＋∠DAE＋∠EAD＝180°，
∴2α＋2（135°−4α）＝180°，
∴α＝15°，
∴∠EAB＝2α＝30°，
故④错误，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形角平分线的性质、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角
形角平分线的性质、三角形外角性质、三角形内角和是解题的关键．
评卷人 得分
二、填空题
11．如图，小红作出了面积为1的正△ABC，然后分别取△ABC三边的中点A，B ，C ，
1 1 1
作出了正△AB C ，用同样的方法，作出了正△AB C ，….由此可得，正△AB C 的面积
1 1 1 2 2 2 8 8 8
是 ．
【答案】
【详解】试题解析：∵△ABC三边的中点A，B ，C ，
1 1 1
∴B C = BC，AB = AB，AC = AC，
1 1 1 1 1 1
∴△AB C ∽△ABC，
1 1 1
∴S = S = ，
A1B1C1 ABC
△ △
同理：S = S = ，
A2B2C2 A1B1C1
△ △∴S = ，
AnBnCn
△
∴正 AB C 的面积是： ．
8 8 8
△
12．小明同学在社团活动中给发明的机器人设置程序：（a，n）．机器人执行步骤是：向
正前方走am后向左转n°，再依次执行相同程序，直至回到原点．现输入a=4，n=60，那么
机器人回到原点共走了 m．
【答案】24m
【详解】机器人转了一周共360度，360°÷60°=6，共转了6次，机器人走了4×6=24米．故
答案为24．
13．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边
数为 ．
【答案】8
【详解】设该凸多边形的边数为n (n为正整数且n>2). 将该多边形的内角按角度从小到大
排列后，第n个内角的角度为 .
按从小到大以及从大到小的顺序分别写出该多边形的各个内角的角度：
；
.
可以发现，上下两行对应角度之和均等于 ，像这样的和共有n个.
因此，该凸多边形的内角和为 .
根据凸多边形的内角和公式，该凸多边形的内角和为 .
根据上述结论，可以列出关于n的方程：
，
解之，得 n=9，n=8.
1 2
①当n=9时，该凸多边形最大的内角的角度为 ，不符合题意.
②当n=8时，该凸多边形最大的内角的角度为 ，符合题意.
故本题应填写：8.
点睛：
本题考查了凸多边形内角和的相关知识. 本题的难点在于如何获得该多边形内角角度的表达式以及由这些表达式得到的内角和的表达式. 本题的一个易错点在于忽略对所得最终结
果合理性的检验. 另外，运用将两列排列顺序相互颠倒的内角角度相加的方式求解内角和
的表达式，是数学中的重要方法.
14．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一
点G，BD=2DC，S =3，S =4，则△ABC的面积是 ．
GEC GDC
△ △
【答案】30
【分析】由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S ABD=2S ACD，而
S ABC=S ABD+S ACD，可得出S ABC=3S ACD，而E是△ AC中点△，故有S AGE=S CGE，
于△ 是可求△S ACD△，从而易求S AB△C． △ △ △
【详解】解△：∵BD=2DC，∴△S ABD=2S ACD，∴S ABC=3S ACD．
∵E是AC的中点，∴S AGE=△S CGE．△ △ △
又∵S GEC=3，S GDC△=4，∴△S ACD=S AGE+S CGE+S CGD=3+3+4=10，
∴S A△BC=3S AC△D=3×10=30．△ △ △ △
故答△ 案为30△．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三
角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．
15．已知 中， 边上的高所在的直线交于H，则 度．
【答案】 或 ．
【分析】分两种情况考虑：① 是锐角三角形时，先根据高线的定义求出 ，
，然后根据直角三角形两锐角互余求出 的度数，再根据三角形的一个外
角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；② 是钝角三角形时，根
据直角三角形两锐角互余求出 即可．
【详解】解：①如图1， 是锐角三角形时，、 是 的高线，
， ，
在 中， ，
，
；
② 是钝角三角形时， 、 是 的高线，
， ，
，
，
综上所述， 的度数是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分 是
锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．
16．如图，在 中， ， ，若 的面积为4，则四边形 的
面积为 ．【答案】14
【分析】根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AF，
∵ ， 的面积为4，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了根据三角形的中线求面积，解决本题的关键是掌握等底等高的三
角形面积相等．
17．AD是△ABC的边BC上的中线，AB=6，AC=4，则边BC的取值范围是 ，中
线AD的取值范围是 ．
【答案】 2＜BC＜10； 1＜AD＜5【详解】∵在△ABC中，AB=6，AC=4，
∴6﹣4＜BC＜6+4，
∴2＜BC＜10；
延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图所示：
∵AD为中线，
∴BD=DC，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB=6，BE=4，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案是：2＜BC＜10，1＜AD＜5．
18．如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ 的两条直角边XY、XZ
改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中，∠A＝52°，则∠ABX＋∠ACX=
．
【答案】38°
【详解】 ∠A＝52°，
∠ABC+∠ACB=128°，
∠XBC+∠XCB=90°，
∠ABX＋∠ACX=128°-90°=38°.
评卷人 得分
三、解答题
19．已知a、b、c满足(a﹣3)2 |c﹣5|=0．
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能
构成三角形，请说明理由．
【答案】（1）a=3，b=4，c=5；（2）能构成三角形，且它的周长=12．
【分析】（1）根据平方、算术平方根及绝对值的非负性即可得到答案；
（2）根据三角形三边关系可判断构成三角形，三边相加求周长.
【详解】（1）∵ ，
又∵(a﹣3)2≥0， ，|c﹣5|≥0
∴a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0，
∴a=3，b=4，c=5；
（2）能构成三角形，
∵3＜4＜5,3+4＞5
根据三角形三边关系能构成三角形，
其周长为3+4+5=12．
【点睛】此题考查平方、算术平方根及绝对值的非负性，三角形形，三边关系，线段和差.
20．如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．【答案】（1）47°；（2）43°
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出 ，由平分线
的定义可得出 、 ，再结合三角形内角和定理即可得出
，代入 度数即可得出结论；
（2）由邻补角互补结合角平分线可得出 ，根据三角形外角性质结合
（1）中 即可得出 ，再根据三角形内角和定理即
可得出 ，代入 度数即可得出结论．
【详解】解：（1） ， ，
，
，
， ，
．
平分 交 于 ， 平分 交 于 ，
， ．
， ，
，
．
（2） ， 平分 交直线 于 ，
，
， ，
．【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补
角，解题的关键是：（1）根据三角形内角和定理找出 ；（2）根据三角形内
角和定理找出 ．本题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定
义稍显繁琐．
21．材料1：反射定律
当入射光线AO照射到平面镜上时，将遵循平面镜反射定律，即反射角（∠BOM）的大小
等于入射角（∠AOM）的大小，显然，这两个角的余角也相等，其中法线（OM）与平面
镜垂直，并且满足入射光线、反射光线（OB）与法线在同一个平面．
材料2：平行逃逸角
对于某定角∠AOB=α（0°＜α＜90°），点P为边OB上一点，从点P发出一光线PQ（射
线），其角度为∠BPQ=β（0°＜β＜90°），当光线PQ接触到边OA和OB时会遵循反射定
律发生反射，当光线PQ经过n次反射后与边OA或OB平行时，称角为定角α的n阶平行
逃逸角，特别地，当光线PQ直接与OA平行时，称角β为定角α的零阶平行逃逸角．
（1）已知∠AOB=α=20°，
①如图1，若PQ∥OA，则∠BPQ= °，即该角为α的零阶平行逃逸角；
②如图2，经过一次反射后的光线PQ∥OB，此时的∠BPP 为α的平行逃逸角，求∠BPP
1 1 1
的大小；
③若经过两次反射后的光线与OA平行，请补全图形，并直接写出α的二阶平行逃逸角为
°；
（2）根据（1）的结论，归纳猜想对于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n为自然数）阶平
行逃逸角β= （用含n和a的代数式表示）．
【答案】（1）①20；②∠BPP=40°③60；（2）（n+1）α．
1
【分析】（1）①两直线平行，同位角相等；②由“反射定律”可得∠APQ=∠PP1O，再
1
由PQ∥OB可得∠APQ=∠PPO=∠AOB=20°；③先作PQ∥AO，再根据“反射定律”先
1 1 1
画出PP，再画出PP；
2 1 1（2）分别从零阶、一阶、二阶逃逸角与∠α的关系中归纳一般关系.
【详解】解：（1）①如图①中，∵PQ∥OA，
∴∠BPQ=∠AOB=20°，
故答案为20．
②如图2中，
∵PQ∥OB，
1
∴∠APQ=∠PPO=∠AOB=20°，
1 1
∴∠BPP=∠AOB+∠PPO=40°．
1 1
③如图3中，如图所示，α的二阶平行逃逸角为，20°×3=60°，
故答案为：60；
（2）由（1）可知：α的零阶平行逃逸角为α，α的1阶平行逃逸角为2α，α的二阶平行逃
逸角为3α，
…，
由此可以推出，α的n阶平行逃逸角为（n+1）α，
故答案为（n+1）α．
【点睛】题目主要考查角度的计算，平行线的性质，三角形外角的性质等，理解题目中的
新定义是解题关键．
22．【阅读材料】：
（1）在 中，若 ，由“三角形内角和为180°”得
．
（2）在 中，若 ，由“三角形内角和为180°”得
．【解决问题】：
如图①，在平面直角坐标系中，点C是x轴负半轴上的一个动点．已知 轴，交y轴
于点E，连接CE，CF是∠ECO的角平分线，交AB于点F，交y轴于点D．过E点作EM
平分∠CEB，交CF于点M．
（1）试判断EM与CF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，过E点作PE⊥CE，交CF于点P．求证：∠EPC=∠EDP；
（3）在（2）的基础上，作EN平分∠AEP，交OC于点N，如图③．请问随着C点的运动，
∠NEM的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．
【答案】（1）EM⊥CF，理由见解析；（2）证明见解析；（3）不变，且∠NEM=45°，理
由见解析．
【分析】（1）EM⊥CF，分别利用角平分线的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理
进行求证即可；
（2）根据垂直定义和三角形的内角和定理证得∠DCO+∠CDO=90°，∠ECP+∠EPC=90°，
再利用等角的余角相等和对顶角相等即可证得结论；
（3）不变，且∠NEM=45°，先利用平行线的性质得到∠AEC=∠ECO=2∠ECP，进而有
∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP，再由角平分线的定义∠NEP=∠AEN=45°+∠ECP，
再根据同角的余角相等得到∠ECP=∠MEP，然后等量代换证得∠NEM=45°，是定值．
【详解】解：(1)EM⊥CF，理由如下：
∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，
∴∠ECF=∠FCO= ，∠FEM=∠CEM=
∵AB∥x轴
∴∠ECO+∠CEF=180°
∴∠EMC=180°-（∠CEM+∠ECF）=180°-90°=90°
∴EM⊥CF
（2）由题得，∠EOC=90°
∴∠DCO+∠CDO=180°-∠EOC=180°-90°=90°
∵PE⊥CE
∴∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=180°-∠CEP=180°-90°=90°
∵∠DCO=∠ECP
∴∠CDO=∠EPC
又∵∠CDO=∠EDP
∴∠EPC=∠EDP
(3)不变，且∠NEM=45°，理由如下：
∵AB∥x轴
∴∠AEC=∠ECO=2∠ECP
∴∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP
∵EN平分∠AEP
∴∠NEP=∠AEN= = =45°+∠ECP
∵∠CEP=90°
∴∠ECP+∠EPC=90°
又∵∠EMC=90°
∴∠MEP+∠EPC=90°
∴∠ECP=∠MEP
∴∠NEP=∠NEM+∠MEP=∠NEM+∠ECP
又∵∠NEP=45°+∠ECP
∴∠NEM=45°．
【点睛】本题是一道综合探究题，涉及有平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角
和定理、同（等）角的余角相等、对顶角相等、垂线性质等知识，解答的关键是认真审题，
结合图形，寻找相关联信息，确定解题思路，进而探究、推理、论证．
23．已知 ，点 在直线 、 之间，连接 、 ．(1)探究发现：探究 ， ， 之间的关系．
如图1，过 作 ，
（ ）
（已知）
（ ）
；
(2)解决问题：
①如图2，延长 至点 ，作 的角平分线和 的角平分线的反向延长线交于
点 ，试判断 与 的数量关系并说明理由；
②如图3，若 ，分别作 ， ， 、 分别平分 ，
，则 的度数为 （直接写出结果）．
【答案】(1)两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两直线平行， ，
(2)① ，理由见解析；②
【分析】（1）过 作 ，根据两直线平行，内错角相等，可得 ，再由平
行于同一条直线的两直线平行推出 ，则 ，进而得出结论；
（2）①过点 作 ，根据平行线的性质可得 ，由平行于同一条直线的两直
线平行推出 ，则 ，再根据角平分线的性质和邻补角的性质可得
，再根据（1）中的数量关系可得 ，进
而得出结论；
②作 ，根据平行线的性质可得 ，
，延长 交 延长线于点 ，延长 ，设 ，
，先推出 ，则 ，由角平分线的性
质及平行线的性质可得 ，再由三角形外角的性质求得
，即可求得 ．
【详解】（1）解：如图1，过 作 ，（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（平行于同一条直线的两直线平行）
，
；
故答案为：两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两直线平行， ，
；
（2）解：①过点 作 ，
，
，
，
，
，
的角平分线和 的角平分线的反向延长线交于点 ，
， ，
，
由（1）可得 ，
，
，
；
②如图，作 ，延长 交 延长线于点 ，延长 ，，
，
，
，
，
同理可得， ，
设 ， ，
， ， ，
， ，
由（1）知 ， ，
，
，
、 分别平分 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练
掌握知识点，正确构造辅助线是解题的关键．
24．如图1，在 中， 平分 平分(1)若 ．
①求 的度数；
②如图2，过点P作直线 ，交边 于点D、E，则 _______°；
(2)若 ，小明将（1）中的直线 绕点P旋转，分别交线段 于点D，E，
如图3，试问在旋转过程中 的度数是否会发生改变？若不变，求出
的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由．
【答案】(1)① ；②70
(2)不变，
【分析】（1）①根据三角形的内角和定理得到
，根据角平分线的定义得到 ，
，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
②根据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义得到
，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形外角的性质和三角形的内角和定理即可得到结论；
【详解】（1）①∵ ，
平分 平分
故答案为
②∵ ，
平分 平分
，
，，
．
故答案为∶70；
（2） 的度数不变，
，
故在旋转过程中 的度数不会发生改变．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识点，解
题的关键是熟练掌握基本知识点．
25．将含 角的三角板 （ ）和含 角的三角板 及一把直尺按图方式
摆放在起．使两块三角板的直角顶点 ， 重合．点 ， ， ， 始终落在直尺的
边所在直线上．将含 角的三角板 沿直线 向右平移．
(1)当点 与点 重合，请在备用图中补全图形，并求平移后 与 形成的夹角
的度数；
(2)如图，点 在线段 上移动， 是边 上的动点，满足 被 平分，
的平分线 与边 交于点 ，请证明在移动过程中， 的大小保持不变；
(3)仿照（2）的探究，点 在射线 上移动， 是边 上的动点，满足 被 平
分， 的平分线 所在直线与直线 交于点 ，请写出一个与平移过程有关的合
理猜想．（不用证明）【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
(3)在移动过程中， 的大小保持不变；
【分析】（1）根据题意补全图形，根据平行线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质设 ，根据角平分线的定义可得
，根据三角形的外角的性质得出 ，进而
根据三角形内角和定理以及角平分线的定义可得 ，进而根据
，即可求解；
（3）仿照（2）的方法即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∵
∴ ，
（2）证明：∵
∴ ，设
∵ 被 平分
∴ ，则 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ 平分
∴
∴ ，即 的大小保持不变；
（3）解：在移动过程中， 的大小保持不变；
如图所示，证明：∵
∴ ，设
∵ 被 平分
∴ ，则 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ 平分
∴
∴ ，
∴ ，即 的大小保持不变；
【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分
线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
26．如图甲，射线 与长方形 的边 交于点 ，与边 交于点 ，①②③④分
别是被射线 隔开的4个区域（不含边界，其中区域②③位于直线 上方）， 是位于
以上四个区域上的点．
（1）如图乙，当 在区域①，猜想图中 的关系并证明你的结论．
（2）猜想当 分别在区域②③④， 的关系，请直接写出答案，不要
求证明．
【答案】（1）∠EPF=∠PEB+∠PFC，证明见解析；（2）见解析
【分析】根据题意画出图形，再根据平行线的性质及三角形内角和和外角定理即可得出结
论．【详解】解：（1）∠EPF=∠PEB+∠PFC，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC；
（2）当点P在区域②时，如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHB．
∵∠PHB是△PEH的外角，
∴∠PHB=∠EPF+∠PEB，即∠PFC=∠EPF+∠PEB．
当点P在区域③时，如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHB，
∵∠PEH+∠PEB=180°，
∴∠PEH=180°-∠PEB，
∵∠EPF+∠PEH+∠PHB=180°，即∠EPF+（180°-∠PEB）+∠PFC=180°，
∴∠PEB=∠EPF+∠PFC；
当点P在区域④时，如图所示，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-
（∠PEB+∠PFC）；
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意
画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
