文档内容
重难点突破 01 数列的综合应用
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用................................................................................3
题型二：数列不动点与递推问题........................................................................................................5
题型三：数列与函数、不等式的综合问题........................................................................................6
题型四：数列在实际问题中的应用....................................................................................................6
题型五：数列不等式的证明................................................................................................................7
题型六：公共项问题............................................................................................................................9
题型七：插项问题..............................................................................................................................10
题型八：蛛网图问题..........................................................................................................................11
题型九：整数的存在性问题（不定方程）......................................................................................13
题型十：数列与函数的交汇问题......................................................................................................14
题型十一：数列与导数的交汇问题..................................................................................................15
题型十二：数列与概率的交汇问题..................................................................................................17
题型十三：数列与几何的交汇问题..................................................................................................18
03过关测试.........................................................................................................................................201、解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2、新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n项和公式、求和方
法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊
性．
4、数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、
分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立 ；
恒成立 .
5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列
的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就
是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第
项 与第 项 的递推关系还是前 项和 与前 项和 之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；
二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增
加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这
种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式
的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是： ； .
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
【典例1-1】（2024·重庆九龙坡·三模）正整数 的倒数的和 已经被研究了几百年，
但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当 很大时，
.其中 称为欧拉-马歇罗尼常数， ，至今为止都不确定 是
有理数还是无理数.设 表示不超过 的最大整数，用上式计算 的值为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【典例1-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法
统宗》，由明代数学家程大位所著．该书在万历二十一年（即公元1593年）首次刊行，全书共有17卷．
其主要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知
识．同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明．此外，《算法统
宗》还包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容．其中有一首诗，讲述了“竹筒容
米”问题．诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两
节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米
容积依次相差同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升?（ ）A．8.8升 B．9升 C．9.1升 D．9.2升
【变式1-1】（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形
垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 个小球，第二层有
个小球，第三层有 个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有 层，由
“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长
方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､
信息通信等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型
升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万
元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都
比前一年增加 （假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，
则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据： ，结果精确到
0.1）
A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元
题型二：数列不动点与递推问题
【典例2-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 的前n项
和为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．对任意 ， 不可能为常数数列B．当 时， 为递减数列
C．若 ，则
D．若 ，则
【典例2-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．当 时， B．若数列 为常数列，则
C．若数列 为递增数列，则 D．当 时，
【变式2-1】已知数列 满足 ， .给出下列四个结论：
①数列 每一项 都满足 ；
②数列 是递减数列；
③数列 的前 项和 ；
④数列 每一项都满足 成立.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②④
【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）设数列 满足 ，其中c为实数，数列
的前n项和是 ，下列说法不正确的是（ ）
A．c [0,1]是 的充分必要条件 B．当c>1时， 一定是递减数列
∈
C．当c<0时，不存在c使 是周期数列D．当 时，
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
【典例3-1】（2024·江苏苏州·三模）已知函数 .
①当 时， ，记 前 项积为 ，若 恒成立，整数 的最小值是 ;
②对所有n都有 成立，则 的最小值是 .【典例3-2】欧拉函数 的函数值等于所有不超过 且与 互质的正整数的个数（公约数只有1
的两个整数称为互质整数），例如： ， ．记 ，数列 的前 项和为 ，若
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【变式3-1】（2024·河北保定·二模）已知数列 的前 项积为 ，若 ，则满足
的正整数 的最小值为 .
【变式3-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .若
，则 的最小值为 .
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ， ，若存在非零常数 ，使
得 对任意的正整数 均成立，则 ， 的最小值为 .
题型四：数列在实际问题中的应用
【典例4-1】（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直
径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），
且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于 米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .
【典例4-2】（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称
为天心石)， 环绕天心石砌 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环比上一层
的最后一环多 块，向外每环依次也增加 块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)
块，则上层有扇形石板 块．
【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一
共开了1890盏，则底层所开灯的数量为 盏.
【变式4-2】（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有
着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一
共有 个节点.（填写具体数字）【变式4-3】（2024·湖北·一模）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳
了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形 ，并
把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成
雪花曲线 ．重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线 ， ， ， ，
．
设雪花曲线 周长为 ，面积为 ．若 的边长为3，则 ； ．
题型五：数列不等式的证明
【典例5-1】（2024·高三·河北衡水·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： ．
【典例5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）在数列 的第 项与第 项之间插入 个1，称为变换 ．
数列 通过变换 所得数列记为 ，数列 通过变换 所得数列记为 ，以此类推，
数列 通过变换 所得数列记为 （其中 ）．
(1)已知等比数列 的首项为1，项数为 ，其前 项和为 ，若 ，求数列 的项
数；
(2)若数列 的项数为3， 的项数记为 ．
①当 时，试用 表示 ；
②求证： ．【变式5-1】（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列 中， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，证明： .
【变式5-2】已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明：
【变式5-3】已知数列 是等差数列， ， ，数列 的前n项和为 ，且
，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若集合 中恰有四个元素，求实数 的取值范围；
(3)设数列 满足 ， 的前n项和为 ，证明： ．题型六：公共项问题
【典例6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 的前n项积为 ，数列 满足 ，
（ ， ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 中的公共项从小到大排列构成新数列 ，求数列 的通项公式．
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）设 为等差数列 的前n项和，且 ，数列 满足
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若将数列 和 的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 ，求数列 的前n项和 ．
【变式6-1】（2024·四川南充·一模）已知等差数列 的前n项和为 ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)将数列 与 的公共项从大到小排列得到数列 ，求数列 的前n项和为 .
【变式6-2】已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，且 ，若
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设由 ， 的公共项构成的新数列记为 ，求数列 的前5项之和 ．【变式6-3】已知 ，设 与 的公共项数列为 ，给出至少两种求 的方法，要求讲清思
路，并求出 ．
题型七：插项问题
【典例7-1】已知数列 是等差数列，其前 和为 ， ， ，数列 满足
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若对数列 ， ，在 与 之间插入 个2（ ），组成一个新数列 ，求数列 的前
83项的和 .
【典例7-2】（2024·广东广州·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 为等差
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，记数列 的前
项和为 ，求证： ．
【变式7-1】（2024·河北沧州·一模）在数列 中，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中的 和 之间插入1个数 ，使 成等差数列；在 和 之间插入2个数 ，使 成等差数列；…；在 和 之间插入 个数 ，使 成等差
数列，这样可以得到新数列 ，设数列 的前 项和为 ，求
（用数字作答）．
【变式7-2】（2024·广西·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，对任意正整数n，有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数m，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求 的
前91项和．
题型八：蛛网图问题
【典例8-1】已知数列 若 （ 且 ），若 对任意 恒成
立，则实数t的取值范围是 .
【典例8-2】已知数列 满足： ， ，前 项和为 ，则下列选项错误的
是 （参考数据： ，
A． 是单调递增数列， 是单调递减数列
B．
C．
D．
【变式8-1】（2024•浙江模拟）数列 满足 ， ， ， 表示数列 前 项
和，则下列选项中错误的是A．若 ，则
B．若 ，则 递减
C．若 ，则
D．若 ，则
【变式 8-2】已知数列 满足： ， ，前 项和为 （参考数据：
， ，则下列选项中错误的是
A． 是单调递增数列， 是单调递减数列
B．
C．
D．
【变式8-3】（多选题）已知数列 满足 ， ，记数列 的前n项和为 ，
对 恒成立，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则数列 为递减数列
B．若 ，则数列 为递增数列
C．若a＝3，则 的可能取值为
D．若a＝3，则题型九：整数的存在性问题（不定方程）
【典例9-1】已知等比数列 的前 项和为 ，公比 .
(1)求 ；
(2)若在 与 之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构
成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
【典例9-2】已知等比数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项
， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明
理由．
【变式9-1】（2024·天津南开·二模）已知 是等差数列，公差 ， ，且 是 与 的等比
中项.
(1)求 的通项公式
(2)数列 满足 ，且 .
（ⅰ）求 的前n项和 .
（ⅱ）是否存在正整数m，n（ ），使得 ， ， 成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不
存在，请说明理由.
【变式9-2】（2024·黑龙江·二模）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，其中 .(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在不同
三项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明
理由.
【变式9-3】（2024·天津北辰·三模）已知 为等差数列，前 项和为 ，若 ， ；数
列 满足： ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)对任意的 ，将 中落入区间 内项的个数记为 .
（i）求 ；
（ii）记 ， 的前 项和记为 ，是否存在 ， ，使得 成立？若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
题型十：数列与函数的交汇问题
【典例10-1】已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ， ，数列 是等差
数列，若 ， ，则
A． B． C．2 D．3
【典例10-2】已知数列 的通项公式 ，则
A．150 B．162 C．180 D．210【 变 式 10-1 】 设 等 差 数 列 的 前 项 和 为 ， 已 知 ，
，则下列结论中正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
题型十一：数列与导数的交汇问题
【典例11-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，数列 满足 ，且
①比较 ， ，1的大小
②证明： .
【典例11-2】（2024·黑龙江·二模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体
积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相
应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1
个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第 层球数是第n层球数与 的和，设各层球数构成一
个数列 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)证明：当 时，
(3)若数列 满足 ，对于 ，证明： ．
【变式11-1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数 ．
(1)判断并证明 的零点个数
(2)记 在 上的零点为 ，求证;
（i） 是一个递减数列
（ii） ．
【变式11-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，首项 .
(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若函数 ，正项数列 满足： .
（i）证明： ；
（ii）证明： .【变式11-3】（2024·高三·江西萍乡·期中）已知函数 .
(1)证明：当 时， 恒成立；
(2)首项为 的数列 满足：当 时，有 ，证明： .
题型十二：数列与概率的交汇问题
【典例12-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球
和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行 次操作后，记甲盒子中
黑球个数为 ，甲盒中恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 ．
(1)求随机变量 的分布列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求证： ．
【典例12-2】掷一枚质地均匀的骰子，得分规则如下：若出现的点数为1，则得1分；若出现的点数为2
或3，则得2分；若出现的点数为4或5或6，则得3分．
(1)记 为连续掷这枚骰子2次的总得分，求 的数学期望；
(2)现在将得分规则变更如下：若出现的点数为1或2，则得2分，其他情况都得1分．反复掷这枚骰子，
设总得分为 的概率为 ，证明：数列 为等比数列．
【变式12-1】4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以
纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语
言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为 ，答
错的概率为 ．
(1)甲留学生随机抽取 题，记总得分为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取 道题，记总得分恰为 分的概率为 ，求数列 的前 项和；
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为 分的概率为 ，求数列 的通项公式．
【变式12-2】（2024·全国·模拟预测）甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中
的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1
张，去与对方交换，重复 次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片 张，恰有2张银色纪念卡片的概率为
，恰有1张银色纪念卡片的概率为 ．
(1)求 的值．
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率 ．
(3)记 ．
（i）证明数列 为等比数列，并求出 的通项公式．
（ii）求 的分布列及数学期望．（用 表示）
题型十三：数列与几何的交汇问题
【典例13-1】（2024·浙江绍兴·三模）已知四面体 ，分别在棱 ， ， 上取
等分点，形成点列 ， ， ，过 ， ， 作四面体的截面，
记该截面的面积为 ，则（ ）A．数列 为等差数列 B．数列 为等比数列
C．数列 为等差数列 D．数列 为等比数列
【典例13-2】（2024·福建福州·三模）数列 中， ，点 在双曲线 上.若
恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】（2024·四川成都·一模）公差为 的等差数列 的首项为 ，其前 项和为 ，若直线
与圆 的两个交点关于直线 对称，则数列 的前100项和等于（ ）
A． B． C． D．1
【变式13-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知三棱锥 ，P是面 内任意一点，数列 共9
项， 且满足 ，满足上述条件的
数列共有 个.
【变式13-3】（2024·高三·北京·期中）已知直线 与 相交于点 ，直线 与
轴交于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴
的工线交直线 于点 ，…，这样一直作下去，可得到一系列点 ， ， ， ，…，记点 的
横坐标构成数列 ，给出下列四个结论：
①点 ； ②数列 单调递减；
③ ； ④数列 的前 项和 满足： .
其中所有正确结论的序号是 .1．（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，
有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着 个不同大小的圆盘，要
把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，
请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为 ，例如： ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． 为等差数列
C． 为等比数列 D．
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可
追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．
其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创
作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承
和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩
如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠
久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每
次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）（2024·全国·模拟预测）数列 满足 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 且 ，数列 单调递减
B．若存在无数个自然数 ，使得 ，则
C．当 或 时， 的最小值不存在
D．当 时，4．（多选题）已知正项数列 满足 ，则（ ）
A． 为递增数列
B．
C．若 ，则存在大于1的正整数 ，使得
D．已知 ，则存在 ，使得
5．（多选题）已知数列 满足： ，其中 ，数列 的前 项和是 ，下
列说法正确的是（ ）
A．当 时，数列 是递增数列
B．当 时，若数列 是递增数列，则
C．当 时，
D．当 时，
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列 中， ，且 ，若存在正
整数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 .
7．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，
且 ，则满足 的正整数 的最小值为 .
8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需
求量 （万件）近似地满足关系式 ，按此预测，在本年度内，需求量超
过1.5万件的月份是 .
9．已知平面 内有四点 ，且任意三点不共线，点 为平面 外一点，数列 为等差数列，
其前 项和为 ，若 ，则 .
10．已知数列 满足 （ ）， 在双曲线 上，则 .
11．已知数列 是首项为 ，公差为 d 的等差数列，其前 n 项和为 ，若直线 与圆的两个交点关于直线 对称，则数列 的前100项和为 ．
12．（2024·云南昆明·模拟预测）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积
的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应
立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，
第二层有3个球，第三层有6个球……第 层球数比第 层球数多 ，设各层球数构成一个数列 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的最小值；
(3)若数列 满足 ，对于 ，证明： .
13．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，证明： ．
14．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 由 与 的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列 落在区间 内的项的
个数．15．（2024·吉林通化·一模）记 为公比不为1的等比数列 的前 项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，若由 与 的公共项从小到大组成数列 ，求数列 的前 项和 ．
16．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列 的前 项和 ，对任意正整数 ，有 ，
且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数 ，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求 的
前91项和.
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的 和 项之间插入 个数，使得这 个数成等差数列，其中 ，将所有插入
的数组成新数列 ，设 为数列 的前 项和，求 ．
18．（2024·全国·模拟预测）已知数列 为等差数列， ，前n项和为 ，数列 满足
，
(1)数列 中是否存在不同的三项构成等比数列？请说明理由．
(2)若 ，求满足条件的最大整数n．19．已知数列 的前项和为 ，且满足：
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在三项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
20．设数列 的首项 为常数 ，且 ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)若 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．
(3)若 是递增数列，求 的取值范围．
21．（2024·重庆渝中·模拟预测）（1）证明：当 时， ；
（2）已知正项数列 满足 .
（i）证明：数列 为递增数列；
（ii）证明：若 ，则对任意正整数 ，都有 .
22．（2024·江苏南通·三模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的最小值；(2)设数列 前 项和 ，若 ，求证： ．
23．设函数 ， .
(1) 当 时，证明： ；
②当① 时，求 的值域；
(2)若数列 满足 ， ， ，证明：
（ ）.
24．（2024·浙江杭州·模拟预测）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷 次不连续出现三次正面向上的
概率为 .
(1)求 ， ， 和 ；
(2)写出 的递推公式；
(3)单调有界原理：①若数列 单调递增，且存在常数 ，恒有 成立，那么这个数列必定有极限，
即 存在；②若数列 单调递减，且存在常数 ，恒有 成立，那么这个数列必定有极限，即
存在.请根据单调有界原理判断 是否存在？有何统计意义？
25．（2024·广东广州·模拟预测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决
定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继
续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；
当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，
球在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；(2)投掷 次骰子后，记球在乙手中的概率为 ，求数列 的通项公式；
(3)设 ，求证： .
