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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 01 柯西不等式与权方和不等式（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3. 扩 展 ： ， 当 且 仅 当
时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对 ，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立.
权方和不等式：
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证时，等号成立
当且仅当
，当且仅当 时，等号成立.
即
证明2：对柯西不等式变形，易得 在 时，就有了
当 时，等号成立．
推广1： 当 时，等号成立．
推广:2：若 ，则 ，当 时，等号成立.
推广3：若 ，则 ，当 时，等
号成立.
二、题型精讲精练
【典例1】实数x、y满足 ，则x+y的最大值是________.
解： ，则
所以 ，当且仅当 时等号成立.
答案：
【典例2】设 ，且 .
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 .
【分析】(1)根据条件 ，和柯西不等式得到 ，再讨论 是
否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的 代入原不等式，便可得到
参数 的取值范围.
【详解】(1)故 等号成立当且仅当 而又因 ，解得
时等号成立，所以 的最小值为 .
(2)因为 ，所以 .
根 据 柯 西 不 等 式 等 号 成 立 条 件 ， 当 ， 即 时 有
成立.
所以 成立，所以有 或 .
【典例3】已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
【详解】因为 ，所以
由权方和不等式 可得
当且仅当 ，即 时，等号成立．【答案】C
【题型训练-刷模拟】
1 . 柯西不等式
一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问
题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不
等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 和 ，有
等号成立当且仅当 已知 ，请你用
柯西不等式，求出 的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知空间向量 ，
，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题
3．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一
个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 ，
，由 得到 ，当且仅当 时取等号.现已知
， ， ，则 的最大值为 .
4．（22-23高二下·浙江·阶段练习）已知 ， ，则 的
最小值为 .
5．（22-23高一·全国·课堂例题）若不等式 对任意正实数x，y都成立，则实数k的最
小值为 .
6．（22-23高三上·河北衡水·期末）若⊙C： ，⊙D： ，M，N分
别为⊙C，⊙D上一动点， 最小值为4，则 取值范围为 ．
7．已知正实数 ， ， ， 满足 ，则 的最小值是
．
三、解答题
8．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足 .
(1)求 的最大值；
(2)求证： .
9．（2024·四川·模拟预测）已知 均为正实数，且满足 ．(1)求 的最小值；
(2)求证： .
10．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)若a，b， ，求证： ．
2 . 权方和不等式
一、填空题
1．已知 ， 且满足 ，则 的最小值为________．
2．已知x＞0，y＞0，且 则 的最小值是 ．
3．已知a＞0，b＞0，且 ，则 的最小值是 ．
4．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时
有很广泛的应用，其表述如下：设 ，则 ，当且仅当 时等号成立.根据权
方和不等式，函数 的最小值 ．
5．（2023高三·全国·专题练习）已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值
为
6．（2023高三·全国·专题练习）已知 ，求 的最小值为
7．（2023高三·全国·专题练习）已知 为锐角，则 的最小值为 .
8．（2023高三·全国·专题练习）已知正实数 、 且满足 ，求 的最小值 .
9．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的最小值是 ．
10．（2023高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足 ，且 ， 的最小值为 .
11．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的最小值是 ．
12．（2023高三·全国·专题练习）已知正数 满足 ，则 的最小值为
