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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 01 练 集合（精练）
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列
举法或描述法描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的
含义.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用
Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可得 的值，然后计算 即可.
【详解】
由题意可得 ，则 .
故选：A.
2．（2023·全国·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．
故选：C．
3．（2023·全国·高考真题）设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
4．（2023·全国·高考真题）设全集 ,集合 ，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集 ， ，所以，
．
故选：A．
5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】
根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】
依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
6．（2022·全国·高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误故选:
7．（2022·全国·高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D
8．（2022·全国·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合 后可求 .
【详解】[方法一]：直接法
因为 ，故 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合 ，可得 ，不满足，排除A、D；
代入集合 ，可得 ，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
【A级 基础巩固练】
一、单选题1．（2024·北京丰台·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
2．（2024·北京顺义·二模）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出全集，然后根据补集运算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：D
3．（2024·山东·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合 ，再利用交集运算求解.
【详解】由 可得 ，
所以 .故选：B
4．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合 ，则集合
的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】计算出集合 的元素后可得其子集的个数.
【详解】 ，故其子集的个数为8，
故选：D.
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合 ，再根据交集的定义即可得解.
【详解】 ，
所以 .
故选：D.
6．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合 ， ，则 中元素的最
大值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】C
【分析】根据B中元素的特征，只需满足 即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：C7．（2024·四川成都·三模）设全集 ，若集合 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【详解】全集 ，由 ，知 ，则 ，A错误，B正确；
不能判断 ，也不能判断 ，CD错误.
故选：B
8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合 ， ， ，则集合
的子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【答案】C
【分析】首先用列举法表示出集合 、 ，即可求出集合 ，再求出其子集个数.
【详解】因为 ，又 ，
所以 ，所以 ，则集合 的子集共有 个．
故选：C
9．（2024·全国·模拟预测）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简集合 ,根据集合的运算的定义求 .
【详解】由题意，得
因为 ，即 ，解得 或
则 ，所以 .故选:D.
10．（2024·四川泸州·三模）已知集合 ， ，若 中有且仅有一个元素，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解法求得 ，结合 中有且仅有一个元素，即可求解.
【详解】由不等式 ，即 ，解得 ，即 ，
因为 ，要使得 中有且仅有一个元素，则 或 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：B.
11．（2024·北京东城·一模）如图所示， 是全集， 是 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得
解.
【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是 .
故选：D.
二、多选题12．（2024·甘肃定西·一模）设集合 ，则（ ）
A．
B． 的元素个数为16
C．
D． 的子集个数为64
【答案】BCD
【分析】解二次不等式化简集合 ，进而求得集合 ，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合
子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于ABC，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 有 个元素，故A错误，BC正确；
对于D，而 有 个元素，所以 的子集个数为 ，故D正确.
故选：BCD.
13．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）设集合 ， ，若 ，则
的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】解方程，分情况讨论集合与元素的关系.
【详解】因为 ，
所以 或 或 ，
所以 或 或 ，
故选：ABD．
14．（2024·广西·二模）若集合 和 关系的Venn图如图所示，则 可能是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据Venn图可知 ，依次判定选项即可.
【详解】根据Venn图可知 ，
对于A，显然 ，故A正确；
对于B， ，则 ，故B错误；
对于C， ，则 ，故C正确；
对于D， ，或 ，
则 ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
15．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 ，且 ，则 .
【答案】
【分析】根据题意，列出方程，求得 的值，结合集合元素的互异性，即可求解.
【详解】因为 ，所以 或 ，解得 或 ，
当 时， ， ，集合 不满足元素的互异性，所以 舍去；
当 时，经检验，符合题意，所以 ．故答案为： ．
16．（2024高三下·全国·专题练习）集合 的真子集的个数是 .
【答案】31
【分析】利用列举法解出该集合，结合真子集的定义即可求解.
【详解】 共5个元素，
则真子集的个数是 .
故答案为：31
17．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设 ， ，若 ，则实数 的值
为 .
【答案】 或
【分析】依题意可得 ，分 和 两种情况讨论.
【详解】因为 ，
又 ，所以 ，
当 时 ，符合题意；
当 ，则 ，解得 ，
综上可得 或 .
故答案为： 或
18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合 ，若 ，则 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由 ，得 ,解得 ，
所以 .
因为 ，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
19．（2024高三·全国·专题练习）设集合 ，且 ， ，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据 且 得到不等式组，解得即可.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
即 ，
因为 且 ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题
20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合 ， ，定义两个
集合P，Q的差运算： ．
(1)当 时，求 与 ；
(2)若“ ”是“ ”的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1) ， ．
(2)
【分析】（1）用集合的新定义求解即可；
（2）由“ ”是“ ”的必要条件得到 ，再利用范围求出即可.
【详解】（1） ，
当 时， ，
所以 ，
．
（2）因为“ ”是“ ”的必要条件，
所以 ，
故 ，
解得 ，
即实数a的取值范围是 ．
21．（2024高三·全国·专题练习）设 是由直线 上所有点构成的集合,即
,在点集 上定义运算“ ”：对任意 则
．
(1)若 是直线 上所有点的集合,计算 的值．
(2)对（1）中的点集 ,能否确定 （其中 ）的值？
(3)对（1）中的点集 ,若 ,请你写出实数 , , 可能的值．
【答案】(1)(2)可以,48
(3) (答案不唯一)
【分析】(1)根据运算“ ”的定义代入运算即可.
(2)由题知点在直线上,代入直线方程,解得 , 的值,再根据运算“ ”的定义代入运算即可.
(3)根据点在直线是上,求得 , , 的值与关系,再根据运算“ ”的定义代入运算,即可求得 的范围,在相关
范围内取值均可.
【详解】（1）由运算“ ”的定义知, .
（2）∵ ,即点 在直线 上,∴ ,得 ．
同理由 ,得 ．
由运算“ ”的定义知, ．
所以可以确定，值为48.
（3）由 ,知 ,即 ,且 ,即 .
由运算“ ”的定义知, ,解得 ．
取 ,知 ,此时 ,即 符合题意．
取 ,知 ,即 也符合题意．
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出集合 ，根据集合交集运算可得结果.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：A．
2．（2024·宁夏银川·一模）设全集 ，则集合
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由交集，补集和解不等式运算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故ABD错误，故C正确；
故选：C
3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合 ，然后根据 ，即可求解.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，故D正确.
故选：D.
4．（23-24高一上·全国·期末）已知 ， ，若集合 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得 ，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 或
当 时，不满足集合元素的互异性，
故 ， ， .
故选：B.
5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集 ， ，
则集合B的元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不确定
【答案】B
【分析】由已知求出全集，再由 可知 中肯定有1，3，5，7， 中肯定没有1，3，5，7，从而可求出 中的元素.
【详解】因为全集 ， ，
所以 中肯定有1，3，5，7， 中肯定没有1，3，5，7， 和 中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，
且除了1，3，5，7， 中有的其他数字， 中也一定会有， 中没有的数字， 中也一定会有，
所以 ，
故选：B
6．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）
的非空子集 ，且满足 ，那么称子集组 构成集合U
的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（ ）
A．7个 B．9个 C．10个 D．14个
【答案】D
【分析】分别计算2划分，3划分和4划分的个数，再相加即可.
【详解】不妨设 ，则：
的2划分有 ， ， ， ， ， ，
；
的3划分有 ， ， ， ， ，
；
的4划分只有 .
综上， 的划分共有 个，D正确.
故选：D.
二、多选题
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意 ，记 ，并称 为集合的对称差．例如：若 ，则 ．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 且 ，则
D．存在 ，使得
【答案】AB
【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可.
【详解】对于A,因为 ⊕ ，所以 ， ，
所以 ，且 中的元素不能出现在 中，因此 ，即A正确；
对于B，因为 ⊕ ，所以 ， ，
即 与 是相同的，所以 ，B正确；
对于C,因为 ⊕ ，所以 ， ，
所以 ，即C错误；
对于D由于
，
而 ，故 ，即D错误．
故选：AB．
三、填空题
8．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合 ， ，且 有4个子集，则实数
的最小值是 .
【答案】 /0.5【分析】根据 的子集个数，得到 元素个数，分 和 讨论，进而得到实数m
的取值范围.
【详解】由 有4个子集，所以 中有2个元素，
所以 ，所以 ，
所以满足 ，或 ，
综上，实数 的取值范围为 ，或 ，
故答案为：
9．（2024·湖南·二模）对于非空集合 ，定义函数 已知集合
，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【分析】根据题意，由函数的定义可得 可取 ，即可得到 的取值范围.
【详解】由题知： 可取 ，
若 .则 ，
即集合 ，得 ，即 的取值范围为 .
故答案为：【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2023·上海普陀·一模）设 、 、 、 、 是均含有 个元素的集合，且 ，
，记 ，则 中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 、 、 、 是集合 互不相同的元素，分析可知 ，然后对 的取值由小到大
进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设 、 、 、 是集合 互不相同的元素，若 ，则 ，不合乎题意.
①假设集合 中含有 个元素，可设 ，则 ，
，这与 矛盾；
②假设集合 中含有 个元素，可设 ， ，
， ， ，满足题意.
综上所述，集合 中元素个数最少为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大
进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
二、多选题
2．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知
为全集且元素个数有限，对于 的任意一个子集 ，定义集合 的指示函数 若，则（ ）
注： 表示 中所有元素 所对应的函数值 之和（其中 是 定义域的子集）.
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据 的定义 ，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，由于 ,所以
故 ，故A错误，
对于B，若 ,则 ，此时满足 ，
若 且 时， ，
若 且 时， ，
若 且 时， ，
综上可得 ，故B正确，
对于C，而 ，
由于 ，所以
故 ,C正确，
,
当 时，此时 中至少一个为1，所以 ，
当 时，此时 均为0，所以 ，
故 ,故D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：充分利用 的定义 以及 的定义，由此可得
时，此时 均为0， 时，此时 中至少一个为
1，结合 的定义化简求解.
三、填空题
3．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合 ， 则称
为集合 的“元素和”，记为 .若集合 ，集合 的所有非空子集分别为 ， ，…， ，则 .
【答案】
【分析】根据错位相减可得 中的元素和，根据每一个元素在子集中出现的次数为 ，因此
，即可求解．
【详解】由题意知集合 中的元素分别为 ， ， ， ， ，
设 ①，则 ②，
① ②，得 ，所以 ．
由于集合 中每一个元素在子集中出现的次数为 ，所以
．
故答案为： ．
四、解答题
4．（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定
的对应关系 ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一
个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 ： 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A
与B等势，记作 .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 .
例如：对于集合 ， ，存在一一对应关系 ，因此 .
(1)已知集合 ， ，试判断 是否成立?请说明理由；
(2)证明：① ；② .
【答案】(1)成立，理由见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）①取特殊函数满足定义域为 ，值域为 即可利用其证明
②设 ， ，假设 ，利用反证法得证.
【详解】（1）设 ， ，令
则C与D存在一一对应，所以集合 .
（2）①取函数 ，其中 ， ，两个集合之间存在一一对应，故
.
备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为 ，值域为 即可，
如： 或 等等均可，
②设 ， ，
假设 ，即存在对应关系 ： 为一一对应，
对于集合B中的元素 ， ， ，至少存在一个 （ ，且 ）与这三个集合中的某一个
对应，所以集合A中必存在 .
记 ，则 ，故 ，从而存在 ，使得 ；
若 ，则 ，矛盾；
若 ，则 ，矛盾.
因此，不存在A到B的一一对应，所以 .
5．（2024·北京延庆·一模）已知数列 ，记集合 .
(1)若数列 为 ，写出集合 ；
(2)若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明
理由；
(3)若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，求 的最大
值．
【答案】(1)
(2)不存在 ，使得 成立
(3)
【分析】（1）根据题目给出的集合 的定义求解即可；
（2）使用假设法，假设存在 ，使得 ，进行计算检验，从而得出结论；
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，然后证明除 形式以外的数都可以写
成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意可得 ， ， ，
所以 .
（2）假设存在 ，使得 ，则有 ，
由于 与 的奇偶性相同， 与 奇偶性不同，
又 ， ，
所以 中必有大于等于 的奇数因子，这与 无 以外的奇数因子矛盾，
故不存在 ，使得 .
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，
因为 ，
由于 与 均大于 且奇偶性不同，
所以 为奇数，对任意的 都有 ，
其次证明除 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数 ，其中 ，
则当 时，由等差数列的性质可得：
，此时
结论成立，
当 时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列 ，此问题等价于数列 其相应集合 中满足 有多少项，
由前面证明可知正整数 不是 中的项，
所以 的最大值为 .
