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专题 01 柯西不等式与权方和不等式
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题型01 二维形式下的柯西不等式..............................................................1
题型02 三维形式下的柯西不等式..............................................................4
题型03 权方和不等式.......................................................................10
题型 01 二维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
【典例训练】
一、单选题
1．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯
西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量 , ,由 得到
,当且仅当 时取等号.现已知 , , ,则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ,令 代入公式,结合已知条件
, , 即可得到结果.
【详解】因为 ,
令 ,又 , , ,所以 ,
当且仅当 即 时等号成立,
即 ,
故选:D.
2．若实数a，b，c，d满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.
【详解】根据题意，有 ，
而 ，当且仅从 时等号成立.
同理 ，当且仅当 式等号成立，
记题中代数式为M，于是
，
等号当 时取得，因此所求代数式的最小值为2．
故选：B.
3．（2024·浙江·一模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成 的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进
行放缩，得到关于 的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知 整理得
，
由柯西不等式得
，当 时取等号，
所以 ，即 ，
解得 ，所以 的最小值为 .
故选：C．
二、多选题
4．（2024高三上·新疆·期中）已知 ， ，且不等式 恒成立，
则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】将不等式变为 ，利用柯西不等式和基本不等式可求得
的最小值，进而构造不等式求得 的取值范围，从而得到结果.
【详解】由 得： ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
（当且
仅当 时取等号），
即当 时， ，
，解得： ， 可能的取值为 .
故选：BCD.
三、填空题
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设
了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知
识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量 时，有 ，即
，当且仅当 时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数
变换，得到了一个新不等式： ，当且仅当 时等号成立，并取名
为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当 时， 的最小值是 ．【答案】
【分析】根据不等式 构造不等式左侧
求解即可.
【详解】由题意得 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ，则 ，
所以 ，最小值为 ，此时 ．
故答案为： .
题型 02 三维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
柯西不等式的扩展： ，当
且仅当 时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对 ，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
【典例训练】
一、填空题
1．（2024高三下·浙江·阶段练习）若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用柯西不等式 可直接求得结果.
【详解】由柯西不等式得： ，即 ， （当且仅当 时取等号），
的最小值为 .
故答案为： .
2．2024高三下·浙江·阶段练习）已知 ， ，则 的最
小值为 .
【答案】9
【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.
【详解】∵
∴ ,当且仅当 时等号成立，即 ，
∵
，当且仅当 时等号成立，可取
故答案为：9
3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）存在正数 使得不等式 成立，
则 的最大值是 .
【答案】3
【分析】运用柯西不等式计算即可.
【详解】解:由柯西不等式可知
由 能成立 .
故答案为：3.
4．已知 ，且 ，实数 满足 ，且 ，则
的最小值是 ．
【答案】 /0.25
【分析】在平面直角坐标系中，令 ，由此求出 与 的坐标，再用x，y表示出 ，然后借助柯西不等式求解作答.
【详解】在平面直角坐标系中，令 ，设 ，则 ，
，解得 ，则 ，依题意，不妨令 ， ，
而 ，则 ，有
，
当且仅当 ，即 时取“=”，而 ，则 ，当且仅
当 时取“=”，
因此， ，当且仅当 且 ，即 且 时取“=”，
所以当 ， ， 时， 取得最小值 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，
利用代数方法解决.
二、解答题
5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ，
，当且仅当 时，等号成立.我们从不等式 出发，可以得到一个非常优美的不
等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为： ，且 ，
，当且仅当 时，等号成立.
(1)若 ，求 的最小值；
(2)求 的最大值；
(3)若 ， ，不等式 恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)3
(2)9
(3)【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可；
（2）构造应用柯西不等式计算即可；
（3）先化简得出 ，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算 即可
求解；
【详解】（1）因为柯西不等式可得 ，
又因为 ，
所以 ，即得 .
当且仅当 取最小值3；
（2）因为柯西不等式可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即得 ，化简得 ，
当且仅当 取最大值9；
（3）因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为柯西不等式可得 ，
又因为 ， ，所以 ，令 ，
所以 ，
即得 ，当且仅当 取最小值24；
所以m的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点.
6．（23-24高三下·黑龙江佳木斯·期中）在 中， ， ， 对应的边分别为 ， ， ，.
(1)求 ；
(2)若 为 边中点， ，求 的最大值；
(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在数学领
域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西
不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若 ，P是 内
一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式： ， ，
， ，当且仅当 时等号成立.求 的最小
值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出 .
（2）利用余弦定理及基本不等式求出 ，再由 ，将两边平方，根据数量积的运算律
求出 的最大值；
（3）将 构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可
解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理 ，
所以 ，即 ，
若 ，等式不成立，则 ，可得 ，
因为 ，所以 .
（2）由余弦定理 ，即 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，
因为 为 边中点，所以 ，
所以
，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 .
（3） .
又 ，
所以 .
由三维分式型柯西不等式有 .
当且仅当 即 时等号成立.
由余弦定理 得 ，
所以 即 ，则 .
令 ，则
因为 ，解得 ，当且仅当 时等号成立.所以 .则 .
令 ，则 在 上递减，
当 即 时， 有最大值 ，此时 有最小值 .
题型 03 权方和不等式
【解题规律·提分快招】
若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立.
权方和不等式：
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
时，等号成立
当且仅当
，当且仅当 时，等号成立.
即
证明2：对柯西不等式变形，易得 在 时，就有了当 时，等号成立．
推广1： 当 时，等号成立．
推广:2：若 ，则 ，当 时，等号成立.
推广3：若 ，则 ，当 时，等
号成立.
【典例训练】
一、填空题
1．已知正实数 、 且满足 ，求 的最小值 .
【答案】
【分析】设 ， ， ，由权方和不等式计算可得.
【详解】设 ， ， ，
由权方和不等式，可知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
2．（2024高三·全国·专题练习） 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】 ，进而利用权方和不等式可求最小
值.
【详解】，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】√2
【分析】根据分离常量法可得 ，结合权方和不等式计算可得 ，即
，即可求解.
【详解】 ，
，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 ，得 ，
所以 或 （舍去），
即 的最小值为 .
故答案为：
一、单选题
1．实数x、y满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】由 得 ，运用柯西不等式有 ，进而得解.【详解】解： 实数x、y满足 ，
，
，
，
当且仅当 时取等号，
的最小值是 .
故选：A.
【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题.
2．若实数 ，则 的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【分析】直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】根据柯西不等式： ，即 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立.
故选：B.
【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.
3．已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意得 ，则 ，进而由柯西不等式可得最大值.
【详解】由 可得 ，即 .
由 可知 ，所以 .
由 ， 可得 ，
由柯西不等式得
，
所以 ，当 即 时，取等号.所以 的最大值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：在得出 之后，关键在于根据题目特点应用柯
西不等式求最大值.
二、多选题
4．设非负实数 ， ， 满足 ，则 的（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
【答案】AC
【详解】利用柯西不等式可取最值.
【分析】由柯西不等式可知：
，
故 即 ，
当且仅当 时， 取到最大值 ．
的最小值为 ，证明如下．
根据题意， ，
于是 ，解得 ，
于是当 时， 取得最小值 ．
故选：AC
5．（24-25高三上·新疆·期中）已知 ， ，且不等式 恒成立，
则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD【分析】将不等式变为 ，利用柯西不等式和基本不等式可求得
的最小值，进而构造不等式求得 的取值范围，从而得到结果.
【详解】由 得： ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
（当且
仅当 时取等号），
即当 时， ，
，解得： ， 可能的取值为 .
故选：BCD.
三、填空题
6．已知正实数 、 且满足 ，求 的最小值 .
【答案】
【分析】设 ， ， ，由权方和不等式计算可得.
【详解】设 ， ， ，
由权方和不等式，可知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
7．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，求 的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】
当且仅当 时取等号
故答案为：60
8．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，c为正实数，且满足 ，则 的最
小值为 .
【答案】2
【分析】直接根据权和不等式即可得结果.
【详解】由权方和不等式，可知
= = ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为2.
故答案为：2.
9．（23-24高三下·全国·强基计划）已知 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据柯西不等式可得 ，即可得 ，根据不等式性质结合两点
间距离公式可得 ，即可得结果.
【详解】因为 ，
则 ，且 ，可得 ，
当且仅当 ， ， 时，等号成立；
又因为 ，则 ，
可得 ．
且 ，
设点 和标准单位圆面内点 ，则 ，
又因为 ，可得 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立；
综上所述：所求的取值范围是 ．
故答案为： .
四、解答题
10．（23-24高三下·山东·期中）在 中， 对应的边分别为
.
(1)求 ；
(2)奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以
他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛
的应用.
①用向量证明二维柯西不等式： ；
②已知三维分式型柯西不等式： ，当且仅当 时等号
成立.若 是 内一点，过 作 的垂线，垂足分别为 ，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等式化简即可求值；
（2）①利用数量积的定义，得到 ，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条
件及三角形面积公式，利用 ，得到 ，结合余弦定理，令
，得到 ，再求出 的范围，即可求出结果.
【详解】（1）在 中， ，
由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，又 ，所以 ；
（2）①设 ，由 ，得 ，
从而 ，即 ；
② .
又 ，
.
由三维分式型柯西不等式有 .
当且仅当 即 时等号成立.
由余弦定理 得 ，
所以 ，即 ，
则 ，
令 ，则 .
因为 ，得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，则 ，
令 ，则 在 上递减，当 即 时， 有最大值 ，
此时 有最小值 （此时 与 可以同时取到）
【点睛】关键点点睛：本题关键是仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等
式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解.
