文档内容
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 01 柯西不等式与权方和不等式（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3. 扩 展 ： ， 当 且 仅 当
时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对 ，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立.
权方和不等式：
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证时，等号成立
当且仅当
，当且仅当 时，等号成立.
即
证明2：对柯西不等式变形，易得 在 时，就有了
当 时，等号成立．
推广1： 当 时，等号成立．
推广:2：若 ，则 ，当 时，等号成立.
推广3：若 ，则 ，当 时，等
号成立.
二、题型精讲精练
【典例1】实数x、y满足 ，则x+y的最大值是________.
解： ，则
所以 ，当且仅当 时等号成立.
答案：
【典例2】设 ，且 .
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 .
【分析】(1)根据条件 ，和柯西不等式得到 ，再讨论 是
否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的 代入原不等式，便可得到
参数 的取值范围.
【详解】(1)故 等号成立当且仅当 而又因 ，解得
时等号成立，所以 的最小值为 .
(2)因为 ，所以 .
根 据 柯 西 不 等 式 等 号 成 立 条 件 ， 当 ， 即 时 有
成立.
所以 成立，所以有 或 .
【典例3】已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
【详解】因为 ，所以
由权方和不等式 可得
当且仅当 ，即 时，等号成立．【答案】C
【题型训练-刷模拟】
1 . 柯西不等式
一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问
题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不
等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 和 ，有
等号成立当且仅当 已知 ，请你用
柯西不等式，求出 的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】
利用柯西不等式求出即可.
【详解】由题干中柯西不等式可得 ，
所以 的最大值为 ，当且仅当 时取等号.
故选：A
2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知空间向量 ，
，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由空间向量的坐标表示计算 ，然后由柯西不等式求解即可.
【详解】因为 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立，即 时等号成立.
所以 ，所以 的最小值为 .
故选：B
二、填空题
3．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 ，
，由 得到 ，当且仅当 时取等号.现已知
， ， ，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】令 ，代入公式即可得解.
【详解】令 ，
又 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为 .
故答案为：
4．（22-23高二下·浙江·阶段练习）已知 ， ，则 的
最小值为 .
【答案】9
【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.
【详解】∵
∴ ,当且仅当 时等号成立，即 ，
∵
，当且仅当 时等号成立，可取
故答案为：9
5．（22-23高一·全国·课堂例题）若不等式 对任意正实数x，y都成立，则实数k的最
小值为 .
【答案】 /
【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知 ，整理得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则k的最小值为 .
故答案为：
6．（22-23高三上·河北衡水·期末）若⊙C： ，⊙D： ，M，N分
别为⊙C，⊙D上一动点， 最小值为4，则 取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据 的最小值求出 ，即 ，再使用柯西不等式求出取值范围.
【详解】由于 最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离 ，
即 ，
由柯西不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ，解得： .
故答案为：
7．已知正实数 ， ， ， 满足 ，则 的最小值是
．
【答案】 /
【分析】
利用配凑法及柯西不等式即可求解.
【详解】
由题意可知，，当且仅当 时取“ ”号．
所以原式的最小值为 ．
故答案为： .
三、解答题
8．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足 .
(1)求 的最大值；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用柯西不等式直接求解；
（2）由分析法转化为求证 ，换元后由函数单调性得证.
【详解】（1）由柯西不等式得： ，
即 ，故 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
所以 的最大值为 .
（2）要证： ，
只需证： ，
只需证： ，
即证： ，
由a，b均为正实数，且满足 可得 ，
当且仅当 时等号成立，即 ，设 ，则设 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
即 .
9．（2024·四川·模拟预测）已知 均为正实数，且满足 ．
(1)求 的最小值；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合已知等式，将 化为 ，利用基本不等式，即可求
得答案；
（2）利用柯西不等式，即可证明原不等式.
【详解】（1）因为 均为正实数， ，
所以
，当且仅当 ，
即 时等号成立．
（2）证明：根据柯西不等式有 ，
所以 ．
当且仅当 ，即 时等号成立，
即原命题得证.
10．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足 ．(1)若 ，求证： ；
(2)若a，b， ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ，又 ，结合基本不等式可得 ，化简
求得 ，得证；
（2）法一，由已知条件得 ，同理可得 ， ，三式
相加得证；法二，根据已知条件可得 ，所以
，利用柯西不等式求解证明.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
整理得 ，所以 ．
（2）解法一： 因为 ，且a，b， ，
所以 ， ， ，所以 ，
同理可得 ， ，
以上三式相加得 ，当且仅当 时等号成立．
解法二：因为 ，且a，b， ，
所以 ， ， ，且 ，
所以，
当且仅当 时等号成立．
2 . 权方和不等式
一、填空题
1．已知 ， 且满足 ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】由 知： ，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形 ，然
后就可以使用权方和不等式了.
【解析】
（等号成立条件，略）.
2．已知x＞0，y＞0，且 则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】
当 ，即 时，等号成立．
3．已知a＞0，b＞0，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】
当 ，即 时，等号成立， ．
4．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 ，则 ，当且仅当 时等号成立.根据权
方和不等式，函数 的最小值 ．
【答案】
【分析】由 ，再利用权方和不等式即可得解.
【详解】由 ，得 ，
由权方和不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数 的最小值为 .
故答案为： .
5．（2023高三·全国·专题练习）已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值
为
【答案】
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数 ， 满足 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等号.
故答案为： .
6．（2023高三·全国·专题练习）已知 ，求 的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当 时取等号故答案为：60
7．（2023高三·全国·专题练习）已知 为锐角，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】利用权方和不等式： 求解.
【详解】
当且仅当 即 ， 时取“ ”.
故答案为：
8．（2023高三·全国·专题练习）已知正实数 、 且满足 ，求 的最小值 .
【答案】
【分析】设 ， ， ，由权方和不等式计算可得.
【详解】设 ， ， ，
由权方和不等式，可知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
9．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】8
【分析】利用权方和不等式求解最值即可.
【详解】令 ，
则 ，
当 时，即 时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：8
10．（2023高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足 ，且 ， 的最小
值为 .
【答案】 /1.6
【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在
联系.
【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即： 有 当且仅
当 时取等号.
证明：利用柯西不等式： ，当且仅当 时取等号，
要证 只须证 ，
因 则 =
当且仅当 时，即 时取等号.
不妨令 ,整理得 ，
则 解得 则
，
当且仅当 时等式成立，由 解得： ，即当 时，
的最小值为 .
故答案为：
11．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】利用权方和不等式求解最值即可.
【详解】由题意得， ．
（权方和的一般形式为： , ,当且仅当
时等号成立）
当 ，即 时， 取得最小值 ．故答案为：
12．（2023高三·全国·专题练习）已知正数 满足 ，则 的最小值为
【答案】
【分析】
运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件
则迅速求解.
【详解】
要求最小值，先来证明权方和不等式，即： 有 当且仅当 时
取等号.
证明：利用柯西不等式： ，当且仅当 时取等号，
要证 只须证 ，
因 则 =
当且仅当 时，即 时取等号.
故由当且仅当 时取等号.由 解得： ，
即当 时， 的最小值为 .
故答案为：
