专题04勾股定理及逆定理的应用的五种考法（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_压轴题攻略-V9_2025版

专题 04 勾股定理及逆定理的应用的五种考法 目录 解题知识必备.....................................................................................................................................................1 压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2 类型一、勾股定理与面积问题...........................................................................................................................2 类型二、勾股定理与网格问题...........................................................................................................................4 类型三、验证勾股定理问题...............................................................................................................................7 类型四、勾股定理的应用问题.........................................................................................................................12 类型五、勾股定理逆定理的应用问题..............................................................................................................17 压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................20 解题知识必备 1. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a，b c a2 b2 c2 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 . 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样 就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： a2 c2 b2 ， b2 c2 a2 ， c2 ab2 2ab . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为 的线段 2. 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在 具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第 三边的平方比较而得到错误的结论.3.勾股定理逆定理 a，b，c a2 b2 c2 1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 c （1）首先确定最大边（如 ）. c2 a2 b2 c2 a2 b2 （2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若 c2 a2 b2 ，则△ABC不是直角三角形. a2 b2 c2 a2 b2 c2 c 注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中 为 三角形的最大边. 压轴题型讲练 类型一、勾股定理与面积问题 例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，以直角三角形三边长为边作正方形，100和36分别代表其 中两个正方形的面积，则A的面积为 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·吉林·期中）如图， 是 的高，分别以线段 为 边向外作正方形．若其中3个正方形的面积如图所示，则以 为边的正方形的面积为 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形 中， ，分别 以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为 ， ， ， ．若 ， ，则 ．类型二、勾股定理与网格问题 例题：（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 都在格点上，以 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，求 的长 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·天津河西·期末）如图，网格中的小正方形边长均为1， 的三个顶 点均在格点上，则 的长度为（ ） A． B．4 C． D． 【变式训练2】（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在 的方格中，小正方形的边长均为1，点A， B，C都在格点（网格线的交点）上，则边 上的高为 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，每个小正方形的边长都为1．(1)四边形 的面积 ________； (2)四边形 的周长 ________； (3) 与 有什么关系？请说明理由． 类型三、验证勾股定理问题 例题：（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思 想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式训练1】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如 图所示可以用来验证勾股定理的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的 有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理 ． (2)如图2，在 中， 是 边上的高， ，求 的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54， ，求中间小正方形的边长． 【变式训练3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形 都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论： . （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知： 中， ， ， ， . 求证： . 证明：由图可知 ， ， ______， 正方形 边长为______， ， 即 ． 【深入思考】 如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角 ，其中 ， ，过点D作 ，垂足为点E （2）求证： ， ； （3）请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明： ； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”， 若 ， ，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．类型四、勾股定理的应用问题 例题：（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子 长5米，荡到最高点D时秋干 离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段 的长是4米，求秋千的起始位置距离地 面的高度（线段 的长）． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东德州·期中）吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊 车在工地点 处， 为附近的一条街道，已知点 与直线 上两点 、 的距离分别为 和 ， ，若吊车周围 以内会受噪声影响． (1)求 的度数； (2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说 明理由． 【变式训练2】（23-24八年级上·重庆万州·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相 距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400 米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？ (2)在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路 长． 【变式训练3】（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈， 葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 丈，芦苇 生长在 的中点O处，高出水面的部分 尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即 ， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度 ； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现 代符号语言可以表示为：若已知水池宽 ， 芦苇高出水面的部分 ，则水池的深度 可以通过公式 计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 类型五、勾股定理逆定理的应用问题 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离 的长为 ． 供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道 ， ．已知供水点M到 的距离 的长为 ， 的长为 ． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长 ； (2)试说明 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生 每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地 ，供同学 们课间活动使用，如图，已知 ， ， ， ， ．(1)连接 ，求 的长度； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）综合实践 徐霞客(1586-1641)，名弘祖，字振之，号霞客，明朝南直隶江阴(今江苏江阴市)人．明地理学家、旅行家 和文学家，地理名著《徐霞客游记》的作者，被称为“千古奇人”． XX中学数学兴趣小组在徐霞客公园开展综合实践活动． 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边 和边 是否分别垂直于底边 ． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边 ，底边 的长度，并测量出点A，C之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边 和边BC是否分别垂直于底边 ． 解决问题： 通过测量得到边 的长是60厘米，边 的长是80厘米，AC的长是100厘米，边 垂直于边 吗？ 为什么？ 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如 图所示，则正方形 的边长为（ ）A．6 B．36 C．64 D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有 趣的数学问题：有两棵树，一棵高 ，另一棵高 ，两树相距 ，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一 棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，若 和 的顶点都在 小正方形网格的格点上，则 （ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞， 证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为 ，经过以下裁剪， 翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为 ，嘉琪同学得出了以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C 点 处，已知旗杆原长 ，则旗杆在离底部 米的位置断裂． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这是边长为1的 的正方形网格， 的三个顶点都在 格点（网格线的交点）上，则边 上的高是 ． 7．（24-25八年级上·广东清远·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水 一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈， 有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿， 则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 8．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图， 中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形， 面积分别记为 、 、 ，若 ，则阴影部分面积为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上 行驶速度不得超过 ．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 后，测得小汽车与车速检测仪间距离 为 ，这辆小 汽车超速了吗？（参考数据转换： ） 10．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形网格中的 ，若小方格边长为1，请你根据 所学的知识解决下列问题． (1) ________； ________； ________； (2)求 的面积； (3)判断 是什么形状，并说明理由． 11．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路 的同侧，两个喷泉之间 的距离 的长为 ，现要为喷泉铺设供水管道 ， ，供水点M在小路 上，供水点M到 的距离 的长为 ， 的长为 ． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试判断 与 的位置关系，并说明． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸 的绳子绕过定滑轮 ，一端拴在滑块 上，另一端拴在物体 上，滑块 放置在水平地面的直轨道上，通 过滑块 的左右滑动来调节物体 的升降．实验初始状态如图 所示，物体 静止在直轨道上，物体 到 滑块 的水平距离是 ，物体 到定滑轮 的垂直距离是 ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态， 定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）(1)求绳子的总长度； (2)如图 ，若物体 升高 ，求滑块 向左滑动的距离． 13．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造 更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科 学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）． 如图，已知 ， ， ， ，技术人员通过测量确定了 ． (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开 辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ (2)这片绿地的面积是多少？ 14．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直 观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法 进行直观推导和解释．如图1，在 中， ，以Rt 的三边长 向外作正方形的面积分别为 ． 【解决问题】试猜想 之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以 的三边长 为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请 说明理由． 【推广应用】如图3，在 中， ，三边分别为 ，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 15．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）综合与实践 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图 是著名的赵爽弦图， 由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在 年构造发现了一个新的证法：把两 个全等的直角三角形 和 如图 放置，其三边长分别为 ， ， ， ，显然 ． (1)请用 ， ， 分别表示出四边形 ，梯形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的 关系，证明勾股定理 ． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图 ，小正方形边长为 ，连接小正方形的三个顶点，可得 ，则 边上的高为______． (3)如图4，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．