易错点10不等式答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 10 不等式 易错点1：线性规划 求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时， z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时， z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 易错点2：基本不等式 a+b √a2 +b2 √ab≤ ≤ (a,b≥0) 2 2 均值不等式 （当仅当a=b时取等号）注意：①一正二 定三相等； a+b a2 +b2 ab≤( ) 2 ≤ (a,b∈R) 2 2 ②变形： （当仅当a=b时取等号） 易错点3：绝对值不等式 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤： ①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集 注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易 懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 易错点4：柯西不等式 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不 等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为 (a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常 数且应注意等号成立的条件． 题组1 线性规划 1．（2021浙江卷） 若实数 满足约束条件 ，则 的最小 值是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，画出可行域，显然过点 时，取到最小值，即 ， 故 选B．2．（2021年全国乙卷文）若 ， 满足约束条件 则 的最小值为 A．18 B．10 C．6 D． 4 【答案】C 【解析】由约束条件可得可行域如图所示，当直线 过点 时， 取最小值为 6，故选C． y 5 4 B 3 A 2 1 C –1O 1 2 3 4 5 6x –1 –2 –3 3．（2021上海卷）已知 ， ，则 的最大值为___________． 【答案】4 【解析】画出可行域易得最优解为 ，所以 的最大值为 4.（2020•全国 1 卷）若 x，y 满足约束条件 则 z＝x＋7y 的最大值为 ______ 【答案】1. 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数 即： ， 其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ， 据此可知目标函数的最大值为： .故答案为：1． 题组2 基本不等式 5．（2021年全国乙卷文）下列函数最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知A的最小值为3，B的等号成立条件不成立，D无最小值． 6．（2020年新全国1山东）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于A， ， 当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B， ，所以 ，故B正确； 对于C， ， 当且仅当 时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；故选：ABD7.（2020年天津卷）已知 ，且 ，则 的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 ， , ，当且仅当 ＝4时取等号， 结合 ,解得 ，或 时，等号成立. 故答案为： 8.（2020年江苏卷）已知 ，则 的最小值是_______． 【答案】 【解析】∵ ,∴ 且 ∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.∴ 的最小值为 .故答案为： . 题组3 含绝对值不等式 9.（2021年全国甲卷）已知函数 ， . （1）画出 和 的图像. （2）若 ，求 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】易知 则 和 的图像为（1）由（1）中的图可知， 是 左右平移 个单位得到的结果，向右 平移不合题意，向左平移至 的右支过点曲线， 上的 点为临界状 态，此时 右支的解析式为 ，由点 在 可知 ，解得 ，若要满足题意，则 要再向左平移，则 ,则 的取值范围为 10.（2021年全国乙卷）已知函数 . （1）当 时，求不等式 ≥ 的解集； （2）若 ，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）当 时， ≥ ≥ ， 当 ≤ 时，不等式 ≥ ，解得 ≤ ；当 时，不等式 ≥ ，解得 ； 当 ≥ 时，不等式 ≥ ，解得 ≥ . 综上，原不等式的解集为 . （2）若 ，即 ， 因为 ≥ （当且仅当 ≤ 时，等 号成立），所以 ，所以 ，即 或 ，解得 . 11．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数 ． （1）画出 的图像； （2）求不等式 的解集． 【解析】（1）∵ ，作出图像，如图所示： （2）将函数 的图像向左平移 个单位，可得函数 的图像，如图所示：由 ，解得 ，∴不等式的解集为 ． 12．（2020江苏23）设 ，解不等式 ． 【答案】 【解析】 或 或 ， 或 或 ，∴解集为 ． 题组4 格西不等式 13．（2021年浙江卷）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ．记平面向量 在 ， 方向上的投影分别为 ， ， 在 方向上的 投影为 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【解析】设 ， ， （当且仅当 时，即 时，取得等号）． 14．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： 1 1 1 （1）   a2 b2 c2 ； a b c（2）(ab)3 (bc)3 (ca)3 24． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析． a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,c2 a2 2ac abc1 【解析】（1）因为 ，又 ， abbcca 1 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 abbcca       a2 b2 c2 故有 abc a b c ，∴a b c ． a, b, c abc1 （2）因为 为正数且 ，故有 (ab)3(bc)3(ca)3 33 (ab)3(bc)3(ac)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) 3(2 ab)(2 bc)(2 ac) =24． (ab)3 (bc)3 (ca)3 24 ∴ ． 1.下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【解析】B 2．若 ， ，则一定有 A． B． C． D． 【解析】由 ，又 ，由不等式性质知： ，所以 3．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ） A．20 B．24 C．25 D．28 【解析】由题意 ，当且仅当 ，即 时等号成立． 故选：C．4．若实数 、 满足不等式组 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】 如图，绘出不等式组 表示的平面区域， 然后通过平移直线 即可得出过点 时 取得最小值 ，无最大值， 则 的取值范围为 ， 故选：C. 5．设 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是 A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 【解析】不等式组的可行域如图，目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小 值 . 在点 处取得最大值 ，选B． y 4 A 3 2 1 B x –1 O 1 2 3 4 –1 6.（多选题）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ）A. B. C. D. 【解析】对于A， ， 当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B， ，所以 ，故B正确； 对于C， ， 当且仅当 时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；故选：ABD 7.若 满足约束条件 ，则 的最小值为____________. 【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分， 将 化为 ，则数形结合可得，当直线 过点 时， 取得最 小值为 . 故答案为： (x1)(2y1) x0 y 0 x2y 4 xy 8.设 ， ， ，则 的最小值为__________. 【解析】x0，y 0，x2y 4，x12y1 2xyx2y1 2xy5 5 而   2 . xy xy xy xy 由基本不等式有 4 x2y� 2 2xy ，所以0 xy2（当且仅当 x2y 2时，即 x2， y 1 时，等号成立）. 5 5 5 5 9 x12y1 9 所以 � ，2 � 2  ，所以 的最小值为 . xy 2 xy 2 2 xy 2 9．已知函数 ． (1)求不等式 的解集； (2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围． 【解析】（1） ， 当 时， 无解； 当 时，由 得， ，解得 ； 当 时，由 解得 ． ∴ 的解集为 ． （2）由 得 ，而 ， 且当 时， ，故m的取值范围为 ． a,b,c abc1 10．设 均为正数，且 ，证明： 1 abbcca （Ⅰ） 3； a2 b2 c2   1 （Ⅱ） b c a ． 【解析】（Ⅰ） 得 ， 由题设得 ，即 ， ∴ ，即 ．（Ⅱ）∵ ，∴ ， 即 ，∴ ．