文档内容
拔高点突破 02 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：柯西不等式之直接套公式型........................................................................................................................2
题型二：柯西不等式之根式下有正负型....................................................................................................................3
题型三：柯西不等式之高次定求低次型....................................................................................................................3
题型四：柯西不等式之低次定求高次型....................................................................................................................4
题型五：柯西不等式之整式与分式型........................................................................................................................4
题型六：柯西不等式之多变量型................................................................................................................................5
题型七：柯西不等式之三角函数型............................................................................................................................5
题型八：Aczel不等式..................................................................................................................................................5
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型............................................................................................................6
题型十：权方和不等式之三角函数型........................................................................................................................6
题型十一：权方和不等式之杂合型............................................................................................................................7
03 过关测试...........................................................................................................................................71、柯西不等式（Cauchy不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的 ，都有 ．
（2） 元柯西不等式： ，取等条件：
或 （ ）．
2、Aczel不等式（反柯西不等式）
设 ； 均 为 实 数 ， 或 ， 则 有
．当且仅当 ， 成比例时取等．
3、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的 ，都有 ．当且仅当 时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若 ， ， ，则 ，当 时等号成立．
题型一：柯西不等式之直接套公式型
【例1】已知 且 则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式1-1】若 ，则 的最小值为（ ）
A．25 B．8 C． D．
【变式1-2】已知a，b， ，满足 ，则 的最大值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．6
题型二：柯西不等式之根式下有正负型
【例2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国
数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当 时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数
的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．20
【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不
等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量 , ,由
得到 ,当且仅当 时取等号.现已知 , , ,则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：柯西不等式之高次定求低次型
【例3】设a，b，c为正数，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的
“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才
能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 和 ，有
等号成立当且仅当 已知 ，请你用
柯西不等式，求出 的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8【变式3-2】已知实数 满足 ，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型四：柯西不等式之低次定求高次型
【例4】若实数a，b，c，d满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
【变式4-1】已知空间向量 ， ，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式4-2】已知 ， ， 为实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
题型五：柯西不等式之整式与分式型
【例5】（2024·高三·浙江台州·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 ．
【变式5-1】已知 、 、 ，且满足 ，则 的最小值为 .
【变式5-2】已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：柯西不等式之多变量型
【例6】已知 且 ，a，b，c为常数，则 的最小值为（ ）A． B．
C． D．前三个答案都不对
【变式6-1】已知实数a，b，c，d，e满足 则e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【变式6-2】已知 ，且 ，则 的最小值是
（ ）
A． B．
C．417 D．以上答案都不对
题型七：柯西不等式之三角函数型
【例7】函数 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【变式7-1】（2024·浙江·一模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【变式7-2】函数 的最大值为（ ）
A． B．5 C．4 D．
题型八：Aczel不等式
【例8】 的最小值为 ．
【变式8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》
选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不
等式（二维）；当向量 时，有 ，即 ，
当且仅当 时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当 时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前
面的结论可知：当 时， 的最小值是 ．
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型
【例9】已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值为
【变式9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如
下：设a，b，x，y>0，则 ，当且仅当 时等号成立．根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【变式9-2】已知a，b，c为正实数，且满足 ，则 的最小值为 .
题型十：权方和不等式之三角函数型
【例10】已知正实数 、 且满足 ，求 的最小值 .
【变式10-1】已知 为锐角，则 的最小值为 .
【变式10-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初
命名的．其具体内容为：设 ，则
，当且仅当 时，等号成立．根
据权方和不等式，若 ，当 取得最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．题型十一：权方和不等式之杂合型
【例11】已知 ，则 的最小值是 ．
【变式11-1】已知 ，求 的最小值为
【变式11-2】求 的最大值为
1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应
用，其表述如下：设正数 ， ， ， ，满足 ，当且仅当 时，等号成立．则函数
的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
2．已知a，b，c均大于1， ，则 的最小值为（ ）
A．243 B．27 C．81 D．9
3．（2024·福建·模拟预测）设 、 ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．由柯西不等式，当 时，求 的最大值为（ ）
A．10 B．4 C．2 D．
5．已知 ，则 的取最小值时， 为（ ）
A． B． C．3 D．
6．已知： ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．7．实数x、y满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
8．已知a， ， ，则 的最大值为（ ）
A．18 B．9 C． D．
9．若实数 ，则 的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
10．函数 的最小值是
A． B． C． D．
11．若 ，则 的最大值（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
12．函数 的最大值是( )
A． B． C．3 D．5
13．已知 ， ，则 的最大值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14．函数 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知 ， ， ，且 ，则 的最大
值为（ ）
A．3 B． C．18 D．9
16．已知x，y均为正数，且 ，则 的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
17．（2024·广西南宁·二模）设实数 满足关系： ， ，则
实数 的最大值为
A． B． C． D．
18．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的
一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 ，
，由 得到 ，当且仅当 时取等号.现已知
， ， ，则 的最大值为 .19．若不等式 对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
20．已知x，y， ，且 ，则 的最小值为 ．
21．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角 、 均为锐角，则 的范围是 ．
22．在锐角 中， 的最小值是 ．
23．函数 的最大值与最小值之积为 ．
24．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为 .
25．已知 ，则 的最小值是 ．
26．已知x>0，y>0，且 ，则x+2y的最小值为 .
