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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 03 函数和不等式中的恒成立和有解问题（精讲+精
练）
①一元二次不等式中的恒成立和有解问题
②基本不等式中的恒成立问题
③函数不等式中的恒成立和有解问题
一、必备知识整合
一、恒成立和有解问题思路一览
设函数 的值域为 或 ，或 或 中之一种，则
①若 恒成立（即 无解），则 ；
②若 恒成立（即 无解），则 ；
③若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
④若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
⑤若 有解（即 无解），则 ；
⑥若 无解（即 有解），则 ．
【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的
取舍）
二、分离参数的方法
①常规法分离参数：如 ；
②倒数法分离参数：如 ；
【当 的值有可能取到，而 的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如 ；
⑤不完全分离参数法：如 ；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数
或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，
再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
三、其他恒成立类型一
① 在 上是增函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
② 在 上是减函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
③ 在 上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)
四、其他恒成立类型二
① ，使得方程 成立 ．
② ，使得方程 成 ．
五、其他恒成立类型三
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ．
二、考点分类精讲【典例1】（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】不等式 对任意 恒成立，则 ， 成立，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，因此 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若命题“ ”为真命题，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得不等式 在R上有解，结合 计算即可求解.
【详解】由题意可知，不等式 在R上有解，
∴ ，解得 ，
∴实数m的取值范围是 .
故选：A.
【典例3】（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数 满足 且不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m
的范围.【详解】由题设 ，
当且仅当 时取等号，
又 恒成立，即 .
故选：A
【典例4】（2024高三·全国·专题练习）已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将原不等式转化为 ，再求 的最大值即可得到 的最小值.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
又 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，实数 的最小值为 .
故选：D.
【题型训练-刷模拟】
1 . 一元二次不等式中的恒成立和有解问题
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题： 为假命题，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件 ：“不等式 的解集是空集”，
则条件 ： “ ”是条件 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数 ，对 都有 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖北·二模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，若对于任意的
，不等式 恒成立，则实数x可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（23-24高三上·山东日照·开学考试）命题“ ， ”为真命题的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·福建宁德·模拟预测）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．（22-23高二下·四川乐山·期末）已知函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
2 . 基本不等式中的恒成立问题
一、单选题1．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三·全国·课后作业）已知x＞0，y＞0，且 ，若不等式 恒成立，则
实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式 对任意 恒成立，则正实数a的取值集
合为（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，若不等式
恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川成都·三模）设函数 ，正实数 满足 ，若 ，则
实数 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
6．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式 对所有的正实数 , 恒成立，则 的
最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
3 . 函数不等式中的恒成立和有解问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数 在 内单调递增，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
2．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数 ， ，若 ，
，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数 的定义域为 ，若存在 ，
满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高二下·山西运城·期末）若 ，使得 成立，则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知 ， ， ，
使 成立.则a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三上·云南大理·期中）若对 ，使得 （ 且 ）恒成立，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·上海黄浦·二模）设函数 ，若 恒成立，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
