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专题04 含30度角的直角三角形、直角三角形斜边的中线定理重难点题型专训
（13大题型+20道拓展培优）
题型一 根据30度角直角三角形的性质求长度
题型二 根据30度角直角三角形的性质求角度
题型三 根据30度角直角三角形的性质求面积
题型四 根据30度角直角三角形的性质求最值
题型五 根据30度角直角三角形的性质证明
题型六 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度
题型七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度
题型八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长
题型九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积
题型十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值
题型十一 折叠问题
题型十二 旋转问题
题型十三 动点问题
知识点1：含30°的直角三角形的性质
在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。
知识点2：直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c²
【经典例题一 根据30度角直角三角形的性质求长度】
【例1】如图，在 中， ， 交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段 ，
，则 的长是（ ）A．18 B．15 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的特征，根据直线m
恰好垂直平分线段 ，得到 ，由 ， ，利用三角形内角和定理求出
，根据含30度角的直角三角形的特征，求出 ，即可求解．
【详解】解： 直线m恰好垂直平分线段 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
1．如图，在 中， ．分别以点A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分
别交于点P，Q，作直线 分别交 于点D，E．若 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，以及含 直角三角形的性质，解题的
关键是掌握以上知识点．
由等腰三角形的性质可得出 ，由垂直平分线的性质可得出 ，由等边对等角得出
，进一步求出 ，由含 直角三角形的性质可求出 ．
【详解】解：如图，连接 ．
，
，
．
由作图可知， 垂直平分线段 ．
，
．
．
，
．
故选：B．
2．在 中， ，作 边的垂直平分线，交直线 于点 ，交 于点 ．若 ，且
， ，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】连接 ，利用垂直平分线的性质，证明 ， ，利用直角三角形的性质计
算即可．本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三条性质是
解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ．
∵直线 是线段 的垂直平分线， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
3．如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至点E，使 ．
(1)求证： ；
(2)若F是 的中点，连接 ，且 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握
等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到 .进一步证明 ， ，即可
得到结论；
（2）求出 ，得到 ，则 .即可得到 ，由 是等边三角形即可得答案．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ .
又∵ 是中线，
∴ 平分 ，
∴ .
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：由（1）可知 ，
又∵F是 的中点，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴ .
∵ 是中线，
∴
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长为【经典例题二 根据30度角直角三角形的性质求角度】
【例2】在 和 中， ， ， ，已知 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含 度角的直角三角形的性质；过A作 于点
D，过 作 于点 ，求得 ，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可
求解．
【详解】解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
根据题意， ，
∴此种情况不符合题意；
综上， 的值为 ．
故选： ．1．在 和 中， ， ， ，已知 ，则 的度
数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含 度角的直角三角形的性质；过A作 于点
D，过 作 于点 ，求得 ，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可
求解．
【详解】解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
根据题意， ，
∴此种情况不符合题意；
综上， 的值为 ．
故选： ．
2．如图，在 中，中线 与高线 三等分 ，则 的度数为 ．【答案】30°/30度
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质，根据
全等三角形的判定得出 ，确定 ．过点M作 于点N，再
由角平分线的性质确定 ，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：解：根据题意得： ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
过点M作 于点N，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴在 中， ．
故答案为：30°．
3．如图①，在平面直角坐标系 中， ，C为y轴正半轴上一点， ，且 ．(1)点B的坐标为________；
(2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线 方向运动；同时点Q以每秒1个单位
长度的速度在边 上从点B向点C运动，运动时间为 ，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．
在运动过程中：
①当 是直角三角形时，求t的值；
②当 是等腰三角形时， 的度数是________．
【答案】(1)
(2)①t的值为 或2；②
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出 ，根据含 角的直角三角形的性质求出 的长，
即可得出答案；
（2）①分 和 两种情况，根据含 角的直角三角形的性质计算即可；
②分两种情况：当点P在边 上时，当点P在边 的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意得： ， ，
，
，
①分两种情况：当 时，如图所示：∵ ，
∴ ，
，
即 ，
解得： ；
当 时，如图所示：
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
综上分析可知：当 是直角三角形时，求t的为 或2；
②当点P在边 上时，如图所示：∵ 是等腰三角形， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，符合题意；
当点P在边 的延长线上时，如图所示：
∵ ，
∴当 是等腰三角形时， 一定是顶角，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵点Q在 上，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动，且 ，
∴ ，
∴此时不符合题意，舍去．综上分析可知，当 是等腰三角形时， 的度数是 ．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的概念、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图
形，灵活运用分情况讨论思想、掌握含 角的直角三角形的性质是解题的关键．
【经典例题三 根据30度角直角三角形的性质求面积】
【例3】如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧分别交 于点
和点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交
于点 ．若 的面积为8，则 的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，含 的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知 平
分 ，则可求 ，利用含 的直角三角形的性质得出 ，利用等角对等
边得出 ，进而得出 ，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，
由作图知： 平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又 的面积为8，
∴ 的面积是 ，
故选B．
1．在 中， ，则 的面积是（ ）．
A．20 B． C．50 D．60
【答案】C
【分析】
本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握 角所对的直角边等于斜边的一半是解
题的关键．
如图：将 沿 对折，点B落到点D处，作 于点E，由直角三角形的性质可得 ，最
后根据 的面积为三角形 的一半即可解答．
【详解】
解：如图：将 沿 对折，点B落到点D处，作 于点E，
∴ ,
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故选C．
2．如图，已知 是 平分线上一点， ， 交 于点 ， ，垂足为 ，
且 ，则 的面积等于 ．【答案】9
【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含 角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定，
解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
过点 作 于点 ，然后根据平分线的性质可知 ，再根据平行线的性质和角平分线的性质，
可以得到 的度数，从而可以求得 的长，本题得以解决．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图所示，
平分 ， ， ， ，
， ， ，
，
， ,
， ，
， ，
的面积 ；
故答案为：9．
3．已知 为等边 的角平分线，动点 在直线 上（不与点 重合），连接 ．以 为一边在
的下方作等边 ，连接 ．
(1)如图1，若点 在线段 上，且 ，则 ______度．
(2)如图2，若点 在 的反向延长线上，且直线 ， 交于点 ．
①求 的度数；②若 的边长为 ， ， 为直线 上的两个动点，且 ．连接 ， ，判断 的面积
是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)① ；②是，
【分析】此题考查手拉手全等模型，和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊
角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可．
（1）已知等边三角形，推论出等腰直角三角形，直接计算即可．
（2）①通过手拉手模型证明全等推出等角即可；②已知底边求面积，推出高的值即可，联系第①问中的
角度，直接推理出 的直角三角形，代值计算即可．
【详解】（1）解： 为等边 的角平分线
，
，
是等边三角形，
，
（2）解：① 和 均为等边三角形，
， ， ，
．
在 和 中，
，
，
，
又
②过 作 于点 ，由①可知， ，
，
，
在 中， ，
，
，
的面积为定值，
【经典例题四 根据30度角直角三角形的性质求最值】
【例4】如图， ，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 、 于点M、N，再分别以
点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线 ，点P在射线 上，且
，点E在边 上，则线段 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的作法、垂线段最短、直角三角形的性质等知识点，过点P作于点 ，由垂线段最短可知当点E和点 重合时，线段 有最小值；再根据作图可知 是 的角
平分线， ，最后根据30度角所对的直角边是斜边的一半即可解答．
【详解】解：如图，过点P作 于点 ，
由垂线段最短可知当点E和点 重合时，线段 有最小值，
由作图可知 是 的角平分线，
，即 ，
又 ，
，
线段 的最小值为6，
故选C．
1．如图所示，在四边形ABCD中， ， ， ， ，在AD上找一点P，
使 的值最小；则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利
用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD，∵∠ADC=90°，C'D=CD，
∴点C'与点C关于AD对称，
连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，
∵∠A=∠ADC=90°
∴CD//AB，
∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°，
∵C' D=CD，∠ADC=90°
∴CC' =2CD，
∵BC=2CD，
∴CC' =BC，
∴∠C'=∠CBC'，
∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，
过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，
则BE=AD=2，
在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2，
∴BC' =2BE=4，
即PB+ PC的值最小值为4，
故选∶A．
【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角
形的性质，判断出CC'= BC是解本题的关键．
2．如图，在每个小正方形边长为l的网格中， 是等边三角形，且顶点 ， 均在格点上．点 是三
角形内的一个格点，请用无刻度的直尺，在射线 上画出点 ，使 的值最小，并简要说明点
的位置是如何找到的（不要求证明） ．【答案】如图所示，取格点E、F，连接 ， 分别交 于P、H，点P即为所求
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，
如图所示，取格点E、F，连接 ， 分别交 于P、H，点P即为所求．
【详解】解：如图所示，取格点E、F，连接 ， 分别交 于P、H，点P即为所求．
由网格的特点可知 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
故当 三点共线，且 时 有最小值．
3．在 中， ，点E在是 边上一动点（不与A、B重合），连接 ，点P是直线 上一
个动点．
(1)如图1， ，E是 中点， ，N是射线 上一个动点，若使得 的
值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出
的最小值；(2)如图3， ，连接 ， 且 ．求证： ．
【答案】(1)绘图及说明见解析，5
(2)见解析
【分析】（1）画法：作点M关于 的对称点 ，过 作 交 于点P，交 于点N，根据
作图直接写出 的最小值即可；
（2）过P作 于点F， 于点D，通过导角得到 ，则 ．再证明
，得到 由平行线间间距相等可得 ，则 ，即可证明 垂直平分
则 ．
【详解】（1）解：作点M关于 的对称点 ，过 作 交 于点P，交 于点N，
∵ ，E是 中点，
∴ ，
∵ ，点 是M关于 的对称点，
∴ ，且点 在 上，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴在 中，∴ 得到最小值为5；
（2）解：过P作 于点F， 于点D，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴
由平行线间间距相等可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分
∴ ，
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，
线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
【经典例题五 根据30度角直角三角形的性质证明】
【例5】如图，在边长为10的等边 中，点M在边 的延长线上，点N在边 上，且 ，
若 ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、和等腰三角形“三线合一”的性质．熟
练掌握以上知识，正确作出辅助线是解题的关键．过M点作 于D点，由等边三角形的性质得
，则 ．根据“直角三角形中 的角所对的边等于斜边的一半” 可得 ，则可
得 ．由等腰三角形“三线合一”可得 ．
【详解】
过M点作 于D点，
则 ，
∵ 是等边三角形，
，
，
，
，
，
中， ， ，
，
．
故选：B1．如图，在 是 边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交
于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 交
于点E，交 于点F，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线定义判断A；根据 和 都是 的余角判断B；根据含 的直角三角
形性质判断C；根据 和 都是 的余角， 是 的外角， 是 的外角，
判断D．
【详解】A、由作图知， 平分 ，
∴ ，
∴A正确，不符合题意；
B、∵ 是 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴B正确，不符合题意；
C、当 时，
，
，
∴C不一定正确，C符合题意；
D、∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴D正确，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定
义，含 的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键．
2．如图，点 、 、 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ，
于点 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角
三角形的性质，得出 是本题的关键．
根据等边三角形的性质得出 ，进而得出 ，再根据平角的意义
即可得出 ，即可证得 是等边三角形；根据全等三角形的性质得到
， ，从而求得 ，根据直角三角形30°角所对的直角边
等于斜边的一半得出 ，即可求得 的长，进而得出MC的长．
【详解】解： 是等边三角形，
，
， ， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，， ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
故答案为：4．
3．如图， 与 都是等边三角形，B、C、E三点在同一条直线上，若 ，求
的长．
【答案】6
【分析】本题考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形性质，三角形内角和定理的应用，根据等
边三角形的性质得出 ，求出 ，
求出 ；根据很 角的直角三角形性质得出 ，求出即可．
【详解】解：∵ 与 都是等边三角形， ，
∴ ，
B、C、E三点在同一条直线上，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题六 根据30度角直角三角形的性质证明】
【例6】如图，在 中， ， ， ， 是 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，由 ， 是 的中点，得
，从而可证 是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解，解题的关
键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故选： ．
1．如图，在等腰 中， ，点 为 的延长线上一点，连接 ，点 分别为线段
的中点，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接 ，根
据等腰三角形三线合一的性质可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，熟记性质是解题的关键．
【详解】如图，连接 ，
∵ ，点 为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵点 分别为线段 的中点，
∴ ，
故选： ．
2．如图，在 中， ，的平分线交BC于点D，E为 的中点，若 ，则 的长是
．
【答案】5
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半成为解题的关键．
由等腰三角形三线合一的性质可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解
得．
【详解】解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ．故答案为：5．
3．如图，在 中， 是 边的中点， 是 上一点， BD交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求BD的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，平行线的性
质，等角对等边以及中点定义，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键．
（1）由 是 边的中点，得 ，由 BD，得 ， ，可得
，即可证明结论成立；
（2）由 是 边的中点， ，得 ，进而 ，由（1） ，
，由 ，得 ，从而 ，进而即可得解．
【详解】（1）证明：∵ 是 边的中点，
∴ ．
又∵ BD，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴
∴ ；
（2）解：∵ 是 边的中点， ，∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度】
【例7】在四边形 中， ，点 为对角线 的中点， ，
，连接 ， ， ，则 （ ）
A．25° B．22° C．30° D．32°
【答案】B
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，理解
掌握这些知识点是解本题的关键．证明 ，可得 ， ，可得
，再利用等腰三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵ ，点 为对角线 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
同理可得： ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
1．如图，在 中， ，点E为 的中点，在 中， ，连接 ， ，
；若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角形外角性质．根据直角三角形性质得到
，再结合等腰三角形的性质和三角形外角性质得到 ， ，进而得到
，即可解题．
【详解】解： ，点E为 的中点， ，
，
，
，
，
，
同理可得 ，
，
，
故选：D．2．如图，在四边形 中， ， ，点C为动点， ，E是 的中点，
连接 ，当 的长度最大时，此时 的大小是 ．
【答案】 /75度
【分析】取 的中点O，连接 、 、 ，根据三角形的三边关系可得当C、O、E共线时， 的
长度最大，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，取 的中点O，连接 、 、 ，
∴ ，
当C、O、E共线时， 的长度最大，
如图，∵ ， ，
∴ ， ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
中，点O是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查三角形的三边关系、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练
掌握直角三角形的性质是解题的关键．
3．如图，在 和 中， ， ， ， ， ，
连接 ，求 的大小．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直
角三角形，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质是本题的关键．由直角三角形的性质可得
， ，从而得出 ，再证明 ，可得 ，再求出
，最后由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接 ．
中， ，
，
， ，
， ，
，
， ，，
，
， ，
，
．
．
．
．
【经典例题八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长】
【例8】如图，在 中， ， 为 边上的高，点 为 的中点，连接 ．若 的
周长为 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得到 ，根
据直角三角形的性质得到 ，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．掌握直角三角形斜
边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 为 边上的高，
∴ ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，点 为 的中点，∴ ，
∴ 的周长为： ．
故选：B．
1．如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，点 为 的中点，连接
，则 的周长等于（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半可得DE＝CE＝ AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝ BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝ AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性
质并准确识图是解题的关键．
2．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=4，BC=10，则△EFM的周长是 ．【答案】14
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出EM=FM= BC，再求 EFM的周长就不
△
难了．
【详解】∵BE、CF分别是 ABC的高，M为BC的中点，BC=8，
△
∴在Rt BCE中，EM= BC=5，
△
在Rt BCF中，FM= BC=5，
△
又∵EF=4，
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=5+5+4=14．
故答案是：14．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题时主要利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
的性质．
3．如图，在 中， 于点 ， 于点 ， 为 的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ．求 的周长．
【答案】(1)证明见解析．
(2)9．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，利用等腰
三角形的性质和三角形内角和定理求出是解题关键．（1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）由（1）可得 ，再可推导出 ，再证明 为等边三角形即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 于点 ， 于点 ，
∴ 与 都为直角三角形，
又∵ 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
（2）由（1）可知 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
【经典例题九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积】
【例9】如图，在 中， ， 是 边的中点， 于点 ，若 ， ，则
的面积是（ ）A．660 B．50 C．40 D．30
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2CD，求得AB=12，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：在△ABC中， ∠ACB=90°，D是AB边的中点，
∴AB=2CD，
∵CD=6，
∴AB=12，
∵CE⊥AB于点E，CE=5，
∴△ABC的面积=
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积公式，熟练掌握直角三
角形的性质是解题的关键.
1．如图，在 中， ， 是 边的中点， 于点 ，若 ， ，则
的面积是（ ）
A．660 B．50 C．40 D．30
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2CD，求得AB=12，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：在△ABC中， ∠ACB=90°，D是AB边的中点，
∴AB=2CD，
∵CD=6，
∴AB=12，
∵CE⊥AB于点E，CE=5，
∴△ABC的面积=
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积公式，熟练掌握直角三
角形的性质是解题的关键.
2．在 中，斜边 上的中线和高分别是6和5，则 的面积 ．
【答案】30
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边长为 ，再根据三角形的面积公式
可得答案；
【详解】∵ 中，斜边上的中线为 6 ，
∴斜边长为 ，
∵斜边上的高为 5 ，
∴ 的面积为： ，
故答案为：30
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3、．如图， 中，D是 边的中点， ， ，垂足分别是点E，F，连接 ， ．(1)求证： ．
(2)若 ， ，连接 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含 的直角三角形的性质等知识，
解题的关键是：
（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得出 ，即可得证；
（2）利用三角形内角和定理、等边对等角可求出 ，进而求出∴ ，作
，垂足为G，利用含 的直角三角形的性质求出 ，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明： ，点D是 的中点．
， ，
，
为等腰三角形；
（2）解：连接 ，
∵
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，∴ ，
∴ ，
作 ，垂足为G，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值】
【例10】如图，在 中， ， 为 上一动点（不与点 重合），
为等边三角形，过 点作 的垂线， 为垂线上任一点， 为 的中点，则线段 长的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接连接 ，设 交 于点 ，先判定 为线段 的垂直平分线，再判定
，然后由全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，设 交 于点 ．
是直角三角形
为 的中点，
，是等边三角形
点 在线段 的垂直平分线上
同理，点 在线段 的垂直平分线上，
为线段 的垂直平分线，
，
点 在射线 上，当 时， 的值最小，如图所示，设点 为垂足，
，
，
则在 和 中，
．
，
故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、垂线
段最短，解题的关键在于画出正确辅助线．
1．如图， ，已知 的面积为60，且 ， 的顶点A、B分别在边
、 上，当点B在边 上运动时，A随之在 上运动， 的形状始终保持不变，在运动的过
程中，点C到点O的最小距离为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【分析】作 交于点H，连接 ，根据题意可得 ，根据 得
，在 中，可得 ，根据 （当点C、O、H共
线时取等号）即可得．
【详解】解：如图所示，作 交于点H，连接 ，∵ 的面积为60，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ （当点C、O、H共线时取等号），
∴ 的最小值为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形三边长关系，解题的关键是掌握这些
知识点并适当添加辅助线．
2．如图，将矩形 放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点 分别在 轴， 轴上滑动，矩
形的形状保持不变．若 ，则顶点 到坐标原点 的最大距离为 ．
【答案】【分析】取 中点 ，连接 ，如图所示，由三角形三边关系及特殊情况得到 ，
在 中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定 ；在 中，由勾股
定理可得 ，从而有 ，即可确定答案．
【详解】解：取 中点 ，连接 ，如图所示：
，
在 中，由三角形三边关系可得 ；当 三点共线时可以取“ ”，即
，
在 中， ；在 中， ， ，则由勾股定理可得
，
，即当 三点共线时， 有最大值，为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及中点定义、三角形三边关系、直角三角形性质、勾股定理等知识，
准确作出辅助线，熟练掌握动点最值问题的求解方法是解决问题的关键．
3．（1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在 中， ， ，求证 ．（请用两种不同的方法证明．）
（2）方法迁移：如图，在边 上作点P，在边 上作点Q，使得 最小．（要求：用直尺和圆
规作图，保留作图痕迹，不写作法．）【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，轴对称 尺规
作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定．
（1）方法1，延长 到D使 ，连接 ，根据垂直平分线的性质得到 ，然后证明出
是等边三角形，进而求解即可；
方法2，取 中点M，连接 ，根据直角三角形的性质得到 ，然后证明出 是等边三
角形，进而求解即可；
（2）作点B关于 的对称点 ，然后过点 作 的垂线交 于点Q，交 于点P，即可求解．
【详解】（1）证明：
方法1，如图，延长 到D使 ，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ；
方法2，如图，取 中点M，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
（2）如图：此时 最小．
【经典例题十一 折叠问题】
【例11】如图，在 中， ， ，AD是斜边BC上的中线，将 沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则 的度数为（ ）
A．108° B．74° C．72° D．54°
【答案】C
【分析】由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得 ， 即可得到
，由折叠的性质得 ，则 ，由三角形外角的性质即可得到
的度数．
【详解】解：∵在 中， ， ， 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折，使点B落在点F处，线段 与 相交于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的
性质是解题的关键．
1．如图， 为等腰直角三角形， 为斜边 的中点，点 在 边上，将 沿 折叠至
， 与 ， 分别交于 ， 两点．若已知 的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ）A． B． C．四边形 D．四边形
【答案】A
【分析】先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出 即可求解．
【详解】如图，连接 ， ，
∵三角形 是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，
∴ ， ，
由折叠可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰三角形的两个底角是 和直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠前后的对应边相等，对应角相等．
2．如图，在四边形 中， ， ．若将 沿 折叠，点 与边 的中点 恰好重
合，则四边形 的周长为 ．【答案】4
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，直角三角形斜边
上的中线性质是解题的关键．根据 ， ，边 的中点是 ，得到 ，根据
沿 折叠，点 与边 的中点 恰好重合，得到 ，得到四边形 的
周长为 ，解答即可．
【详解】解：由 ， ，边 的中点为 ，
∴ ，
∵ 沿 折叠，点 与边 的中点 恰好重合，
∴ ，
∴四边形 的周长为 ，
故答案为：4．
3．实践与探究题
问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？
丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：
(1)观察发现① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，
∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．
② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．
(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于
______．
【答案】(1)① ，证明见解析，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(2)25
【分析】（1）通过折叠 ,使点B与点A重合，再展开得到BD=AD,由折叠 使点B与点C重合
得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD= ，倍长CD至点E，连接BE，先证 ，由全等的
性质得到 ，再进一步证明 ，证得CE=AB,从而证得CD=
（2）由垂线段最短知：AB边上中线长 ，又 ，所以 ，所以Rt△ ABC面积的
最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25
【详解】（1）解：①由折叠知：CD=BD=AD = ，下面证明
下图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE，在 和 中，
在 和 中，
∴CE=AB
∴CD= ；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）由垂线段最短知：AB边上中线长
,当D为AB中点时，即Rt△ ABC为等腰直角三角形时，
面积最小为： ．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过
全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力．
【经典例题十二 旋转问题】
【例12】数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含
角的直角三角板做实验，如图， ， ，M，N分别是 ， 的中点，标记点
的位置后，将三角板绕点 逆时针旋转，点 旋转到点 ，在旋转过程中，线段 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】点 的轨迹是以点C为圆心，以 为半径的圆，如图所示： 在CB的延长线上时，线段
取得最大值．
【详解】由题意可知点 的轨迹是以点C为圆心，以 为半径的圆，∵ ，
∴ ，
如图所示： 在CB的延长线上时，线段 取得最大值．
最大值为：
故选C.
【点睛】考查含 角的直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
1．如图，在 中， ， ， ， 是 的中点，两边 、 分别交
于点 ，当 在 内绕顶点 旋转时（点 不与 重合），现给出以下四个结论：
① ；② 是等腰直角三角形；③ ；④ ，其中所有正确结论的序号
为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的性质等知识
点，根据等腰直角三角形的性质得出 ， ，
，求出 ，证 ，推出 ， ，即可判定①②，推出 ，求出 ，即可判定③，由 ，而 只有是 的
中位线时， ，即可判定④，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】 中， ， ， 是 中点，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
①②正确，符合题意；
，
，
，
③正确，符合题意；
是等腰直角三角形， 是 的中点，
，
不是 的中位线，
，
故④错误，不符合题意；
即正确的有①②③，
故选：A．
2．如图，已知 中， ， ，直角 的顶点P是 的中点，两边 、 分
别交 、 于点E、F，给出以下五个结论：① ；② ；③ 是等腰直角三角形；④ ；⑤ ．当 在 内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），
上述结论中始终正确的序号有 ．
【答案】①②③⑤
【分析】根据同角的余角相等求出 ，可判定②正确，然后利用“角边角”证明
，可判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到 是等腰直角三角形，判定③正
确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的 倍得出 ，可知 随着点E的变化而变化，
判定④错误，根据 ， ，可证 ，判定⑤正确．
【详解】∵ ，P是 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，点P是 的中点，
∴ ， ．
在 与 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ．又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，故③正确；
④∵ ， 的值不断变化，
∴ 的值不固定，
∴不能得出EF=AP，故④错误；
⑤∵ ，同理可证 ，
∴ ，故⑤正确．
故正确的序号有①②③⑤
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜
边的中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
3．已知：P是 对角线 所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直
线 作垂线，垂足分别为E、F，O为 的中点．
(1)如图①，当点P与点O重合时，求证 ；
(2)如图②，当点P与点O不重合时，求证 ；
(3)直线 绕点B逆时针方向旋转，当 时，如图②、图③的位置，猜想线段 ， ， 之
间有怎样的数量关系？请直接写出你对图②、图③的猜想，并对图③予以证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)图2中的结论为： ，图3中的结论为： ，证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边的中线，等边三角形的性质和判定等知识，
解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
（1）由 即可得出结论．
（2）延长 交 于点G，证明 得 ，结合直角三角形斜边中线的性质即可解决
问题．
（3）图2中的结论为： ，延长 交 于点G，只要证明 ， 是等边三角形，即可解决问题．
图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）延长 交 于点G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（3）图2结论为 ．证明如下：
延长 交 于点G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
选图3的结论为：
证明如下：
延长 交 的延长线于点G，∵ ，
∴ ，
∴∠AEO=∠G，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【经典例题十三 动点问题】
【例13】如下图，已知点P是 角平分线上的一点， M是 的中点，，如果点C是 上一个动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作 于C′，根据直角三角形的性质求出 ，根据角平分线的性质解答．
【详解】作 于C′，则 为 的最小值，
∵ ，M是 的中点，
∴ ，
∵P是 角平分线上的一点， ，
∴ ，
∴ cm，
∵P是 角平分线上的一点， ，
∴
故 的最小值为2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
1．如图，在 中， ， ，则 ．请在这一结论的基础上继续思考：
若 ，点 是 的中点， 为边 上一动点，则 的最小值为（ ）A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】过 作 于 ，过点 作 于 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、
等边三角形的性质可得 ，再两点之间线段最短、垂线段最短可得 的最小值为 ，利用
勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，过点 作 于 ，连接 ，
，点 是 的中点，
，
，
，
为正三角形，
，
，，
，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 取得最小值，最小值为 ，
由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
即 的最小值为 的长，
， ，
，
，
即 的最小值为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确
找出当点 与点 重合时， 取得最小值是解题关键．
2．如图，在 中， ， ， ，以 为边向左作等边 ，点 为
中点，连接 ，点 分别为 上的动点．求 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂
直平分线的性质．根据题意，连接 ，先证 ， ，故 ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 取得最小值 ．
【详解】解：如图，连接 ，∵在 中， ，点 为 中点，
∴
∵
∴
∴ 是等边三角形
是等边三角形
，
垂直平分
同理可得： 垂直平分
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 取得最小值 ，
故 的最小值为4．
故答案为：4．
3．如图1，在 中， ， ， 为 中点， 为射线 上一动点．
(1)连接 ，求证： 是等边三角形．(2)当点 在线段 上（如图1所示的位置），
①尺规作图：连接 ，在 右侧作等边 ，直线 与直线 交于点 ．（不写作法，保留作图
痕迹）
②连接 ，在①的条件下，求证： ．
(3)点 在射线 运动的过程中，当 为等腰三角形时，请求出 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)①作图见解析；②证明见解析
(3) 的值为 或 或 或
【分析】（1）根据直角三角形的性质及等边三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的定义，按照题目要求求解即可得到结论；②连接 ，根据直角三角形的性质得
到 ，根据等边三角形的性质得到 ， ，得到 ，
根据等边三角形的性质得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到结论；
（3）分四种情形：如图 中，当 时，设 ，如图 中，当 时，设
，如图 中，当 时，设 ，分别构建方程求解即可．
【详解】（1）证明： ， 为 中点，
，
，
是等边三角形；
（2）①解：如图所示：
等边 即为所求；
②证明：连接 ，如图所示：， ，
，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
垂直平分线段 ，
；
（3）解：如图 中，当 时，设 ，
则 ，
，；
如图 中，当 时，设 ，
则 ，
，
；
如图 中，当 时，设 ，
则有 ，
，
；
如图 中，当 时，设 ，则 ，， ，
，解得 ，
综上所述， 的值为 或 或 或 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、尺规作图作相等线
段、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质及角的和差倍分关系
等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
1．如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得 ，再往前行进 到达B处，测得
，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔CD的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外
角的性质得出 ，可得 ，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一
半即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故选：B．
2．如图所示，在 中， ， 平分 于点 ，如果
， 那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了含30°的直角三角形的性质，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题
的关键．
【详解】解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C ．
3．若等腰三角形的腰长为 ，腰上的高为 ，则此三角形的顶角是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】分类讨论， 为锐角三角形或钝角三角形，取斜边中点，利用等边三角形的判定与性质结合
直角三角形的性质，等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图1，由题意得 ，高线 ，
∴ ，
取 中点为点K，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即顶角是 ，
如图2，
由题意得腰长 ，高线 ，
∴ ，
同上可求 ，
顶角 ，
所以，此三角形的顶角是 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，外角定理，等腰三角形的性质，熟练
掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．4．如图，在四边形 中， ，E为对角线 的中点，连接 ， ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，设 的度数为 ，根据已知条件可以判断 ，根据三角形外角
定理可得到： ，同理 ，
，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用、等腰三角形的性质，掌握基本定理是解题
的关键．
【详解】解：连接 ，设 的度数为 ，
∵ ，E为对角线 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
同理可得到： ， ，
在等腰三角形 中， ；
解得 ，
∴ ，
故选：A．5．如图，在 中， ， 平分 ， 与 交于点D， ， 与 交于点
E， ，那么 为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】作 边 的中线 ，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案；
【详解】解：作 边 的中线 ，
∵ ， 是 边 的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是作出辅助线得到
．
6．如图所示是“人字形”钢架，其中斜梁 ，顶角 ，跨度 ， 为支柱 即底边 的中线 、两根支撑架 、 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出
，根据直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半得到 ， ，两式
相加，即可证明 ，掌握直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解： ， ，
，
， ，垂足为 ， ，
， ，
，
．
故选： ．
7．如图，在 中， ， ， 是斜边 上的中线，将 沿 翻折，使点
B落在点F处，线段 与 相交于点E，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得 ， 即可得到
，由折叠的性质得 ，则 ，由三角形外角的性质即可得到
的度数．
【详解】解：∵在 中， ， ， 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折，使点B落在点F处，线段 与 相交于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的
性质是解题的关键．
8．如图： 是边长为 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 、 方向匀
速移动，它们的速度都是 ，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停
止运动．设点P运动的时间为 ．当t为 时， 是直角三角形．
【答案】1或2/2或1
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的
关键；分两种情况： ； ．然后在直角三角形 中根据 的表达式和
的度数进行求解即可．
【详解】解：在 ，
根据题意得： ， ，若 是直角三角形，则 或 ，
当 时， ，
即 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
∴当 或 时， 是直角三角形．
故答案为：1或2．
9．如图， ， ，线段 的垂直平分线 交 于D，交 于E，D为垂足，
，则 ．
【答案】3
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质．注意求得 是关键．
由于 为线段 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得 ，继而求得
，则可求得 的度数，然后由含30°的直角三角形的性质，求得答案．
【详解】解： 为线段 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：3．10．如图，在 中， ，D为 的中点， ，点E在 上，且 ，则
的大小为 ．
【答案】 /75度
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由直角三角形斜边中线的性质，得出
，再证明 ，可得结论．
【详解】解：∵ ，D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∵
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
11．如图，已知线段 ，点P是线段 上的一个动点，以 为边作等边 ，以 为直角边，
在 同侧构造Rt ， 为直角，点A是 的中点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，直角三角形斜边中线性质，角平分线性质等．
连接 ，并延长 至 ，由直角三角形的性质得出 ，证明 ，由
全等三角形的性质得出 ，当 时， 最小，，则可得出答案．【详解】解∶ 连接 ，并延长 至 ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在 的角平分线 上运动，
当 时， 最小，
∴ ，
故答案为：4．
12．如图，在 中， ， ， ，将 沿着BC翻折得到 ，J是直线
CM上一点，K是射线AC上一点，若满足 ， ，则 ．（提示：在直角三
角形中， 所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】 或
【分析】本题考查了直角三角形性质，折叠性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作
辅助线，构造全等三角形．分类讨论，当点 在线段 上时，以及当点 在射线 的延长线上时，分
别作图，运用全等三角形的判定与性质，以及线段的和差关系，列式代入数值，即可作答．【详解】解：如图，
当点 在线段 上时，作 于 ， 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
如图，当点 在射线 的延长线上时，由上得， ，
，
，
综上所述： 或 ．
故答案为： 或
13．如图， 是等边三角形， ，点M从点B出发沿射线 运动，运动速度为每秒1个单位，
在运动的过程中要使 为直角三角形，则点M的运动时间为 秒．
【答案】2或8
【分析】本题考考查了等边三角形的性质，勾股定理，含有 角的直角三角形的三边关系，分类讨论，
即 或 ，两种情况，即可解答，注意分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①当 时，如图所示，
， 是等边三角形， ，
为 的中线，
，；
②当 时，如图所示，
， 为等边三角形，
，
，
，
，
综上所述，点M的运动时间为2或8秒，
故答案为：2或8．
14．如图，在四边形 中， ， ， 相交于点E，点G，H分别是 ， 的
中点，若 ，则 ．
【答案】 /80度
【分析】连接 和 ，根据直角三角形斜边上中线性质得出 ，根据等腰三角形性质求
出 ，求出 ，即可得出答案．
【详解】解：连接 和 ，如图所示，
∵H为 的中点， ，∴ ，
∵G为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出
是解此题的关键．
15．如图， ．
(1)在 中， ______， ______ ；
(2)求证： 是等边三角形．
【答案】(1) ，2
(2)见解析
【分析】本题考查等边对等角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定：
（1）等边对等角，求出 的度数，根据含30度角的直角三角形的性质，得到 即可；
（2）根据3个角都是60度的三角形是等边三角形，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ，2；
（2）由（1）知： ，∴ ，
∴ 是等边三角形．
6．【课本再现】
本学期同学们在学习第十三章《轴对称》，第三单元 等腰三角形，第二课 等边三角形时 ，
学习了一个定理．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【定理探索】
书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图形写出已知、求证并给出定理的证明．
【定理应用】
(1)如图（1），在 中， ， ， 交 于点 ， ，则 的长为( )
A．8 B．4 C．12 D．6
(2)如图（2），在 中， ， ， ．点 是斜边AB上一点，把 沿
CD折叠，得到 ．
①若 ，则 =________ ；
②当折痕 时，求点 的位置(即求AD的长)．
【答案】【定理探索】详见解析；【定理应用】（1） ；（2）①40；② ．
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角
和定理；
[定理探索] 延长 到 ，使 ，进而证明 是等边三角形，即可得证；
[定理应用]（1）先根据等边对等角得出 ，进而得 可得 ，根据含30度
角的直角三角形的性质得出 ，根据 ，即可求解；
（2）①设 ，根据折叠的性质得出 ，进而根据 ，求得 ，
在 中，根据三角形内角和定理，即可求解；
②在 中，根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，当 时根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，进而根据 ，即可求解．
【详解】[定理探索]已知：在 中，
求证：
证明：如图，延长 到 ，使
又
垂直
在 中，
又
是等边三角形
又
即
[定理应用]（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故选：C．
（2）①解：设
∵折叠，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
即
解得：
∵ ，
∴
故答案为：40．
②解：在 中
．
，
在 中
是直角三角形
又17．如图，在 中， 是高， 是中线， 垂直平分 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质、掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一
半是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到
，证明结论；
（2）根据等腰三角形想的性质得到 ，根据三角形的外角性质列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ 是高， 是中线，
∴ 是 的斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
38．已知：如图， ， 、 分别是 、BD的中点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，等边三角形的判定和性质；
（1）由直角三角形斜边中线的性质推出 ，由等腰三角形的性质即可证明 ；
（2）由等腰三角形的性质推出 ， ，由三角形外角的性质求出 ，
得到 是等边三角形，即可求出BD的长．
【详解】（1）证明：连接 ，DE，
， 、 分别是 、BD的中点，， ，
，
是BD中点，
；
（2）解： ， 、 分别是 、BD的中点，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
是等边三角形，
．
19．已知， 与 都是等腰直角三角形， ， ， ，如图，连
接 、 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点D在 内，B、D、E三点在同一直线上．
①过点A作 的高 ，证明： ；
②如图3，若 平分 ， 交 于点G， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②【分析】（1）根据“ ”易证 ，即可证明结论；
（2）①由（1）知： ，根据等腰三角形三线合一的性质可知，点 是 的中点，再根据直角三
角形斜边中线等于斜边一半，得到 ，即可证明结论；
②延长 A交于点K，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，易证 ，得到
，再根据三角形外角的性质，得到 ，从而证明 ，得到 ，
即可得到答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：①由（1）知： ，
， ，
点 是 的中点，
，
，即 ，
B，D，E三点在同一直线上，
；
②解：如图，延长 A交于点K，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，是 平分线，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形外
角的性质等知道，作辅助线构造全等三角形，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
20．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个
相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线 为 的“美丽线”．（1）通过画图，数学小组的同学发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 中， ．求作：直线 ，使得直线 将 分割成两个等腰三角形．使用
直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）在 中， ， ．若 存在过点C的“美丽线”，试探究 与 的关系．
下面是对这个问题的部分探究过程：
设 为 的“美丽线”，点D在边 上，则 与 中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当 时，因为 ，所以 ，且 为锐角，则 为钝角，
所以在 中， ．由此可以得到 与 的关系为________，其中 的取值范围为
________．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出 与 的关系为________，其中 的取值范围为
________．
【答案】（1）见详解，（2）探究1： ， ，探究2： 与 的关系有 ，
或 ， 或 ，
【分析】（1）作出直角三角形斜边的中线，即可求解；
（2）探究1：根据“美丽线”的定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解；
探究2：根据“美丽线”的定义，图形结合（图示见详解），分类讨论，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）作图如下：
直线 即为所求．
根据斜边的中线等于斜边的一半，可得： ，
∴直线 将 分割成两个等腰三角形；
（2）探究1：∵在 中， ， ，
∴ ，
如图所示，设 为 的“美网线”，
当 时， 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ 为锐角，
∴ 为钝角，
∴在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
整理得， ，
∴ 与 的关系为： ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
解得：
∴ 取值范围为： ；
探究2：①如图所示， 是 的“美丽线”，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，整理得， ，
同探究1，可得： 取值范围为： ；
②如图所示， 是三角形 的“美丽线”，
∴ ， ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，即 ；
③如图所示，当 ， 是三角形 的“美丽线”，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上所述， 与 的关系有 ， 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“美丽线”、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等
知识，本题综合性强，理解新定义“美丽线”，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
