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培优点 1 柯西不等式与权方和不等式
题型一 柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
2．二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
(3)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
3．二维形式的柯西不等式的向量形式
|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)．
例1 已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值．
解 方法一 由柯西不等式得
(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]
＝(3x2＋2y2)≤11.
当且仅当x·＝y·，
即或时等号成立，
于是2x＋y的最大值为，最小值为－.
方法二 由柯西不等式得
|2x＋y|≤
＝≤，
当且仅当x·＝y·，
即或时等号成立，
于是2x＋y的最大值为，最小值为－.
思维升华 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变
结构、添项等方法．
跟踪训练1 设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为________．
答案 4
解析 ∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，
∴a·b＝x－2y.
由柯西不等式的向量形式可得
[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，
即5×16≥(x－2y)2，∴－4≤x－2y≤4，(*)
当且仅当b＝ka，
即时，(*)式中右边等号成立，
或时，(*)式中左边等号成立，
∴当x＝，y＝－时，a·b的最大值为4.
题型二 权方和不等式
1．二维形式：已知x，y，a，b∈R ，则有＋≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立)．
＋
2．一般形式：设a，b∈R (i＝1,2，…，n)，实数m>0，则≥，当且仅当＝＝…＝时等号成
i i ＋
立．称之为权方和不等式．m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次．
例2 (1)若x>0，y>0，＋＝2，则6x＋5y的最小值为________．
答案 ＋2
解析 ＋＝＋＝＋≥＝，
即2≥，因为x>0，y>0，
则6x＋5y≥＋2，
当且仅当＝，
即x＝，y＝时取等号．
(2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．
答案
解析 ＋＋
≥＝，
当且仅当＝＝，
即x＝y＝z＝时取等号．
思维升华 (1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多 1，出现定值是解题
的关键．
(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式．
(3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次．
跟踪训练2 (1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．
答案 27
解析 ＋＝＋≥＝27，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
(2)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则＋＋的最小值为( )
A．1 B．3 C．6 D．9
答案 D
解析 ∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝2≥＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．1．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－5 B．－6 C．3 D．4
答案 A
解析 ∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
∴＋＝1，
∴(16＋9)≥(2x＋y)2，
即－5≤2x＋y≤5，
当且仅当3x＝8y，
即时，左边取等号，
当时，右边取等号，
∴z＝2x＋y的最小值是－5.
2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表
述如下：设a，b，x，y>0，则＋≥，当且仅当＝时，等号成立．根据权方和不等式，函数
f(x)＝＋的最小值为( )
A．16 B．25 C．36 D．49
答案 B
解析 因为a，b，x，y>0，则＋≥，
当且仅当＝时，等号成立，
又00，
于是得f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，
所以函数f(x)＝＋的最小值为25.
3．若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为( )
A．14 B. C．29 D.
答案 B
解析 根据柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥，当且仅当
x＝，y＝，z＝时等号成立．
4．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．
答案 36
解析 ＋＋＝＋＋≥＝36，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．
5．f(x)＝＋的最小值为________．
答案
解析 f(x)＝＋
＝＋≥＝，
当且仅当＝，
即sin x＝±，cos x＝±时取等号．
6．若a>1，b>1，则＋的最小值为________．
答案 8
解析 ＋≥，
令a＋b－2＝t，
则＝＝t＋＋4≥8，
当且仅当即a＝b＝2时取等号，
所以＋的最小值为8.
