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专题 01 柯西不等式与权方和不等式
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题型01 二维形式下的柯西不等式..............................................................1
题型02 三维形式下的柯西不等式..............................................................2
题型03 权方和不等式........................................................................3
题型 01 二维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
【典例训练】
一、单选题
1．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯
西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量 , ,由 得到
,当且仅当 时取等号.现已知 , , ,则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．若实数a，b，c，d满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
3．（2024·浙江·一模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题4．（2024高三上·新疆·期中）已知 ， ，且不等式 恒成立，
则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设
了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知
识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量 时，有 ，即
，当且仅当 时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数
变换，得到了一个新不等式： ，当且仅当 时等号成立，并取名
为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当 时， 的最小值是 ．
题型 02 三维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
柯西不等式的扩展： ，当
且仅当 时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对 ，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
【典例训练】
一、填空题
1．（2024高三下·浙江·阶段练习）若 ，则 的最小值为 ．
2．（2024高三下·浙江·阶段练习）已知 ， ，则 的
最小值为 .
3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）存在正数 使得不等式 成立，
则 的最大值是 .
4．已知 ，且 ，实数 满足 ，且 ，则
的最小值是 ．
二、解答题
5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ，
，当且仅当 时，等号成立.我们从不等式 出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为： ，且 ，
，当且仅当 时，等号成立.
(1)若 ，求 的最小值；
(2)求 的最大值；
(3)若 ， ，不等式 恒成立，求m的取值范围.
6．（23-24高三下·黑龙江佳木斯·期中）在 中， ， ， 对应的边分别为 ， ， ，
.
(1)求 ；
(2)若 为 边中点， ，求 的最大值；
(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在数学领
域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西
不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若 ，P是 内
一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式： ， ，
， ，当且仅当 时等号成立.求 的最小
值.
题型 03 权方和不等式
【解题规律·提分快招】
若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立.
权方和不等式：
证明1：
要证
只需证即证
故只要证
时，等号成立
当且仅当
，当且仅当 时，等号成立.
即
证明2：对柯西不等式变形，易得 在 时，就有了
当 时，等号成立．
推广1： 当 时，等号成立．
推广:2：若 ，则 ，当 时，等号成立.
推广3：若 ，则 ，当 时，等
号成立.
【典例训练】
一、填空题
1．已知正实数 、 且满足 ，求 的最小值 .
2．（2024高三·全国·专题练习） 的最小值为 .
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的最小值为 .
一、单选题
1．实数x、y满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
2．若实数 ，则 的最小值为（ ）A．14 B． C．29 D．
3．已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．设非负实数 ， ， 满足 ，则 的（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
5．（24-25高三上·新疆·期中）已知 ， ，且不等式 恒成立，
则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．已知正实数 、 且满足 ，求 的最小值 .
7．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，求 的最小值为
8．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，c为正实数，且满足 ，则 的最
小值为 .
9．（23-24高三下·全国·强基计划）已知 ，则 的取值范围是 ．
四、解答题
10．（23-24高三下·山东·期中）在 中， 对应的边分别为
.
(1)求 ；
(2)奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以
他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛
的应用.
①用向量证明二维柯西不等式： ；
②已知三维分式型柯西不等式： ，当且仅当 时等号
成立.若 是 内一点，过 作 的垂线，垂足分别为 ，求的最小值.
