素养拓展07导数中利用构造函数解不等式（精讲+精练）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展 07 导数中利用构造函数解不等式（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为 ； （2）判断函数 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式 （组），但要注意函数奇偶性的区别. 二、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于 ，构造 模型2.对于不等式 ，构造函数 . 模型3.对于不等式 ，构造函数 拓展：对于不等式 ，构造函数 模型4.对于不等式 ，构造函数 模型5.对于不等式 ，构造函数 拓展：对于不等式 ，构造函数 模型6.对于不等式 ，构造函数 拓展：对于不等式 ，构造函数模型7.对于 ，分类讨论：（1）若 ，则构造 （2）若 ，则构造 模型8.对于 ，构造 . 模型9.对于 ，构造 . 模型10.（1）对于 ，即 ， 构造 ． （2）对于 ，构造 ． 模型11.（1） （2） 二、题型精讲精练 【典例1】定义在R上的可导函数 满足 ，若 ，则m的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【解析】令 ，则 ，则 在R上单减， 又 等价于 ， 即 ，由单调性得 ，解得 .故选：B. 【典例2】已知定义在 上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【详解】令 ，则 ，所以 在 单调递减， 不等式 可以转化为 ，即 ，所以 .故选：D. 【典例3】设函数 是函数 的导函数， ， ，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】依题意，令函数 ，则 ，且 ， 所以 是 上的增函数， ，解得 ．故选：A 【典例4】定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ， 且 为奇函数，则不等式 的解集是（ ） A． B．(−∞,ln2022) C． D． 【解析】设 ，则 ， 因为 ，所以 ， 为定义在 上的减函数， 因为 为奇函数，所以 ， ， ， ，即 ， ， ，故选：C.【典例5】已知 是定义域为 的奇函数 的导函数，当 时，都有 ， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为 是奇函数，所以 是偶函数．设 ， ∴当 时， ， ∴ 在区间 上是增函数，∴ 在区间 是减函数， ∵ ．当 时，不等式 等价于 ， 当 时，不等式 等价于 ， ∴原不等式的解集为 ．故选：D． 【题型训练】 1.加减法模型 一、单选题 1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知 是定义在R上的奇函数, 是其导函数.当x≥0时, 且 ,则 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 ，可得 因为当x≥0时, ， 所以 在 上递增， 又因为 是定义在R上的奇函数， 所以 的图像关于 对称，如图， 所以 在R上递增， 又因为 ，所以 ， 则 等价于 ， 所以 ，即 的解集是 ， 故选：C. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ， 则 ， 所以 在 上单调递增， , 等价于 , 即 ， 即 ，所以不等式 的解集为 . 故选：A. 3．（2023·漠河市高级中学）已知 是定义在 上的奇函数， 是函数 的导函数且在 上 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，则 又 上， ，则 ，即函数 在 上单调递减， 又 是定义在 上的奇函数，则函数 为 上的奇函数，故 在 上单调递减， 又 , ，即 可得： ，解得： .故选：B. 4．（2023·全国高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，对 恒有 ， 则 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，则 ，又因为对 恒有 所以 恒成立，所以 在R上单减.又 ，所以 的解集为 故选：B 2. 和 模型 一、单选题 1．（2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数 的导函数为 ，若 对任意的实数x，不等式 恒成立，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则 ，所以 在R上单调递减； 由 ，得 ，即 ，所以 ，解得 .故选：A. 2.（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）设定义R在上的函数 ，满足任意 ，都有 ，且 时， ，则 ， ， 的大小关系是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，任意 ，都有 ，所以 是周期为 的周期函数. 所以 . 构造函数 ， 所以 在区间 上单调递增，所以 ， 即 ，也即 . 故选：A 3．（2023秋·陕西·高三校联考期末）定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒 成立，则（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【详解】设函数 ， ，则 ， 所以 在 上单调递减，从而 ， 即 ，则 . 故选：A. 4．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设定义在 上的奇函数 的导函数为 ，已知 ，当 时， ，则不等式 的解集为________． 【答案】 【详解】令 ，取 ，则函数 为偶函数， 当 时， ，故 ，即 ， 由偶函数性质知，函数 在 是严格减函数，在 是严格增函数， 又 ，故 等价于 或 ， 解得 ． 故答案为： 3. 和 模型 一、单选题 1．（2023·贵州贵阳·高三月考（理））已知 是函数 的导数，且满足 对 恒成立， ， 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令 ，求导，根据题意，得到 在区间 上单调递增，再由题意，得到 ，进而可得出结果. 【详解】令 ，则 ， 因为 对 恒成立，所以 对 恒成立，∴ 在区间 上 单调递增； 又∵ ， 是锐角三角形的两个内角，∴ ，∴ ，∴ ， 因此 ，即 ，∴ .故选：C. 2．（2023·陕西渭南·高三期末（理））已知定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意 满足 ，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数 ,则 ,因为 ,故 , 因此可得 在 上单调递减，由于 ，故 ，故选：A 3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不等式一定成 立的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数 ， 在 时恒成立， 所以 在 时单调递增， 所以 ，即 ，所以 ， 故选:C. 4.（2023·全国·高三专题练习） 是定义在 上的函数，满足 ， ，则下列说法正确的是（ ） A． 在 上有极大值 B． 在 上有极小值 C． 在 上既有极大值又有极小值 D． 在 上没有极值 【答案】D 【详解】解：根据题意， ，故 ， 又 ，得 ，故 ， 令 ， 则 ， 即 ， 记 ， 所以 ， 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上递减，在 上递增， 所以 ，即 ，即 ， 所以 在 上单调递增，故 在 上没有极值. 故选项ABC说法错误，选项D说法正确. 故选：D 5.（2023秋·陕西汉中·高三统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，且有 ， 则 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ，则 ， ∴ 在 上单调递减. 又 ，则 . ∵ 等价于 ，即 ， ∴ ，即所求不等式的解集为 .故选：B． 6.（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令 ，函数 的定义域为 ， 因为 所以， 故 故 在R上单调递减， 又因为 所以， ， 所以不等式 可化为 ， 所以 ， 所以 的解集为 故选：B. 4. （sinx）和 （cosx）模型 一、单选题 1．（2023·广东·东莞市东华高级中学高三期末）已知函数 为 上的偶函数，且对于任意的 满足 ，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：偶函数 对于任意的 满足 ， 令 ，则 ，即 为偶函数．又 ，故 在区间 上是减函数， 所以 ， 即 ，故B正确； ，故A错误； ，故C错误； ，故D错误；故选：B． 2.已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且对于任意的 ，都有 ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意：构造函数 ， 则 在 恒成立， 所以 在 单调递减，所以 所以 ， 即 故 ， ， ， 故选：A 3.（2023·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续 不间断，任意 ，有 ，若 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令 ，定义域为 ， 因为函数 为奇函数，所以 ， 则函数 是定义在 上的奇函数， ， 因为任意的 ，有 ， 所以当 时， ，则 在 上单调递增， 则函数 是 上的奇函数并且单调递增， 由 ，因为 ，所以 , ，即 ，所以 ， 又因为 ，因此 .故选：C. 4.（2023·江苏·高三阶段练习）已知定义在 的函数 的导函数为 ，且满足 成立，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ，则 ，所以 在 上是减函数， 所以 ，即 ，A错； ，即 ，B正确； ，即 ，C错； 的正负不确定，因此 与 大小不确定，D不能判断．故选：B． 5.（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有 ，则关于x的不等式 的解集为（ ） A．（ ，π） B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令 ，因为当 时，有 ，所以，当 时， ，所以，函数 在( 内为单调递减函 数， 所以，当 时，关于 的不等式 可化为 ， 即 ，所以 ； 当 时， ，则关于 的不等式 可化为 ，即 因为函数 为奇函数，故 ，也即 所以 ，即 ，所以， ．综上，原不等式的解集 .故选：D． 6．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意 ，不等式 恒成 立，则下列不等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数 ，对其求导后利用已知条件得到 的单调性，将选项中的角代入函 数 中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项. 【详解】解：构造函数 ，则 ，∵ ，∴ ，即 在 上为增函数， 由 ，即 ，即 ，故A正确； ，即 ，即 ，故B正确； ，即 ，即 ，故C正确； 由 ，即 ，即 ，即 ， 故错误的是D．故选D．