文档内容
第 09 讲 拓展二：构造函数法解决导数不
等式问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：构造 或 ( ，且 )型
高频考点二：构造 或 ( ，且 )型
高频考点三：构造 或 型
高频考点四：构造 或 型
高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
第四部分：第 09 讲 拓展二：构造函数法解决导数不等式问题 （精
练）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 是奇函数 的导函数， ，当x>0时，
，则使 成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
设 ，则
当 时， ，即 在 上单调递增.
由于 是奇函数，所以 , 是偶函数，所以 在 上单调递
减.
所以 ，所以当 或 时， ；
当 或 时， .
所以当 或 时， .
故选：B.
2．（2022·全国·高二单元测试） 是定义在R上的可导函数，且 对任意正实数a恒成立，
下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D解：令 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在R上单调递增，又因为 ，所以 ，
即 ，即 ，故D正确，
故选：D．
3．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知 为偶函数，且当 时， ，其中
为 的导数，则不等式 的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】A
令 ，
则根据题意可知， ，∴g(x)是奇函数，
∵ ，
∴当 时， ， 单调递减，
∵g(x)是奇函数，g(0)＝0，∴g(x)在R上单调递减，
由不等式 得，
.
故选：A.
4．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习） 在 上的导函数为 ， ，则下列不
等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
令 ，则 ，
， ， 在 上单调递增，
，即 ， .
故选：A.5．（2021·甘肃·兰州一中高三阶段练习（理））已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为 ，
当 时，有 成立，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为偶函数 的定义域为 ，设 ，则 ，即 也是偶函数.
当 时，根据题意 ，则 在 上是减函数，而函数为偶函数，
则 在 上是增函数.
于是， ，所以 .
故选：A.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：构造 或 ( ，且 )型
1．（2022·四川·广安二中高二阶段练习（理））已知函数 是定义在 的奇函数，当
时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令 ，
当 时， ，
当 时， ，在 上单调递减；
又 为 ， ， 的奇函数，
为偶函数，
在 上单调递增；
又不等式 ，即 ，
当 ，即 时， 式可化为 ，即 （5），
又 在 上单调递减，
可得 ，解得 ；
当 ，即 时， 式可化为 ，即 （5） ，
又 在 上单调递增；
可得 ，解得 ；
综上所述，不等式 的解集为： ．
故选：D．
2．（2022·河南洛阳·高二期末（文））已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若
，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：令 ，则 ，
又不等式 恒成立，
所以 ，即 ，所以 在 单调递增，
故 ，即 ，所以 ，
故选：B．
3．（2022·河南濮阳·一模（理））已知函数 为定义域在R上的偶函数，且当 时，函数 满
足 ， ，则 的解集是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
由题可知，当 时， ．令 ，则 ，
，令 ， ，
令 ，解得 ．可知函数 在 上单调递减﹐在 上单调递增．
又 ，所以 ， ，所以函数 在 上单调递减，
，可化为 ，又函数 关于 对称，
故 或 ，
所以不等式的解集为 ．
故选：A
4．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知定义域为 的偶函数 ，其导函数为 ，对
任意正实数 满足 且 ，则不等式 的解集是（ ）
A．（－∞，1） B．（－1，1）
C．（－∞，0）∪（0，1） D．（－1，0）∪（0，1）
【答案】D
【详解】
令 且 ，则 ，又 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
由 为偶函数，则 ，故 也为偶函数，
而 ，且 等价于 ，
所以 ，故 .
故选：D
5．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））已知函数 的定义域为 ，且满足
（ 是 的导函数），则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
令 ，则 ，即 在 上递增，
又 ，则 等价于 ，即 ，
所以 ，解得 ，原不等式解集为 .
故选：C
6．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时，有
成立，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
成立设 ，
则 ，即 时 是增函数，
当 时， ，此时 ；
时， ，此时 ．
又 是奇函数，所以 时， ；
时
则不等式 等价为 或 ，
可得 或 ，
则不等式 的解集是 ，
故选： ．
高频考点二：构造 或 ( ，且 )型
1．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（理）） 是定义在 上的函数， 是 的导函数，已知，且 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，可化简为 ，
令函数 ，则 .因为 ，所以 ， 在R上单调递增.又
，而 等价于 ，即 ，所以 ，解得 .
故选：B
2．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）若 在 上可导且 ，其导函数 满足
，则 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设 ，则 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，所以 单调递减，
又 得 ，由 等价于 ，
所以 ，即 的解集是 .
故选：C.
3．（2022·山东·枣庄市第三中学高二阶段练习）已知f（x）为定义在R上的可导函数， 为其导函数，
且 恒成立，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
设函数 ，可得 ，因为 ，可得 ，所以 ，可得 单调递增，
则 ，即 .
故选：B.
4．（2022·福建福州·高二期末）若定义在R上的函数 满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
构造函数 ，则 ，故 在 上单调递减；
又 ，故可得 ，则 ，即 ，解得 ，
故不等式解集为 .
故选：B.
5．（2022·江苏泰州·高二期末）已知函数 满足 对于 恒成立，设
则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 函数 在 上为增函数，
∵ ，∴ ，故 ，所以 ，C错，
令 ( )，则 ，当 时， ，当 时，
∴ 函数 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，
又 ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故 ，所以 ，D错，
，故 ，所以 ，A对，
，故 ，所以 ，B错，
故选：A.
高频考点三：构造 或 型
1．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）若函数 的导函数为 ，对任意 ，
恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为任意 恒成立，
即任意 恒成立，
所以 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
故选：B
2．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）已知函数 图象关于点 对称，且当 时，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由 关于点 对称可知， 关于点 对称，则 为奇函数
令 ，则 为偶函数，
又 时， ，即
则 在 上单调递增，
则有
即
就是 ，
故选：D
3．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知函数 为函数 的导函数，满足
， ， ， ，则下面大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
根据题意， ，
变换可得：，
分析可得， ， ， ， ，
， ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒有
成立，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
， ，
设 ，则 ，
则 在 上为增函数，
对于A，因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以A错误，
对于B因为 ，所以 ，即 ，得 ，所以B错误，
对于C，因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以C错误，
对于D，因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以D正确，
故选：D．
高频考点四：构造 或 型
1．（2022·广东·广州市第四中学高二阶段练习）设函数 是定义在 上的函数 的导函数，有
，若 ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：设 ，
则 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，
，
，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 对于任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
设 ，则 ，则 在 单增，
对A， ，化简得 ，故A错；
对B， ，化简得 ，故B错；
对C， ，化简得 ，故C正确；
对D， ，化简得 ，故D错，
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 对任意的 满足 （其中
为函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【详解】
解：令 ，
故 ，
故 在 递增，所以 ，可得 ，即 ，所以D正确；
故选：D．
4．（2022·全国·高二）定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若恒有 ，则
下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令 ，则
因为 ，因为 所以
得
所以 在 上单调递减，
故 ，所以 ，有
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续不间断，任意
，有 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，定义域为 ，
因为函数 为奇函数，所以 ，
则函数 是定义在 上的奇函数，
，
因为任意的 ，有 ，
所以当 时， ，则 在 上单调递增，
则函数 是 上的奇函数并且单调递增，
由 ，
因为 ，所以
，即 ，
所以 ，
又因为 ，因此 .
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是函数 的导函数，对任意 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
令 ，则 ，对于任意 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ， ， .
故选：C．
高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
一、单选题
1．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 是定义在R上的可导函数，其导函数为 ．若 ，
且 ，则使不等式 成立的x的值可能为( )
A．－2 B．－1 C． D．2
【答案】D
【详解】
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 在定义域R上单调递减．
∵ ，∴ ，
∴不等式 等价于 ，即 ，解得 ，
结合选项可知，只有D符合题意．
故选：D．
2．（2022·广东梅州·二模）已知 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数，当 时，
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】
令 ，
则 ，
所以函数 在 上递增，
又因 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
又因当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，
又因为 ，所以当 时， ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，当 时， ，
由不等式 ，
得 或 ，
解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：B.
3．（2022·陕西榆林·三模（理））已知 是定义在 上的函数， 是 的导函数，且
， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
令 ，则 ，则 是增函数，故 ，即 ，可得 .
故选：D
4．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 的定义域为 ，其导函数是 ，且
．若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
构造函数 ，其中 ，
则 ，
故函数 在 上为增函数，且 ，
因为 ，由 可得 ，即 ，解得 .
故选：B.
5．（2022·江西·临川一中高二阶段练习（理））已知 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数，
，当 时， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设 ，则 ，
由已知 时， ， 单调递减，而 ，
所以 时， ，此时 ，所以 ，
时， ，此时 ，所以 ，而 ，
因此 时， ， 是奇函数，所以 时， ，
或 ，解得 或 ．
故选：D．
6．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习（文））已知函数 为 上的可导函数，
其导函数为 ，且满足 恒成立， ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
构造函数 ， ,
则 ，故 为R上的单调减函数，
不等式 ，即 ，即 ，
，
故选：
7．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知 是定义在 上的函数，其导函数为 ，且
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即函数 为 上的增函数，
因为 ，不等式 可化为 ，
所以 ，故不等式 的解集为 ．
故选：B
8．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在 上的函数 满足
（ 为自然对数的底数），其中 为 的导函数，若 ，则 的
解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设 ，则 ，所以 等价于 ，
由 ，可得
则 ，
所以 在 上单调递增，所以由 ，得 ．
故选：D
9．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知函数 的定义域为 ，图象关于原点对称，
其导函数为 ，若当 时 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
构造函数 ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上单调递减，
易知 ，当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，
因为函数 的定义域为 ，图象关于原点对称，即函数 为奇函数，
若 或 时， ，且 ，
由 可得 ，
当 时，即 ，可得 或 ，此时 ，可得 ；
当 时，即 ，可得 ，此时 ，可得 .
因此，不等式 的解集为 .
故选：C.
10．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
构造函数 ，则 ，因为 ，
所以 恒成立，故 单调递减， 变形为 ，又
，所以 ，所以 ，解得： ，故答案为： .
故选：A
11．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，有
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
根据题意，设 ，则 ，则有 ， ，即有
，故函数 的图象关于 对称，则有 ，
当 时， ， ，又由当 时， ，即当
时， ，即函数 在区间 为增函数，由 可得 ，即
， ，
函数 的图象关于 对称， 函数 在区间 为增函数，且 在 上恒成立，由
可得 ，即 ，此时 不存在.
综上：不等式解集为 .
故选：A
12．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）已知 是定义在R上的偶函数， 是 的导函
数，当 时， ，且 ，则 的解集是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：令 ，
因为 是定义在R上的偶函数，
所以 ，
则 ，
所以函数 也是偶函数，
，
因为当 时， ，
所以当 时， ，
所以函数 在 上递增，
不等式 即为不等式 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 的解集是 .
故选：B.
13．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）定义在R上的函数 满足 ，
且 ， 是 的导函数，则不等式 （其中e为自然对数的底数）的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
设 ，
可得 ．因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在定义域上单调递增，
又因为 ，即 ，
又由 ，
所以 ，所以 ，所以不等式的解集为 .
故选：C．
第五部分：第 09 讲 拓展二：构造函数法解决导数不
等式问题 （精练）
一、单选题
1．（2022·河南·濮阳外国语学校高三阶段练习（理））定义在R上的函数 的导函数为 ，若
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
令 ，则 ，
所以 在R上单调递增．
因为 ，所以不等式 ，
可变形得 ，即 ，所以 ，
解得 ．
故选：D
2．（2022·浙江·高三专题练习）设 是定义在 上的函数，其导函数为 ，若 ，
，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 满足 ，，
令 ，则 ，
所以 在R上是增函数，
又 ，则 ，
不等式 可化为 ，
即 ，
所以 ，
所不等式的解集是 ，
故选：C
3．（2022·全国·高二课时练习）设函数 是定义在 上的函数 的导函数，有
，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设函数 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，
， ， ，
所以 ，
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）定义在 上的可导函数 恒有 ，若 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设 ， ，
是单调递增函数， ，
的解集是 ，
即不等式 的解集是 .故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，当 时，有
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
∵ 是定义在R上的奇函数，则 ，
令 ，则 ，
∴ 为 上的偶函数，
又当 时， ，∴ ，
∴ 在 上是增函数，在 上是减函数；
又 ，∴ ， ， ，
当 时，不等式 即为 ，即 ，
∴ ，
当 时，不等式 即 ，即 ，
∴ ，
当 时， ，不等式 不成立；
综上，不等式 的解集是 ，
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导数，f（2）＝0，当x＜0时，
f'（x）﹣2x+1＜0，则使得函数f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
【答案】C
【详解】
因为x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，
所以f′（x）＜2x﹣1＜0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，又f（x）是偶函数，
所以f（2）＝0，f（﹣2）＝0，
所以使f（x）＞0成立的x的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习（文）） 在 上的导函数为 ， ，则下列不等
式成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
令 ，则 ，
因为在 上的导函数为 ，所以在 上 ，
即 在 上为增函数.
所以 ，即 .
故选：A.
8．（2022·北京·101中学模拟预测）定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则
必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由 ，得 .
设 ， ，则 ，
故 在 上单调递减，
则 ，
则 ， ，
但由于 ， ， ， 的正负不确定，
所以 ， 都未必成立.故选：D
9．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文）） 是定义在 上的可导函数，且满足
，对任意正数 ，若 ，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：设 ， ，则 ，
在区间 上单调递减，
，∴g(b)
