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第 06 讲 权方和不等式（含柯西不等式的应用）
（高阶拓展、竞赛适用）
本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞
赛中做到类型题的秒解！
知识讲解
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd) 2 (a,b,c,d∈R, 当且仅当 ad=bc 时，等号成立.)
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1) √a2+b2 ⋅√c2+d2≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R, 当且仅当 ad=bc 时，等号成立.)
(2) √a2+b2 ⋅√c2+d2≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R, 当且仅当 ad=bc 时，等号成立.)
(3) (a+b)(c+d)≥(√ac+√bd) 2 (a,b,c,d≥0, 当且仅当 ad=bc 时，等号成立.)
3.扩展： (a2+a2+a2+⋯+a2)(b2+b2+b2+⋯+b2)≥(a b +a b +a b +⋯+a b ) 2
1 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n
二、权方和不等式:
若 则 当且仅当 时取等.
(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)
广义上更为一般的权方和不等式:
设 ,
若 或 , 则 ;
若 , 则 ;上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等
注意观察这个不等式的结构特征, 分子分母均为正数, 且始终要求分子的次数比分母的次数多 1, 出现定值
是解题的关键, 特别的, 高考题中以 最为常见, 此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.
考点 一、权方和不等式全解析
1 1
+ =1
例1：若正数x，y满足 x y ，则 x+2 y 的最小值为______________
1 3
+ =2
例2：若
x>0
，
y>0
，
2x+y x+y
，则
6x+5 y
的最小值为______________
例3：已知正数 满足 ，则 的最小值为
1 2
例4：若 ， ， ，则 + 的最小值为______________
a>1 b>0 a+b=2 a−1 b
a2 b2
例5：若 ， ，则 + 的最小值为______________
a>1 b>1 b−1 a−1
x2 y2 z2
例6：已知正数 ， ， 满足 ，则 + + 的最小值为______________
x y z x+y+z=1 y+2z z+2x x+2 y
1 4 9
例7：已知正数 ， ， 满足 ，则 + + 的最小值为______________
x y z x+y+z=1 x y z
1 8
+
例8：已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为______________
x y x+y=1 x2 y2
1 4
例9：求 + 的最小值为______________
sin2θ cos2θ
5 8
例10：求 f(x)= + 的最小值为______________
2sin2x+3 5cos2x+6
例11：权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则 ，当且仅当
时，等号成立．根据权方和不等式，若 ，当 取得最小值时，
的值为（ ）
A． B． C． D．
4 9 4 9
例12：已知正数 ， 满足 + =1 ，则 + 的最小值为______________
x y x y 2x2 +x y2 +y
例13：已知x+2y+3z+4u+5v=30 ，求x2 +2 y2 +3z2 +4u2 +5v2 的最小值为______________
例14：已知a>0，b>0，a+b=5，求√a+1+√b+3的最大值为______________
例15：求f (x)= √x2 −3x+2+ √2+3x−x2 的最大值为______________
例16：已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求√3a+1+√3b+1+√3c+1的最大值为___________
考点 二、柯西不等式全解析
例1：用柯西不等式求函数 的最大值为
A． B．3 C．4 D．5
例2：由柯西不等式，当 时，求 的最大值为（ ）
A．10 B．4 C．2 D．
例3：已知 ，若 恒成立，利用柯西不等式可求得实数 的取值范围是
．
例4：已知 ，求 的最小值.（利用柯西不等式）
例5：已知正实数 ， ， ， 满足 ，则 的最小值是 ．
例6：已知非负实数a、b、c、d满足 ，求证：
一、单选题
1．（2024·山西临汾·三模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
3．（2024·江苏南通·二模）设 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
4．（2024·四川成都·模拟预测）若 是正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南·模拟预测）已知点 在以原点 为圆心，半径 的圆上，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．1
6．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最大值为
（ ）A． B． C． D．
8．（高三上·浙江宁波·期中）设a，b为正实数，且 ，则 的最大值和最小值之和为
（ ）
A．2 B． C． D．9
9．（2024·辽宁·一模）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数 ，不等式 恒成立，则实
数 的最大值（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
11．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为 .
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 ，且 ，则 的最小值是
．
13．（2024·河南·三模）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值
为 ．
14．（2024·广西河池·模拟预测）若实数 ，且 ，则 的最小值为 .
15．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ．
16．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为 ．
17．（21-22高三上·天津南开·期中）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为 .
18．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范
围是 ．
19．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为.
20．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知 ，则 的最小值为 .
21．（2024·江西宜春·三模）已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为
．
22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三个正数 满足 ，则 的最小值为
.
23．（2024·上海嘉定·二模）已知 ， ，则函数 的最小值为 ．
24．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的最小值为 .
