文档内容
第 06 讲指对运算
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
充分条件的判定及性质必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判
2024年天津卷，第2题,5分
断一般幂函数的单调性
2024年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2023年天津卷，第3题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2022年天津卷，第5题,5分 对数的运算、对数的运算性质的应用
2022年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第7题,5分 运用换底公式化简计算
2020年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握指对运算法则，能够灵活运用指对互化
2.能掌握对数的换底公式
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图进行比较大小的计算
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出等式，做指对化简计算，或者比较大小。知识讲解
知识点一指数运算
实数指数幂运算法则
.
＝ ＋ ， ， ．
1.
r s r s
ar
(
(
1
2
)
)
aa=a ar−s
(
(
a
a
>
>
0
0
，r
r
，s
s
∈
∈R
R
)
)
as
＝ ， ， ．
r s rs
＝ ， ， ．
(3) (a) a (a>0 r s∈R)
r r r
2.分数指数幂的意义与运算法则
(4) (ab) a b (a>0 b>0 r∈R)
1
1
m m
(1) an＝√n am， a − n＝
a
m
n
＝ √n am (其中a >0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义．
3.√n an与(√n a)n 的区别
(1)√n an是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限
制．
其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，
当n为奇数时，√n an＝a；
当n为偶数时，√n an＝| a |＝
(2)(√n a)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后
乘方(都是n次)，结果恒等于a.
知识点二.对数运算
1.对数与指数的关系
当a>0,且a≠1时，ax＝N⇔x=logN.
a
2.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即N>0；
(2)log1＝0(a>0，a≠1)；
a
(3)loga＝1(a>0，a≠1).
a
对数恒等式：
3①.alog a N ＝ 且 ， ；② ＝ 且 ．
N
4.对数的运算法则 a
N(a>0 a≠1 N>0) loga N(a>0 a≠1)
如果 ，且 ， ， ，那么：
M
(1) a >0 a ≠1 ；M>0 N>0 ； ；
N
n
a a a a a a a a
log(MN)=logM+log
l
N ogblog =logM-logN logM =nlogM (n∈R)
换底公式：logb= c
＞ ，且 ¿ ； ＞ ，且 ¿ ； ＞ ．
a loga
c
(2) (a 0 a 1 c 0 c 1 b 0)
(3)可用换底公式证明以下结论：
1
logb=
① ；
a log a
b
②logb∙logc∙loga=1；
a b c
③logbn=logb
；
an a
m
④logbm= logb
；
an n a
logb =−logb
⑤ 1 a.
a
考点一、根式与分数指数幂运算
√ y √ x
1.（2024·广东·模拟预测）若xy=3，则x + y = ．
x y
【答案】±2√3
【分析】
分x>0,y>0和x<0,y<0两种情况分类计算.
√ y √ x
【详解】当x>0,y>0时，x + y =√xy+√xy=2√3，
x y
√ y √ x
当x<0,y<0时，x + y =−√xy+−√xy=−2√3.
x y
故答案为：±2√3
2.（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：2
[( 1) −2.5]
3 √ 3
（1） 0.0645 −33 −π0 =
8
√a3b2√3 ab2
（2） ( 1 1) 4 − 1 1 （a>0,b>0=
a4b2 a 3b3
1 1
（3）设 x2+x − 2=3 ，则x+x−1的值为
a
【答案】 0 /ab−1 7
b
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值，即得答案；
（2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案；
1 1
（3）将 x2+x − 2=3 平方，即可求得答案.
2
[( 1) −2.5]
3 √ 3
【详解】（1） 0.0645 −33 −π0
8
( 4 )3× 1 ×(−2.5)× 2 (3)3× 1
= 5 3− 3−1
10 2
(2) −1 3
= − −1
5 2
5 3
= − −1=0.
2 2
1 2 1
√a3b2√3 ab2 (a3b2a3b3)2 5 − 2 4 − 7 a
（2）
= =a3 3b3 3=ab−1=
；
( a4 1 b 1 2 ) 4 a − 3 1 b3 1 ab2a − 3 1 b3 1 b
1 1
（3）因为 x2+x − 2=3 ，
∴x+x−1= ( x 1 2+x − 1 2 ) 2 −2=32−2=7 .
a
故答案为：（1）0；（2） ；（3）7
b
1 1
1.（23-24高三上·北京丰台·期末）已知f(x)=4x−4−x，则f(− )+f( )= ．
2 2
【答案】0
【分析】由解析式直接代入求解即可.
1 1
1 − 1 3
【详解】因为f( )=42−4 2=2− = ，
2 2 21 1
1 − 1 3
f(− )=4 2−42= −2=− ，
2 2 2
1 1
所以f(− )+f( )=0.
2 2
故答案为：0.
2.（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知a>0，将√a√a化为分数指数幂ak形式，则k= 【答
3
案】
4
【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可.
1
【详解】 √ 1 √ 3 ( 3)2 3 .
√a√a= a⋅a2= a2= a2 =a4
3
故答案为： .
4
2x
3.（23-24 高三上·上海闵行·期中）已知函数f(x)= ，若实数 m，n 满足2m+n=3mn，且
2x+3x
1
f(m)=− ，则f(n)= .
3
【答案】4
1
【分析】由题设可得4⋅2m=−3m>0，结合2m+n=3mn得− ⋅2n=n，即可求f(n).
4
2m 1
【详解】由题设f(m)= =− ，则4⋅2m=−3m>0，故m<0，
2m+3m 3
3 1
又2m+n=3mn，则− m⋅2n=3mn⇒− ⋅2n=n，
4 4
2n 2n
f(n)= = =4
所以 2n+3n
2n−
3
⋅2n
.
4
故答案为：4
4.（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）计算：
（1）(√32×√3) 6 +(−2019) 0−4× (16)− 1 2+√4 (3−π) 4
49
（2）log 6.25+lg0.001+2ln√e−21+log 2 3
2.5
【答案】（1）99+π；（2）-6
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简整理，即可得答案.
（2）根据对数的运算性质，计算化简，即可得答案.
【详解】（1）(√32×√3) 6 +(−2019) 0−4× (16)− 1 2+√4 (3−π) 4=22×33+1−4 √49 +|3−π|
49 167
=4×27+1−4× +π−3=99+π；
4
（2）log 6.25+lg0.001+2ln√e−21+log 2 3
2.5
=log 2.52+lg10−3+lne−2×2log 2 3
2.5
=2−3+1−2×3=−6
【点睛】易错点为：在化简√n an时，，需注意括号内a的正负，考查计算化简的能力.
考点二、 对数运算
1. （23-24高三上·天津和平·期末）计算31+log 3 2+lg5+log 2×log 9×lg2的值为（ ）
3 4
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】直接由指数、对数的运算性质运算即可.
【详解】由题意31+log 3 2+lg5+log 2×log 9×lg2
3 4
=3×3log 3 2+lg5+log 2×log 32×lg2
3 22
=3×2+lg5+log 2×log 3×lg2
3 2
=6+(lg5+lg2)=6+1=7.
故选：C.
2.（2023·全国·模拟预测）求值：lg(√27+10√2+√27−10√2)= ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算即得.
【详解】lg(√27+10√2+√27−10√2)=lg( √ (5+√2) 2+√ (5−√2) 2 )=lg(5+√2+5−√2)=lg10=1.
故答案为：1
1.（全国·高考真题）已知函数f (x)=log (x2+a)，若f (3)=1，则a= ．
2
【答案】-7
【详解】分析：首先利用题的条件f (3)=1，将其代入解析式，得到f(3)=log (9+a)=1，从而得到
2
9+a=2，从而求得a=−7，得到答案.
详解：根据题意有f(3)=log (9+a)=1，可得9+a=2，所以a=−7，故答案是−7.
2
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，
需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
2.（2024·全国·模拟预测）在等差数列{a }中，已知a 与a 是方程2x2−x+m=0的两根，则
n 3 9(1) log 4 (a 1 +a 2 +⋯+a 11 )
=（ ）
2
√11 2√11 √11 11
A． B． C． D．
11 11 4 2
【答案】B
1
【分析】由韦达定理得到a +a = ，再由等差数列的性质得到a +a +⋯+a 的值，结合指数、对数的运
3 9 2 1 2 11
算法则可求值.
1
【详解】因为a 与a 是方程2x2−x+m=0的两根，由韦达定理得a +a = ，
3 9 3 9 2
1 1
因为数列{a }为等差数列，所以a +a =a +a =a +a =2a = ，a = ，
n 1 11 2 10 3 9 6 2 6 4
所以 (1) log 4 (a 1 +a 2 +⋯+a 11 ) = (1) log 4 11a 6 = (1)log 4 1 4 1 =2 log 41 4 1=2 log 2 2 1 √ 1 11 = 2√11 ，
2 2 2 11
故选：B.
3.（2024·北京·三模）使lga+lgb=lg(a+b)成立的一组a，b的值为a= ，b= .
【答案】 2（答案不唯一） 2（答案不唯一）
【分析】根据题意结合对数运算分析可得¿，取特值检验即可.
【详解】若lga+lgb=lg(a+b)，则lgab=lg(a+b)，可得¿，
例如a=b=2符合上式.
故答案为：2；2.（答案不唯一）
1
4．（22-23高三上·天津静海·期末） lg4+lg25+93×√33= ．
【答案】5
【分析】根据对数和分数指数幂的运算法则即可求得结果.
【详解】由题可知，
1 2 1
lg4+lg25+93×√33=lg(4×25)+33×33=lg100+3=2+3=5
故答案为：5
5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是a，第75百分位数为b，
( 1 ) 3
则lg4+lga+ 2b= ．
1000
11
【答案】
10
【分析】由中位数、百分位数的概念结合对数运算、幂运算即可求解.
2+3 4+5
【详解】由题意得a= =2.5，b= =4.5，
2 2
( 1 ) 3 1 11
所以lg4+lga+ 2b=lg10+ = ．
1000 10 1011
故答案为： .
10
考点 三 、 指对运算综合
1.（2023·北京·高考真题）已知函数f(x)=4x+log x，则f
(1)
= ．
2 2
【答案】1
1
【分析】根据给定条件，把x= 代入，利用指数、对数运算计算作答.
2
1
1 1
【详解】函数f(x)=4x+log x，所以f( )=42+log =2−1=1.
2 2 22
故答案为：1
2.（2024·全国·三模）若a>1，则alg(lga)−(lga) lga的值是（ ）
A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能
【答案】A
【分析】b=lga，则a=10b，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可.
【详解】令b=lga，则a=10b，由a>1得b>0，
所以alg(lga)−(lga) lga=(10b) lgb −bb=10lgbb −bb=0.
故选：A.
1 1 n
1.（2024·广东·二模）已知正实数m,n满足 lnm=ln(m−2n)− lnn，则 =（ ）
2 2 m
1 1
A．1 B． C．4 D．1或
4 4
【答案】B
n
【分析】利用对数运算法则化简等式，列出关于 的方程求解即得.
m
1 1
【详解】由 lnm=ln(m−2n)− lnn，得ln√mn=ln(m−2n)，因此√mn=m−2n>0，
2 2
√ n 2 √ n √ n 1 n 1
整理得2( ) + −1=0，解得 = ，即 = ，经检验符合题意，
m m m 2 m 4
n 1
所以 = .
m 4
故选：B2.（2024 高三下·河南·专题练习）已知实数m,n满足m+lnm=4,nlnn+n=e3，则mn的值为
（ ）
A．e2 B．e3 C．e4 D．e5
【答案】B
【分析】利用指对数的运算性质将式子等价变形，构造函数f (x)=ex+x−4，根据函数的单调性可得
lnm=3−lnn，进而可求解.
【详解】由m+lnm=4,nlnn+n=e3，得elnm+lnm−4=0,e3−lnn+3−lnn−4=0.
令f (x)=ex+x−4，由于y=ex,y=x−4均为单调递增函数，所以f (x)在(−∞,+∞)上单调递增，
又f (lnm)=f (3−lnn)，所以lnm=3−lnn，所以ln(mn)=3，所以mn=e3.
故选：B.
3.（2024·江苏·模拟预测）已知x +2x 1=4，x +log x =4，则x +x 的值为（ ）
1 2 2 2 1 2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用函数f (x)=x+2x的单调性结合指数对数的转化可得x =log x ，再计算即可.
1 2 2
【详解】令f (x)=x+2x，显然函数f (x)=x+2x为R上单调递增函数，
又f (x )=x +2x 1=4，f (log x )=log x +2log 2 x 2=4，
1 1 2 2 2 2
所以x =log x ⇒x +x =4.
1 2 2 1 2
故选：C
4.（2024·江苏南通·模拟预测）方程xln3+xln4=xln5正实数解为 .
【答案】e2
【分析】运用对数的运算性质先证 alog b c=clog b a，可得原方程为3lnx+4lnx=5lnx， x>0，可得
3 lnx 4 lnx
( ) +( ) =1，再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到方程的解．
5 5
【详解】先证alog
b
c=clog
b
a（a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1），
令alog
b
c=m，clog
b
a=n，两边取b为底的对数，
可得log m=log alog b c=log c⋅log a，log n=log clog b a=log a⋅log c，
b b b b b b b b
所以log m=log n，所以m=n，即alog
b
c=clog
b
a，
b b
则xln3+xln4=xln5 (x>0)即为3lnx+4lnx=5lnx (x>0)，
(3) lnx (4) lnx
可得 + =1，
5 5
(3) x (4) x
由于y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y= ，y= 在R上单调递减，
5 5
(3) lnx (4) lnx
所以y= ，y= 在(0,+∞)上单调递减，
5 5(3) lnx (4) lnx
可得y= + 在(0,+∞)上单调递减，
5 5
(3) 2 (4) 2
又lnx=2时，即x=e2时，有 + =1，
5 5
则原方程的解有且只有一个为x=e2.
故答案为：e2
【点睛】关键点点：本题关键是对数恒等式alog
b
c=clog
b
a的应用.
1
5.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设a= lg20+lg√5,b=log 3，则a+2b的值为（ ）
2 4
A．1+√3 B．1+√5 C．26 D．27
【答案】A
【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.
1
【详解】因为a= lg20+lg√5=lg√20+lg√5=lg(√20×√5)=lg10=1，
2
1
2b=2log
4
3=42 log 4 3 =4log
4
√3=√3 ，
所以a+2b=1+√3.
故选：A.
考点 四 、 指数函数中的条件等式
1. （23-24高三上·天津·期中）已知4a=5,log 9=b，则22a−3b=（ ）
8
5 25
A． B．5 C． D．25
9 9
【答案】A
【分析】根据指数、对数运算求得正确答案.
2
【详解】4a=22a=5,log 9=log 32= log 3=b，
8 23 3 2
3b=2log 3=log 32=log 9,23b=2log 2 9=9，
2 2 2
22a 5
所以22a−3b= = .
23b 9
故选：A
2.（2020·全国·高考真题）设alog 4=2，则4−a=（ ）
3
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 9 8 6
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由alog 4=2可得log 4a=2，所以4a=9，
3 3
1
所以有4−a=
，
9
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，
属于基础题目.
xy mn2
1.（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数，mx=n2y=p3z，z= ，则 =
x+ y p3
（ ）
3 1
A．2 B． C．1 D．
2 2
【答案】C
xy 1 1 1
【分析】设mx=n2y=p3z=t，则t>0且t≠1，由指数式化为对数式，根据z= 得到 + − =0，由
x+ y x y z
mn2
换底公式和对数运算法则得到方程，求出log =0，得到答案.
t p3
【详解】设mx=n2y=p3z=t，则t>0且t≠1，
1 1 1
∴x=log t= ，2y=log t= ，3z=log t=
，
m log m n log n p log p
t t t
1 1 1
显然x,y,z≠0，则log m= ，2log n= ，3log p= ，
t x t y t z
xy
由z= 得xz+ yz=xy，即yz+xz−xy=0，
x+ y
1 1 1
等式两边同除以xyz得， + − =0，
x y z
1 1 1 mn2
其中 + − =log m+2log n−3log p=log ，
x y z t t t t p3
mn2 mn2
故log =0， =1.
t p3 p3
故选：C．
1 3 1
2.（2024·全国·模拟预测）已知2x=3y=4z=6，则 + + = ．
x y z
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系，再利用对数的运算性质及换底公式计算得解.
【详解】依题意，x=log 6,y=log 6,z=log 6，
2 3 41 3 1 1 3 1
则
+ + = + + =log 2+3log 3+log 4=log 216=3．
x y z log 6 log 6 log 6 6 6 6 6
2 3 4
故答案为：3
2
3.（2023·全国·模拟预测）已知b= ，则ab= .
lna
【答案】e2
【分析】利用指数式与对数式互化关系及指数运算法则求解即得.
2 2 2 2
【详解】由b=
lna
，得lna=
b
，即 a=eb，所以 ab=(eb) b=e2.
故答案为：e2
4．（23-24高三上·天津·期中）若log (2√2)=a,8b=2√2，则a+b= .
2
【答案】2
【详解】利用指数运算、对数运算求出b,a即可得解.
3 3 3 3 1
【分析】依题意，a=log
2
22=
2
， 23b=22，即3b=
2
，解得b=
2
，
3 1
所以a+b= + =2.
2 2
故答案为：2
2 1
5．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知3a=5b且 + =1，则a的值为 .
a b
【答案】2+log 5
3
【分析】设3a=5b=k,k>0，可得a=log k,b=log k，代入已知等式，结合对数的运算即可求得k，进而
3 5
求得a的值.
【详解】由题意3a=5b，则设3a=5b=k,k>0，
故a=log k,b=log k，
3 5
2 1 2 1
故 + =1，即 + =1，即2log 3+log 5=1，
a b log k log k k k
3 5
故log 45=1,∴k=45，所以a=log 45=2+log 5，
k 3 3
故答案为：2+log 5
3
考点 五 、 指对等式比较大小
1.（2024·河南·二模）“lnx>ln y”是“x2>y2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】分别求出两个命题的充要条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为lnx>ln y⇔x>y>0，x2>y2⇔|x|>|y|≥0，
所以“lnx>ln y”是“x2>y2”的充分不必要条件，
故选：A.
2.（2024·湖南·二模）已知实数a>b>0，则下列选项可作为a−b<1的充分条件的是（ ）
1 1 1
A．√a−√b=1 B． − =
b a 2
C．2a−2b=1 D．log a−log b=1
2 2
【答案】C
【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据指数函数的性质证明C.
【详解】取a=4，b=1，满足√a−√b=1，但是推不出a−b<1，故排除A；
1 1 1
取a=2，b=1，满足 − = ，但是推不出a−b<1，故排除B；
b a 2
取a=4，b=2，满足log a−log b=1，但是推不出a−b<1，故排除D；
2 2
由2a−2b=1，a>b>0，可推出2a=2b+1<2b+1，即ab>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>c>a
【答案】C
【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得a、b、c范围，即可判断.
ln2 ln√3
【详解】因为a=log 2= > =1，
√3 ln√3 ln√3
√2 − 1 1 (1) 1 (1) 0
b=log =log 2 2=− ，0c>b.
故选：C.
2. （2024·天津河北·二模）若a=30.5,b=log 3,c=0.32 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
0.5
A．b30=1,b=log 3b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
【答案】B
【分析】因为y=4.2x在R上递增，得出0a>c，
故选：B.
1
4.（2021·全国·高考真题）已知a=log 2，b=log 3，c= ，则下列判断正确的是（ ）
5 8 2
A．clog √8=log 22= ,∴a> ，
2 2 2 2 2
3 3
∵0<1.30.9<1.3< ,∴01，则（ ）
c c
A．cblog b C．sin >sin D．ac0)，根据函数的单调性
c
判断B选项；构造函数y=sinx，根据函数的单调性判断C选项；构造函数y=xc，根据幂函数的性质，判
断D选项.
【详解】A：构造函数y=cx，因为c>1，所以y=cx为增函数，
又因为0ca，所以A错误；
B：构造函数y=log x (x>0)，因为c>1，所以y=log x (x>0)为增函数，
c c
又因为0 >1，又c>1，则 > >1，
a b a b
构造函数y=sinx，当x>1时，函数y=sinx不单调，
c c
所以无法判断sin 与sin 的值的大小，C错误；
a b
D：构造函数y=xc，因为01，所以函数y=xc在(0,+∞)上单调递增，
有ac0,00,00，所以4y+ ≥2 4y× =2√2．
4y 4y
5 5
所以 4x−y≥4√2=44，即x−y≥
4
．
2 1 3
当且仅当4y= ，2x=4y+√2，即y= ，x= 时等号成立，
4y 4 2
5
所以x−y的最小值为 ．
4
故选：C．
1.（2023·全国·模拟预测）已知点P(a,b)在直线y=2x−2上，则4a+
(1) b
的最小值为（ ）
2
65 65
A． B． C．4 D．2
4 8
【答案】C
【分析】根据点P(a,b)在直线上得a，b关系，然后由基本不等式可得.
【详解】因为点P(a,b)在直线y=2x−2上，则b=2a−2，即2a−b=2，
所以4a+
(1) b
=22a+2−b≥2√22a×2−b=2√22a−b=2√4=4，
2
1
当且仅当¿，即a= ，b=−1时，其取得最小值4.
2
故选：C．
2.（2023·全国·模拟预测）已知正数 x， y满足lg(2y−x)=lg(2y)−lgx，则 y的最小值为
（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
【答案】C
x2
【分析】先根据对数的运算得y= ，再利用基本不等式求解．
2(x−1)2y
【详解】由正数x，y满足lg(2y−x)=lg(2y)−lgx，得lg(2y−x)=lg ，
x
2y x2
所以2y−x= ，y= ，结合x>0，y>0，得x−1>0，
x 2(x−1)
2
x2 [(x−1)+1] 1[ 1 ] 1( √ 1 )
所以y= = = (x−1)+ +2 ≥ 2 (x−1)⋅ +2 =2，
2(x−1) 2(x−1) 2 x−1 2 x−1
1
当且仅当x−1= 时，即x=2时取等号，
x−1
故选：C
3.（2022·河南·模拟预测）若实数x，y满足2x+4y=2x+2y，则x+2y的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由条件结合基本不等式求x+2y的最小值.
【详解】因为2x+4y=2x+22y≥2√2x+2y，又2x+4y=2x+2y
x+2y
所以 2x+2y≥2 2 +1
1
所以x+2y≥2，当且仅当x=1，y= 时取等号，
2
所以x+2y的最小值为2，
故选：C.
1
4.（2022·辽宁·模拟预测）已知实数a，b满足a2+log b=1,(00，
3−3q (3q+3−3q) 2
则依题意得λ≥ =3q(3−3q)，而3q(3−3q)≤ ，
3−q 4
3 3 3
当且仅当3q= ，即q=log 时等号成立，故λ≥log .
2 32 32
3
故答案为：log .
32
1．（2024·河南开封·三模）已知alog 4=1，则2−a=（ ）
9
1 1 1
A． B． C． D．3
9 8 3
【答案】C
【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得.
1
【详解】由alog 4=1可得4a=9，即(2a ) 2=9，2a=3，故2−a= .
9 3
故选：C.
1
2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将 写成分数指数幂的形式为（ ）
√7 a4
4 4 7 7
A． a7 B． a − 7 C． a4 D． a − 4
【答案】B
【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解.
1
4
【详解】将
√7 a4
写成分数指数幂的形式为
a
− 7.
故选：B.
3．（23-24高三上·四川·期末）log 16−3log 3 2=（ ）
32
7 3 4 6
A．− B．− C．− D．−
5 4 5 5
【答案】D
【分析】利用换底公式和对数运算法则计算出答案.log 16 4 6
【详解】log 16−3log 3 2= 2 −2= −2=−
32 log 32 5 5
2
故选：D
4．（2024·北京丰台·二模）已知函数f (x)=2x,g(x)=log (x+1)，那么f (g(0))= ．
2
【答案】1
【分析】先求出g(0)，再求f (g(0))即可.
【详解】易知g(0)=log (0+1)=0，故f (g(0))=f (0)=20=1，
2
故答案为：1
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知a+2a=log b+b=3，求2a+b= .
2
【答案】8
【分析】利用函数的单调性解方程，得到a，b的值，问题即可解决.
【详解】设f (x)=x+2x，则f (x)在(−∞,+∞)上为增函数，且f (1)=1+21=3，所以a+2a=3只有一解：
a=1；
同理：方程b+log b=3只有一解：b=2.
2
所以：2a+b=23=8.
故答案为：8
6．（2023·四川德阳·一模）已知10m=2,10n=3,则2m+lg25+10m−n= ．（用数字作答）
8
【答案】
3
【分析】利用指数对数的运算性质计算即可.
【详解】∵10m=2,10n=3,∴m=lg2,n=lg3.
10lg2 2 8
∴2m+lg25+10m−n=2lg2+lg25+10lg2−lg3=lg4+lg25+ =lg100+ = .
10lg3 3 3
8
故答案为：
3
7．（2024·上海浦东新·三模）已知a=lg5，则lg20= （用a表示）
【答案】2−a/−a+2
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【详解】由a=lg5，
得lg20=lg100−lg5=2−a.
故答案为：2−a
1 1
1．（2024·四川·模拟预测）若实数m，n，t满足5m=7n=t且 + =2，则t=（ ）
m n
A．2√3 B．12 C．√5 D．√35【答案】D
1 1
【分析】根据指对数的互化可得m=log t，n=log t，代入 + =2，即可计算得到t的值.
5 7 m n
1 1
【详解】因为5m=7n=t且 + =2，易知t>0且t≠1，
m n
所以m=log t，n=log t，
5 7
1 1
所以 =log 5， =log 7，
m t n t
1 1
所以 + =log 5+log 7=log 35=2，则t=√35.
m n t t t
故选：D．
2．（2024·青海·模拟预测）若a=log 5，5b=6，则ab−log 2=（ ）
3 3
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【详解】由5b=6 ⇒ b=log 6，
5
log 6 6
所以ab−log 2 =log 5⋅log 6−log 2 =log 5⋅ 3 −log 2 =log 6−log 2 =log =log 3=1
3 3 5 3 3 log 5 3 3 3 32 3
3
故选：A
3．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设√3 9的小数部分为x，则x3+6x2+12x=（ ）
3 2
A．1 B． C．2 D．
2 3
【答案】A
【分析】先算出√3 9的整数部分，再表示出√3 9的小数部分，所以有(x+2) 3=9，利用二项式定理即可计算
x3+6x2+12x.
【详解】由3>√3 9>√38=2，得√3 9的整数部分为2，则√3 9=x+2，
所以(x+2) 3=9，即x3+2C1x2+22C2x+8=x3+6x2+12x+8=9，
3 3
所以x3+6x2+12x=1.
故选：A
4．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ,x 满足x 3x 1=9,x (log x −2)=81，则x x =（ ）
1 2 1 2 3 2 1 2
A．27 B．32 C．64 D．81
【答案】D
【分析】由已知条件将两个等式转化为统一的结构形式，令log x −2=t， x =32+t ，得t⋅3t=9，研究
3 2 2
f (x)=x⋅3x (x>0)的单调性，求出x ,t的关系，即可求解
1
【详解】由题意得，x >0,x >0.
1 2
令log x −2=t，则x =32+t ，32+tt=81，得t⋅3t=9，
3 2 2∴x ,t是方程x⋅3x=9的根.
1
令f (x)=x⋅3x (x>0)，则f'(x)=3x+x⋅3xln3>0，∴f (x)在(0,+∞)上单调递增，
∴x =t，即log x −2=x ，∴x x =(log x −2)x =81.
1 3 2 1 1 2 3 2 2
故选：D.
5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若ex−√2=e2y，则x−y的最小值为（ ）
1 5ln2
A． B．√2 C．1 D．
2 4
【答案】D
【分析】将ex和e2y两边放，然后两边同时除以ey，凑出x−y，再用基本不等式即可.
1
【 详 解 】 因 为 ex−√2=e2y， ex=e2y+22， 两 边 同 时 除 以 ey， 得 到
1 √ 1
ex
=ex−y=
e2y+√2
=ey+
22
≥2 ey×
22
=2
5
4 ，
ey ey ey ey
1
1n2 3ln2
当且仅当ey= 22 即y= ,x= 取“=”.
4 2
ey
5 1n2 3ln2
则 ex−y≥24，当且仅当y=
4
,x=
2
取“=”.
5 5ln2 1n2 3ln2
两边取自然对数，则x−y≥ln24= ，当且仅当y= ,x= 取“=”.
4 4 2
5ln2
故x−y的最小值为 .
4
故选：D.
1 1
6．（2024·北京顺义·三模）设x,y≥1，a>1，b>1.若ax=by=3，a+b=2√3，则 + 最大值为
x y
（ ）
3 1
A．2 B． C．1 D．
2 2
【答案】C
【分析】先利用指、对数的关系利用a,b表示x,y，再利用基本不等式求最大值.
【详解】∵x,y≥1，a>1，b>1，ax=by=3，
1 1
∴x=log 3= ，y=log 3=
，
a log a b log b
3 3
1 1 (a+b) 2 2√3 2
∴ + =log a+log b=log ab≤log =log ( ) =1，
x y 3 3 3 3 2 3 2
当且仅当a=b=√3，x= y=2时取等号.
1 1
∴ + 的最大值为1.
x y故选：C.
5
7．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足log b+log a= ，aa=bb，则a+b= .
a b 2
3
【答案】 /0.75
4
5 1 5
【分析】令t=log b，则由log b+log a= 可得t+ = ，从而可求出t的值，再结合aa=bb求出a,b，即
a a b 2 t 2
可得解.
1
【详解】令t=log b，则log a= ，
a b t
5 1 5
由log b+log a= ，得t+ = ，
a b 2 t 2
1
所以2t2−5t+2=0，解得t= 或t=2，
2
1
所以log b= 或log b=2，
a 2 a
1
所以 a2=b 或a2=b，
1
当 a2=b 时，则a=b2，
由aa=bb，得(b2) a =b2a=bb，所以2a=b，
由¿，又a>0，解得¿，
3
所以a+b= ；
4
当a2=b时，由aa=bb，得aa=(a2) b =a2b，所以a=2b，
由¿，又a>0，解得¿，
3
所以a+b= ，
4
3
综上所述，a+b= .
4
3
故答案为： .
4
1．（2022·浙江·高考真题）已知2a=5,log 3=b，则4a−3b=（ ）
8
25 5
A．25 B．5 C． D．
9 3
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．1 4a (2a) 2 52 25
【详解】因为2a=5，b=log 3= log 3，即23b=3，所以4a−3b= = = = ．
8 3 2 43b (23b) 2 32 9
故选：C.
2．（2019·天津·高考真题）已知a=log 7，b=log 8，c=0.30.2，则a,b,c的大小关系为
2 3
A．clog 4=2；
2 2
10>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底公式
9
可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
8
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 9m=10可 得 m=log 10=
lg10
>1， 而 lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ， 所 以
9 lg9 2 2
lg10 lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0.综上，a>0>b.［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得m=log 10∈(1,1.5)．
9
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1) ，则f' (x)=mxm−1−1，
1
令f' (x)=0，解得 x =m1−m ，由m=log 9 10∈(1,1.5) 知x 0 ∈(0,1) .
0
f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9log 9 10−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是
该题的最优解．
5.（2023·全国·高考真题）已知函数 f (x)=e−(x−1)2 ．记a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)
，则
2 2 2
（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令g(x)=−(x−1) 2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为 √6 −1− ( 1− √3) = √6+√3 − 4 ，而(√6+√3) 2 −42=9+6√2−16=6√2−7>0，
2 2 2 2
√6 ( √3) √6+√3 4 √6 √3
所以 −1− 1− = − >0，即 −1>1−
2 2 2 2 2 2
√6 √3
由二次函数性质知g( )g( )，
2 2 2 2
√2 √6 √3
综上，g( )c>a.
故选：A.
6.（2022·全国·高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底公式
9可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
8
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 9m=10可 得 m=log 10=
lg10
>1， 而 lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ， 所 以
9 lg9 2 2
lg10 lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得m=log 10∈(1,1.5)．
9
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1) ，则f' (x)=mxm−1−1，
1
令f' (x)=0，解得 x =m1−m ，由m=log 9 10∈(1,1.5) 知x 0 ∈(0,1) .
0
f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9log 9 10−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是
该题的最优解．
1
7.（2022·全国·高考真题）设a=0.1e0.1,b= ，c=−ln0.9，则（ ）
9
A．a−1)，因为f' (x)= −1=− ，
1+x 1+x
当x∈(−1,0)时，f' (x)>0，当x∈(0,+∞)时f' (x)<0，
所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，
1 10 1 1 10
所以f( )ln =−ln0.9，即b>c，
9 9 9 9 9
1 9 1 9 − 1 1 1 1
所以f(− )0，函数ℎ(x)=ex (x2−1)+1单调递增，
又ℎ(0)=0，
所以当00，函数g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以a>c
故选：C.
方法二：比较法
0.1
解： a=0.1e0.1 ， b= ， c=−ln(1−0.1) ，
1−0.1
① lna−lnb=0.1+ln(1−0.1) ，
令 f(x)=x+ln(1−x),x∈(0,0.1],
1 −x
则 f '(x)=1− = <0 ，
1−x 1−x
故 f(x) 在 (0,0.1] 上单调递减，
可得 f(0.1)0 ，
所以 k(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k(x)>k(0)>0 ，即 g'(x)>0 ，
所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a−c>0 ，所以 a>c.
故 cln1.02=b，
所以b0，即√1+4x>(1+x)，f'(x)>0，
所以f (x)在[0,2]上单调递增，
所以f (0.01)>f (0)=0，即2ln1.01>√1.04−1，即a>c；
2 2 2(√1+4x−1−2x)
令g(x)=ln(1+2x)−√1+4x+1，则g(0)=0，g'(x)= − = ，
1+2x √1+4x (1+x)√1+4x
由于1+4x−(1+2x) 2=−4x2，在x>0时，1+4x−(1+2x) 2<0，
所以g'(x)<0，即函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，所以g(0.01)1)
2
(x−1) 2
f'(x)=- <0，即函数f(x)在（1，+∞)上单调递减
x2+1
f (√1+0.04)0，即函数g(x)在（1，3)上单调递增
x2+3
g(√1+0.04)⟨g(1)=0,∴a⟩c
综上，b1且 − =− ，则a= ．
log a log 4 2
8 a
【答案】64
【分析】将log a,log 4利用换底公式转化成log a来表示即可求解.
8 a 2
1 1 3 1 5
【详解】由题 − = − log a=− ，整理得(log a) 2−5log a−6=0，
log a log 4 log a 2 2 2 2 2
8 a 2
⇒log a=−1或log a=6，又a>1，
2 2所以log a=6=log 26 ，故a=26=64
2 2
故答案为：64.
