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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 03 练 不等式及其性质（精练）
1．结合集合，考查不等式的概念、性质以及作差法比较大小．
2．结合函数的图象，考查不等式的解法．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2023高三·全国·专题练习）若 ， ，则m与n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用作差法比较大小即可.
【详解】由题设 ，
所以 ．
故选：D
2．（2024·河南·模拟预测）“ ， 是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据不等性质直接判断.
【详解】由于 ， 的正负性不确定，由“ ， ”不能推出“ ”，故充分性不成立；
同时当“ ”时也不能推出“ ， ”，故必要性也不成立.
故选：D.
3．（2023·上海闵行·一模）已知a， ， ，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.
【详解】对于A，B，a， ， ，则 , 一定成立；
对于C，取 ，满足 ，则 ，
当 时， ，故C中不等式不一定成立；
对于D，由 ，由于 在R上单调递增，则 成立，
故选：C
4．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）若 ，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】举反例可判断选项A；利用不等式的性质可判断选项B；利用对数函数的单调性可判断选项C；
作差法可判断选项D.
【详解】对于选项A：当 时，若 ，
则 ，与 矛盾，故选项A错误；
对于选项B：因为
所以由不等式性质可得 ，故选项B成立；
对于选项C：因为 ，函数 在 上单调递增
所以 ，故选项C成立；
对于选项D：因为 ， ，
所以 ，故选项D成立.
故选：A
5．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可.
【详解】对于A，当 时，虽说 ，但是 ，错误；
对于B， 成立时， 不一定成立，比如 时， ，
此时 ，错误；
对于C，举反例，当 时，满足 ，此时 ， ，
则有 ，错误；
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，正确.
故选：D
6．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】对于A，若 ，则不等式不成立，故A错误；
对于B，若 ，则不等式不成立，故B错误；
对于C，若 ，则不等式不成立，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，即 ，故D正确.
故选：D
7．（23-24高三上·陕西汉中·期中）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】运用不等式的性质和幂函数单调性比较大小即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ， ，所以 ，所以 ，即 ，
综述： .
故选：B.
8．（23-24高三上·四川·阶段练习）若实数a，b满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】举反例判断ABC，利用不等式性质判断D.
【详解】由于 ，不妨令 ， ，可得 ， ，所以 ，故A错误；
由于 ，不妨令 ， ，可得 ， ，所以 ，故B错误；
由于 ，不妨令 ， ，可得 ， ，
所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：D
9．（23-24高三上·浙江杭州·期中）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
举反例即可求解ABC,分类讨论，结合不等式的性质即可求解D.
【详解】若 ，满足 ，但 不成立，故A错误，
若 ，满足 ，但 ， 不成立，故B错误，当 时， 不成立，故C错误，
当 时， ，显然 成立，
当 时，则 ，又 ，故 成立，
当 时， ，显然 成立，
故 时都有 ，故D正确，
故选：D
二、多选题
10．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知 ， ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.
【详解】对于A，取 ，满足 ，取 ，有 ，A错误；
对于B，由 ，得 ，而 ，因此 ，B正确；
对于C，取 ， ，C错误；
对于D，由 ，得 ，因此 ，D正确.
故选：BD
11．（2023·广东广州·模拟预测）下列是 （ ， ， ）的必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，利用指数函数单调性可进行判断.【详解】A选项，若 ，则A错误，
B选项，等价为 ，当 时不成立，故B错误，
C选项，因为 在R上单调递增，而 ，所以 ，C正确；
D选项，因为 在R上单调递增，而 ，所以 ，D正确.
故选：CD
12．（2024·辽宁·模拟预测）已知 ，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：结合指数函数单调性
分析判断.
【详解】对于选项A：因为 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：例如 满足 ，但 ，故B错误；
对于选项C：因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，故C正确；
对于选项D：例如 满足 ，
但 ，即 ，故D错误；
故选：AC.
13．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.
【分析】由 ，得 ，所以 ，A正确．因为 ，所以 ，所以 0，所以 ，B正确．
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，C正确．
因为 ，所以 ，D错误．
故选：ABC．
三、填空题
14．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若 ， ，则a、b的大小关系是 ．
【答案】
【分析】将 ， 式子分子有理化，利用分式的性质比较分母即可得答案.
【详解】 ， ，
因为 ，所以 ，
.
故答案为： .
15．（23-24高三上·河南·开学考试）已知： ，则 大
小关系是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，
显然 ，则 ，
所以 大小关系是 .
故答案为：
16．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知 ，则 的范围是 ．【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由 可得 ，而 ，
则 ，
故答案为：
17．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）已知有三个条件：① ；② ；③ ，中能成为
的充分条件的是 填序号
【答案】①
【分析】根据充分条件的判定一一分析即可.
【详解】①由 可知 ，即 ， 故“ ”是“ ”的充分条件；
②当 时， ；
③当 ， 时，满足 ，有 ；
故②、③不是 的充分条件.所以能成为“ ”的充分条件的只有①，
故答案为：①.
18．（23-24高一上·重庆铜梁·阶段练习）实数 满足 ， ，则 的取值范
围是
【答案】 ．
【分析】
根据题意，得到 ，结合不等式的基本性质，即可求解.
【详解】设 ，
则 ，解得 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
可得 ，即 的取值范围为 ．
故答案为： ．【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（23-24高三上·山东德州·期中）已知实数 ， ， ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.
【详解】因为 ，则 ,A选项错误;
若 ， , ,B选项正确;
若 ， 取 ，
,C选项错误;
若 ， ，取 ,则 ,D选项错误.
故选:B.
2．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知 ，则下列各式中一定成立（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合指数函数，基本不等式的性质逐项判断即可.【详解】选项A：令 不满足，选项错误；
选项B：只有当 时， ，令 ，不满足，选项错误；
选项C： 是定义域R内的减函数， ，故有 ，选项错误；
选项D： 是定义域R内的增函数，
又因为 当 时等号成立，故 选项正确；
故选：D.
3．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，若 ，则 ，则 ，故A正确；
对于B，若 ，不等式两边同时乘以 ，则 ，故B正确；
对于C， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故C错误；
对于D，因为 ，
因为 ，所以 ， ， ，故D正确.
故选：C.4．（23-24高三上·江苏连云港·期中）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指对函数的单调性与放缩估值法比较大小.
【详解】由 ， ，
，故 最小，
又 ，
因为 ，所以 ，
则有 ，∴ ，
故选：C.
5．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令 即可判断正误； C令 ，利用对数函数的
性质判断即可；D根据指数函数的单调性判断大小关系.
【详解】A： ，又 ，则 ， ，故 ，即 ，错误；
B：当 时， 不成立，错误；
C：由 ，即 ，当 时有 ，错误；D：由 ，则 ，正确.
故选：D.
6．（22-23高二下·广西·阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明当 ， 时，有 .进而根据对数的运算性质以及换底公式，即可得出
答案.
【详解】当 ， 时，有 ，
则 ，
所以 .
所以 ，
所以 ，即 ．
故选：B.
7．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用基本不等式求得 ，然后利用不等式的性质求解 最值即可.
【详解】因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，即 的最小值为 .
故选：A.8．（22-23高二下·辽宁抚顺·期末）已知 ，则必有（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【分析】由 ，得 ， ，再根据作差法变形两两判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以
，所以 ，
，所以 ，
符号不能确定，所以 的大小不能确定
所以 且 .
故选：D.
9．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】应用对数运算及运算律,再应用不等式的性质分别判断各个选项即可.
【详解】由题意可得 ， ，则 ，且
，即 .
因为 ，所以 ，则A错误.
因为 ，所以 ，即 ，则B错误.
.因为 ，所以 ，即 ，则C正确.
因为 ，所以 ，即 ，则D错误.
故选:C.
二、多选题
10．（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】设 ，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.
【详解】因为 ，设
对A，知 ，易知 .选项A正确.
对C，因为 ， ， ，所以 ， ， ，
于是 ，选项C正确.
对D，若 ，则 ，即 ，则 .
由 知 .选项D正确.
对B，取 ，则 ，而 ，此时 ，选项
B错误.
故选：ACD.
11．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB，利用特值法判断CD．
【详解】∵ ，∴ 即 ，∴ ，A正确；
由基本不等式知： ，当且仅当 时等号成立
又 ，∴
∴ 即 ,当且仅当 时等号成立；
已知 ,故 ，B正确;
令 ， ，C错误；
令 ， ，分母为零无意义，D错误．
故选：AB．
12．（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 ，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．存在 使得 D．若 且 ，则
【答案】ABD
【分析】由不等式的性质即可判断A，可以得出 且 ，结合基本不等式即可判断B，由不等式性
质得 ，由此即可判断C，由基本不等式得 ，进一步注意到 ，由此即可判断D.
【详解】对于A，由 及 ，得 ，所以 ，A正确．
对于B，由 及 ，得 ，所以 ．同理可得 ．又 ，所以 ，所以 ，B正确．
对于C，由 及 ，得 ，所以 ，得 ，
所以 ，得 ，C错误．
对于D，由 ，得 ．由 ，得 ．
因为 ，所以 ，所以 ，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数 满足 ， ，则 的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质求解.
【详解】设 ，
解得：
因为 所以 ，
因为 ，所以
所以
故答案为： .
14．（22-23高一上·吉林·阶段练习）若实数 ， 满足 ，则 的取值范围为 ．【答案】
【分析】将 表示成关于 和 的表达式进行求解即可.
【详解】由不等式的性质求解即可．
解： ，
因为实数 ， 满足 ，
所以 ，
即 的取值范围为 ．
故答案为： ．
15．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数 的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正
确的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】②③④
【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证 即证 可判断③.
【详解】对于①，取 ，故①错误；
对于②， ，故②正确；
对于③，当 ，要证 ，即证 ，
即 ，即证 ，
而 恒成立，
当 时， ，所以 ，故③正确.
对于④， ，所以 ，故④正确.
故答案为：②③④.16．（22-23高三上·上海普陀·期中）已知三个实数a、b、c，当 时， 且 ，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当 时满足： 且 ，可得 ，进而得 ，解得 或
．于是 ，令 ，可得 ，利用二次函数的单调性即可求
解最值.
【详解】当 时满足： 且 ，
，即 ，进而 ，解得 ．
所以 或 ，
，
令 ，
，
由于
所以 在 单调递增，在 单调递减，
当 时， ，当 时， ，
所以
故答案为： ．【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（22-23高三上·广西南宁·阶段练习）设 ， ， ，则a，b、c的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得 ， ，然后利用换底公式及作差法即得.
【详解】∵ ， ， ，
又 ，
，
所以 ，即 ，
，即 ，
∴ .
故选：A.
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列 满足 ，且 ，则 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】根据题意，设 ，再由 ，转化为 ，结合正切函数的
性质，即可求解.
【详解】由 ，且 ，可设 ，
因为 等差数列，所以 ，
所以 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
故选：A.
3．（2024·云南大理·模拟预测）若 为函数 （其中 ）的极小值点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 时 为单调函数，无极值点不符合题意；令 有两根为 或 ，分
、 讨论，根据 为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得答案.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
由于 ，且 ，故 有两根为 或
①当 时，若 为极小值点，则需满足： ，故有 ，
可得 ；
②当 时，若 为极小值点，则需满足： ，故有： ，可得 .
故A，B选项错误，综合①②有： .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据 为极小值点得到 的关系再结合不等式的性质解题.
二、填空题
4．（23-24高三下·湖南常德·阶段练习）记 表示x、y、z中的最小值.若x， ，
，则M的最大值为 .
【答案】
【分析】根据最小值的定义可得答案.
【详解】 ， ，
又 得 ，可得 ，即 ，
当 即 时等号成立
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解.
5．（2024·河北邯郸·三模）记 表示x，y，z中最小的数．设 ， ，则
的最大值为 ．
【答案】2
【分析】分 是否大于 进行讨论，由此即可简化表达式，若 ，则可以得到 ，并且
存在 ， ，使得 ，，同理 时，我们可以证明 ，由此即可得解.
【详解】若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于等于2，
所以 ，又当 ， 时， ，
所以 的最大值为2．
若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于2，
所以 ．
综上， 的最大值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：关键是分 是否大于 进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若对任意 ，则所有满足条
件的有序数对 是 ．
【答案】
【分析】
由题意可得 ，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.
【详解】因为 对任意 ，
所以必须满足 ，
即 ，
由 ，得 ，
解得 ，①，
再由 ，得 ，
解得 ，②，
由①②得 ，
所以 ，即 ，解得 ，
经检验，当 ， 时， ，则
的最大值为 ， 的最小值为 ，
满足任意 ，
所以满足条件的有序数对 只有一对 ，
故答案为： .
