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2.2 一元一次不等式
题型一 一元一次不等式的定义
1．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键．
根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可．
【详解】解：A、 ，不含未知数，故此选项不符合题意；
B、 ，含两个未知数 和 ，且 的最高次数为2，故此选项不符合题意；
C、 ，只含一个未知数 ，且 的次数为1，故此选项符合题意；
D、 ，含两个未知数 和 ，故此选项不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
2．（25-26八年级上·浙江温州·月考）下列各式中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数
的最高次数为1的不等式，判断各选项即可．
【详解】解：A、 ，只含未知数x，次数为1，且有不等号“ ”，故是一元一次不等式；
B、 ，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式；
C、 ，没有不等号，故不是一元一次不等式；
D、 ，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式；
故选：A．
3．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最
高次数为1的不等式，据此可得答案．
【详解】解：A、 中含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
B、 中未知数的最高次为2，不是一元一次不等式，不符合题意；
C、 是一元一次不等式，符合题意；
D、 不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意；
故选：C．
4．（17-18七年级下·全国·单元测试）已知 是关于x的一元一次不等式，则m的值为
（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且
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学科网（北京）股份有限公司系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解．
根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于 的方程求解即可．
【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式，
∴ x 的指数 ，且系数 ，
解 ，得 ，即 或 ，
又 ∵ ，即 ，
∴ ．
故选A．
5．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（ ）个
（1） ，（2） ，（3） ，（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最
高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可．
【详解】解：（1） 是二元一次不等式，不是一元一次不等式；
（2） 是一元一次不等式；
（3） 是一元一次不等式；
（4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式，
综上所述：一元一次不等式有2个
故选：B．
6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于 的不等式 是一元一次不等式，那么
．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，
叫做一元一次不等式是解题关键．
根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意可得： 且 ，
解得： ，
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知 是关于 的一元一次不等式，则 的值为
．
【答案】2
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念；根据一元一次不
等式的定义，未知数 的次数必须为 1，因此令指数表达式 等于 1，求解 即可．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式，
∴ 的次数必须为 1，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为2．
8．（2025八年级上·全国·专题练习）指出下列不等式中的一元一次不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题的关键．
（1）根据一元一次不等式的定义进行判断即可；
（2）根据一元一次不等式的定义进行判断即可；
（3）根据一元一次不等式的定义进行判断即可；
（4）根据一元一次不等式的定义进行判断即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：因为该不等式中含有 ，
所以 不是一元一次不等式；
（2）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，
所以 是一元一次不等式；
（3）解：因为该不等式中含有x，y两种未知数，
所以 不是一元一次不等式；
（4）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，
所以 是一元一次不等式．
题型二 求一元一次不等式的解集
1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）关于x的不等式 的解集为 ，则b的值是（ ）
A． B． C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集．解题的关键在于正确的解不等式．解一元一次不等式得
，由关于x的不等式 的解集为 ，可得 ，计算求解即可．
【详解】解：∵不等式 的解集为 ，
∴解不等式得 ，即 ，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）请写出一个 的值 ，使 在实数范围内有意义．
【答案】5（大于或等于5的实数均可）
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数必须非负，由此列出
不等式求出x的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴符合题意的x的值可以为5；
故答案为：5（大于或等于5的实数均可）．
3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式，准确的计算是解决本题的关键．
先去分母，然后移项合并同类项，再系数化1求解即可．
【详解】解：
，
解得 ．
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算 ，例如： ．
(1)计算： ；
(2)请根据上述定义解不等式 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键．
（1）根据题意，展开后计算即可；
（2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可．
【详解】（1）解： ，
（2）解： ，
由题意得， ，
去括号得， ，
移项后合并同类项得， ，
解得， ．
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学科网（北京）股份有限公司5．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解．
【答案】（1） ，图见解析
（2） ，最小整数解为 ，图见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可；
（2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找
出最小整数解即可．
【详解】解：（1） ，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
数轴表示如下：
（2） ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
数轴表示如下：
则这个不等式的最小整数解为 ．
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学科网（北京）股份有限公司6．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】见解析
【分析】此题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题
的关键．
先去分母，再移项，合并同类项，把 系数化为 ，求出解集，在数轴上表示即可．
【详解】解：去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
该不等式的解集在数轴上表示如图所示．
7．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ．
【答案】(1) ，图形见解析
(2) ，图形见解析
(3) ，图形见解析
(4) ，图形见解析
【分析】考查知识点：一元一次不等式的解法、不等式的性质、数轴表示解集．解题关键：正确应用不等
式性质，规范完成去分母、移项等步骤．易错点：除以负数时不等号未变号，去分母时漏乘常数项，数轴
表示空心/实心圆点混淆．
（1）对不含分母/括号的不等式：通过移项合并同类项，再系数化为1（注意负数变向）．
（2）含括号的不等式：先去括号，再重复上述步骤．
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学科网（北京）股份有限公司（3）含分母的不等式：先去分母（乘最小公倍数），再去括号、移项、系数化为1．
（4）最后根据解集在数轴上标注（空心圆点对应“>”“<”，实心圆点对应“≥”“≤”）．
【详解】（1）
解集在数轴上表示如下：
（2）
解集在数轴上表示如下：
（3）
解集在数轴上表示如下：
（4）
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学科网（北京）股份有限公司解集在数轴上表示如下：
题型三 在数轴上表示不等式的解集
1．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查不等式的数轴表示，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用
空心”的原则将不等式在数轴上表示出来，再比较得到答案．
【详解】将不等式表示在数轴上，如图所示：
故选：D．
2．（2025·浙江丽水·二模）不等式 的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解
集是解题的关键．
先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可．
【详解】解： ，
，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司在数轴上表示如下：
．
故选C．
3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式，再根据解集即可判断
求解，正确求出不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：移项，得 ，
合并同类项，得 ，
∴不等式的解集为 ，
∴不等式的解集在数轴上表示为 ，
故选： ．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表
示可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的解集， ， 向右画； ， 向左画；在表示解集时“ ”，“ ”要用实心
圆点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表示．
根据不等式的正整数解只有 ， ，对四个选项中数轴所表示的不等式的解集内的正整数解分别进行判定即
可解决问题．
【详解】解：A、不等式的解集为 ，正整数解为： ， ， ，…，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司B、不等式的解集为 ，正整数解为： ， ， ，…，不符合题意；
C、不等式的解集为 ，正整数解为： ，不符合题意；
D、不等式的解集为 ，正整数解为： ， ，符合题意；
故选：D．
5．（25-26九年级上·重庆·月考）在数轴上表示不等式 的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组
的方法进行求解是解决本题的关键．
先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案．
【详解】解：解不等式 ，
解得 ．
所以不等式的解集在数轴上表示为：
故选：C．
题型四 一元一次不等式的整数解
1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）满足不等式 的最小整数解是（ ）
A． B．7 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解答的关键．
通过解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的最小整数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴最小整数解为7．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）写出不等式 的一个正整数解 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及正整数解的确定，解题关键是先解不等式求出解集，再从解
集中找出正整数解．
先解不等式 ，得到解集 ，再从中选取一个正整数解即可．
【详解】
因此，不等式的解集为 ．
满足条件的正整数解有 、 、 ，任选其一即可．
故答案为： （故答案不唯一）．
3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式 的正整数解是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式．
先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数．
【详解】解： ：
移项，得 ，
即 ，
两边同时除以2得 ，
即 ．
因此，正整数解为1、2，
故答案为：1（答案不唯一）．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若 是不等式唯一的正整数解，写出一个满足条件的不等式：
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据题意列出符合条件的不等式是解题的关键．
根据题意，写出符合条件的不等式即可．
【详解】解：根据题意得： （答案不唯一）．
5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的方程 的解是不等式 的负整
数解，则a的值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进
行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a．
【详解】解：解不等式 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
∴负整数解为 ，
将 代入方程 ，
得 ，即 ，
解得 ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式 的
正整数解，该三角形的周长是 ．
【答案】21或22
【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及三角形的三边关系，根据三角形三边关系得到 ，解
不等式得到 ，则 ，x为正整数，故 或10，代入求周长．
【详解】解：∵三角形的三边长分别是2，x，10，
∴ ，即
解不等式 ，
去分母得 ，
整理得 ．
所以 ．
∵x为正整数，
∴ 或10．
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学科网（北京）股份有限公司当 时，周长为 ；
当 时，周长为 ．
故答案为：21或22．
7．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于 的方程 的解为负数，求所有符合条件的
非正整数 的和．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先解方
程得到 关于 的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合 是非正整数，求出所有符合条件的 值并求
和．
【详解】解： ，
，
，
，
，
关于 的方程 的解为负数，
，
，
所有符合条件的非正整数 为： ， ， ， ， ，
所有符合条件的非正整数 的和为： ．
题型一 一元一次不等式解的最值
1．（21-22七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足 ， ，若 ，则
的最大值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．3 B．7 C．10 D．13
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键．
由条件可得 ，因此求最大值等价于求 的最大值，结合 和 约束，得到
，解不等式可得 ，从而求出最大值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 。
故求 的最大值即求 的最大值，
由 ，得 ，
代入 ，得 ，
即 ，
解得
∴ 的最大值为 ，
此时 ，
故最大值为 ，
故选：B．
2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于 的不等式 的正整数解恰有两个，则实数 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的
关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数 的取值范围，从
而求出 的最大值．
【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是 ，
∴这两个正整数解为 和 ，
要使正整数解是 和 ，那么 要大于 （如果 ，则 的正整数解只有 ）；
同时 不能大于 （如果 ，则 的正整数解会有 ，可能还有 ，不满足恰有两个正整数解），
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 的最大值为 ．
故选：D．
3．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若 是关于x的不等式 的一个解，则a可取的最大
整数值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到 ，再根据题意可得不等式 ，
解之即可得到答案．
【详解】解：解不等式 得 ，
∵ 是关于x的不等式 的一个解，
∴ ，
解得 ，
∴a可取的最大整数为7，
故选：D．
4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题
得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小
聪至多答错了 道题；
【答案】2
【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题
的关键，注意答错一题扣2分，要用减法．
设小聪答错了 道题，则答对了 道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解 的取值范围，
并取最大整数解．
【详解】解：设小聪答错了 道题，则答对了 道题，
依题意，得： ，
化简得： ，
移项得： ，
两边同除以 ，不等号方向改变，得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 为非负整数，
∴ 的最大值为2．
故答案为：2．
5．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式 的解的最大值是4，则m的值是 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方
程求解m．
【详解】解：解不等式 ，得 ．
由于不等式的解的最大值是4，
因此 ，
解得： ．
故答案为：20．
6．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）满足不等式 的x的最小值是a，满足不等式 的x的最大值
是b，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式 的最小值，b是不等式
的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵满足不等式 的x的最小值是a，满足不等式 的x的最大值是b，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知 ．请确定 的最大值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到 ，即可求解．
【详解】解： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
即 的最大值为 ．
8．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时 区就
会自动减去1，且均显示计算结果．已知A， 两区初始显示的数分别是 和7．
(1)按键1次后，求A， 两区显示的结果的和；
(2)若按键 次后，A区的结果大于 区的结果，求 的最小值．
【答案】(1)5
(2)4
【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键．
（1）根据题意列出算式计算即可；
（2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可．
【详解】（1）解：按键1次后， ， 两区显示的结果的和 ；
（2）解：由题意，得 ，
解得 ，
为整数，
的最小值为4．
题型二 解带绝对值的不等式
1．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若 ，则x与3的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键．
根据绝对值的非负性，等式成立需 ，即 ，且代入验证成立．
【详解】 ，
，
，即 ，
故选 ．
2．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知 （ 是整数），则 的值是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 或 或 或0或1或2或3
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式可得 ，再根据x是整数即可得
到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵x是整数，
∴x的值是 或 或 或0或1或2或3，
故答案为： 或 或 或0或1或2或3．
3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）已知不等式 恒成立，则实数b的取值范围为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，不等式恒成立问题，利用转化的思想是解题的关键．
不等式变形为 ，令 ，此时不等式问题转化为函数问题，再分类讨论，利用一次
函数的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
令 ，
当 时， ，
∴当 恒成立时，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
∵ ，
∴ ，
综上： ，
故答案为： ．
4．（24-25七年级下·广东江门·月考）解不等式：
【答案】 或
【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分 ， 和 三种情况，分别去绝对值，
再解一元一次不等式即可得到答案．
【详解】解：当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，即 ，故此种情况不成立；
当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述， 或 ．
5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）先阅读绝对值不等式 和 的解法，再解答问题．①因为
，从数轴上（如图1）可以看出只有小于 的数和大于6的数的绝对值大于6．所以 的解集为
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学科网（北京）股份有限公司或 ．②因为 ，从数轴上（如图2）可以看出只有大于 且小于6的数的绝对值小于6，
所以 的解集为 ．
(1) 的解集为______；
(2)解不等式 ；
(3)解不等式 ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是
解题的关键．
（1）根据题意求解集即可；
（2）根据题意解不等式即可；
（3）根据题意解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意知， 的解集为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意得不等式 可化为 ，
解得 ；
（3）解：不等式 可化为 或 ，
解得 或 ．
6．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式 和 的解集过程．
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学科网（北京）股份有限公司对于含绝对值的不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的数的绝对值小于3，所以 的解
集为 ；对于含绝对值的不等式 ，从图2的数轴上看：小于 或大于3的数的绝对值大于
3，所以 的解集为 或 ．
(1)求含绝对值的不等式 的解集；
(2)已知含绝对值的不等式 的解集为 ，求a，b的值．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝
对值的几何意义及解一元一次不等式的能力．
（1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）依据题意，由 知 ，据此得出 ，再结合 可得出关于 、
的方程组，解之即可求出 、 的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式 ，
从如图的数轴上看：小于 或大于2的数的绝对值大于2，
所以 的解集为 或 ．
根据绝对值的定义得： 或 ；
（2）解：由题意，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
解集为 ，
，
．
题型三 列一元一次不等式
1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）“ 与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列不等式，先根据题意找出数量关系，再用不等式表示出来，关键在于理解“非负
数”的含义，即大于等于0，然后根据“x与3的差的2倍”这一描述列出不等式．
【详解】解：x与3的差可表示为： ，
x与3的差的2倍可表示为： ，
∵式子是非负数，
∴ ，
故选：C．
2．（25-26八年级上·四川成都·月考）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成
B．x与2的和是非负数，可表示成
C．m与4的差不多于3，可表示成
D．x不大于3，可表示成
【答案】C
【分析】本题主要考查了列不等式，不是负数，则该数大于或等于0，非负数即为大于或等于0的数，不
多于，即小于或等于，不大于，即小于或等于，据此列出对应选项中的不等式即可得到答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、a不是负数，可表示成 ，原式错误，不符合题意；
B、x与2的和是非负数，可表示成 ，原式错误，不符合题意；
C、m与4的差不多于3，可表示成 ，原式正确，符合题意；
D、x不大于3，可表示成 ，原式错误，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为
避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等
式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等
式是解题的关键．
根据题意，草莓有 损耗，实际销售量为 ，销售收入为 元，为避免亏本，
销售收入应不小于进货成本 元，即可列出关于 的一元一次不等式，此题得解．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：A．
4．（24-25八年级下·福建宁德·月考）白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，
某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价 进行售卖，设售出的数量为
，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查不等式的应用，解题的关键是理解题意；根据总销售额等于单价乘以数量，单价为
进价提价 后的价格，即 元/罐，总销售额需多于12万元（120000元），由此列不等式即
可．
【详解】解：由题意可列不等式为 ；
故选C．
5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活
动，某班的任务是平整土地 ，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操
作不熟练，只平整了 ．若设他们在剩余时间内每小时平整土地 ，则根据题意可列不等式为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出不等式．
设他们在剩余时间内每小时平整土地 ，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小
时，由于操作不熟练，只平整了 得剩余时间内平整的土地为： ，根据题意得，
．
【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地 ，
∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了 ，
∴剩余时间内平整的土地为：
根据题意得， ，
故选：C．
6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）根据数量关系“ 的一半与1的差不大于 ”，可列不等式
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学科网（北京）股份有限公司．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据关键词得到相应的运算顺序．
关系式为： 的一半减去 不大于 ，据此列不等式．
【详解】解：根据题意，“ 的一半与 的差”表示为 ，
“不大于 ”即 ，
∴可列不等式 ．
故答案为： ．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明家距新华书店 ．他于星期日上午 从家里出发，骑车前
往书店购书，先以 的速度行驶了 后，又以 的速度继续行驶，结果在 之前赶到了书
店．请列出相应的不等式．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据实际情况，抓住关键词语，弄清不等关系是
解题的关键；
由题意可知， 到 之间为半个小时，即 ，所以根据时间小于半小时来写出不等式即可．
【详解】解：因为小明在 之前赶到了书店，
所以小明到书店的时间为小于半个小时，即小于 ，
由题意得 ．
题型四 用一元一次不等式解决实际问题
1．（25-26九年级上·重庆·月考）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯，
有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，已知进货4盒甲种月饼，3盒乙种月饼，花费145
元，进货3盒甲种月饼，4盒乙种月饼，花费135元．
(1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少?
(2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙
种月饼按计划按时卖完，甲种月饼卖了 后，发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但
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学科网（北京）股份有限公司直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不
少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒?
【答案】(1)甲种月饼的进货单价为25元/盒，乙种月饼的进货单价为15元/盒
(2)甲种月饼至少购进68盒
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立方
程组或不等式求解．
（1）设甲种月饼的进货单价为a元/盒，乙种月饼的进货单价为b元/盒，根据题意列出二元一次方程组求
解即可；
（2）设甲种月饼需要购进 盒，则乙种月饼购进 盒，列一元一次不等式求出 ，根据
为整数，求出m的最小值即可．
【详解】（1）解：设甲种月饼的进货单价为a元/盒，乙种月饼的进货单价为b元/盒，
根据题意： ，
解得 ，
答：甲种月饼的进货单价为25元/盒，乙种月饼的进货单价为15元/盒；
（2）解：设甲种月饼需要购进 盒，则乙种月饼购进 盒，
由题意可得：
，
解得： ，
为整数，
；
答：甲种月饼至少购进68盒．
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲、乙两型自行车进
货价格分别为每台500元和800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利600元，销售1
台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利550元．
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学科网（北京）股份有限公司(1)该公司销售一台甲型、十台乙型自行车的利润各是多少元？
(2)该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，则购进甲、乙各多少台时
才能使得利润最大？最大利润为多少元？
(3)为测试自行车的性能，小明和小华两人同时从相距45千米的 地前往 地，小明骑电动车，小华骑自
行车，小明到达 地停留半个小时后返回 地，如图是他们离 地的距离 （千米）与时间 （小时）之
间的函数图象，请直接写出多长时间他们相距15千米？
【答案】(1)甲型自行车单台利润100元，十台乙型自行车利润150元
(2)购进甲、乙各10台时利润最大，最大利润2500元
(3)他们相距15千米的时间为 小时或 小时或 小时．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识点是
解题的关键．
（1）设销售一台甲型自行车利润为x元，一台乙型自行车利润为y元，依题意，列出二元一次方程组，求
解即可；
（2）设购进甲型自行车m台，则乙型自行车为 台，依题意，列出 ，解
得 ，继而求出总利润 ，推导出当 时，W最大，求解即可；
（3）分类讨论：①小明前往B地 ，②小明停留B地 ，③小明返回A地 ，
逐个分析求解即可．
【详解】（1）解：设销售一台甲型自行车利润为x元，一台乙型自行车利润为y元，依题意，得
解得 ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司答：甲型自行车单台利润100元，十台乙型自行车利润150元．
（2）解：设购进甲型自行车m台，则乙型自行车为 台，依题意，得
，
解得 ，
总利润 ，
∵ ，
∴W随m的增大而减小，
则当 时，W最大， （元），
此时 ．
答：购进甲、乙各10台时利润最大，最大利润2500元．
（3）解：小明骑电动车：1小时行驶45千米，速度为 ；到达B地停留 小时，即 时，距
离A地45千米； 小时后开始返回，3小时回到A地，返回速度 ．
小华：3小时行驶45千米，速度 ，其距离函数为 ．
前往B地 ： ，
停留B地 ： ，
返回A地 ： ，
①小明前往B地
，
解得 ；
②小明停留B地
，
解得 （超出该区间，舍去）．
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学科网（北京）股份有限公司③小明返回A地
，
即 ：
或 ，
解得 或 ．
答：他们相距15千米的时间为 小时或 小时或 小时．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学购进甲、乙两类图书若干套．已知1套甲类图书比1套乙类
图书的进价高30元，买3套甲类图书和2套乙类图书一共需要540元．
(1)甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？
(2)根据实际需要，学校决定购买甲、乙两类图书共100套，其中甲类图书的数量不少于乙类图书的 ，且
甲类图书购买的数量不超过45套．共有几种购买方案？
(3)若购买甲类图书 套，学校购买这批图书的总费用为 元，在（2）的条件下，哪种方案的 最小？求出
的最小值．
【答案】(1)甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元．
(2)共有6种购买方案
(3)购买甲类图书 套，乙类图书 套时， 最小，最小值为 元．
【分析】（1）设甲类图书 元每套，由“ 套甲类图书比 套乙类图书的进价高 元”可知乙类图书为
元每套，再根据“买 套甲类图书和 套乙类图书一共需要 元”列出方程，即可解答
（2）设甲类图书购买了 套，则乙类图书购买了 套，根据甲类图书购买的数量不少于乙类图书数
量的 ，且甲类图书购买的数量不超过 套，列出不等式，求出 的取值范围，由 为正整数，即可解答；
（3）由（2）表示出总费用 ，利用一次函数的性质，即可确定 的取值，即可确定最
小值．
【详解】（1）解：设甲类图书每套进价为 元，则乙类图书每套进价为 元．
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学科网（北京）股份有限公司依题意，得 ，
解得 ，
则 （元）．
故甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元．
（2）解：设甲类图书购买了 套，则乙类图书购买了 套．
由题意，得 ，
解得 ，
∵
，
可取40，41，42，43，44，45，
共有6种购买方案．
（3）解：由（2）可知 ，
化简，得 ．
，
随 的增大而增大，
当 时， 取最小值，最小值为 ．
即购买甲类图书 套，乙类图书 套时， 最小，最小值为 元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是
根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式，应用一次函数的性质解决问题．
4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只 元，茶杯每只 元，商店有两
种优惠方法：
（1）买一只茶壶送一只茶杯；
（2）按总价的 付款．
现有一顾客需购买 只茶壶， 只（不少于 只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少需要
购买多少只茶杯？
【答案】至少需要购买35只茶杯
【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意列不等式，求最小整数解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据题意得 ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ 的最小值为35，
∴至少需要购买35只茶杯．
5．（25-26七年级上·山东日照·月考）某商品的进价是 元，售价是 元，由于销售情况不好，商店
决定降价出售，但又要保证利润率不低于 ，那么商店最多可打几折出售此商品？
【答案】
商店最多打 折出售此商品
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的
量的等量关系．设商店最多可打 折出售此商品，根据利润率不低于 列出不等式，求解即可．
【详解】解：设商店最多可打 折出售此商品，
根据题意得，
解得 ．
答：商店最多可打 折出售此商品．
6．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题：
截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将
持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度
是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成．
(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？
(2)该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每
天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程
队挖掘天数均为正整数）
【答案】(1)甲工程队每天挖掘 米，乙工程队每天挖掘 米
(2)施工方案有两种：①甲队施工 天，乙队施工 天；②甲队施工 天，乙队施工3天
【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道 米，根据题意，得
解得：
∴
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学科网（北京）股份有限公司答：甲工程队每天可挖掘隧道36米，乙工程队每天可挖掘隧道24米．
（2）解：设乙队施工天数为 天，
隧道总长720米，甲队施工 天，挖掘 米，剩余隧道长度 米，
∴乙队施工天数 ，
∵ 、 为正整数，
∴ 为偶数， ，
∴ ，
依题意得： ，即
解得： ，
又∵ ，
∴ 可取 ，
当 时，乙队施工天数为 ，
当 时，乙队施工天数为 ，
答：施工方案有两种：方案①甲队施工16天，乙队施工6天；方案②甲队施工18天，乙队施工3天．
7．（25-26七年级上·重庆·期末）某商店5月1日举行促销活动，当天到该店购买商品有两种优惠方案：
方案 ：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律打八折．
方案①：若不购买会员卡，则购买商店内任意商品，一律打九五折．
已知②小芳5月1日前不是该商店的会员．
(1)若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元，她购买这件商品优惠了多少元？
(2)请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案 更合算？
【答案】(1)她购买这件商品优惠了20元 ①
(2)当购买商品超过1120元时，采用方案 更合算
【分析】本题主要考查一元一次不等式的①应用，关键是根据两种方案的优惠政策，计算所需钱数．
（1）依据题意，用花的钱数除以 （九五折），求原价，再乘 ，进而可以得解；
（2）依据题意，设当购买商品超过x元时，采用方案①更合算，再利用两种方案的优惠政策列出不等式求
解即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，根据方案②，购买商店内任意商品，一律打九五折，
34 / 50
学科网（北京）股份有限公司∴
（元）
答：她购买这件商品优惠了20元．
（2）解：设当购买商品超过x元时，采用方案①更合算，
∴ ．
∴ ．
答：当购买商品超过1120元时，采用方案①更合算．
题型五 用一元一次不等式解决几何问题
1．（24-25七年级下·河北·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示
和 ，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得 ，解一元一次不等式
即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键．
【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示 和 ，且点A在点B左侧，
∴ ，
解得： ，
∴x的值可以是 ，
故选：A．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数
是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意，得 ，结合三角形三边数量关系得
，转化为不等式，求正整数解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握性质是解
题的关键．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，
根据题意，得 ，
由三角形三边数量关系得 ，
故 ，
故 ，
解得 ，又y是整数，
故 ，
又 ，
故 ，
故 或 ，
都满足三角形三边关系定理，
故有2个等腰三角形．
故选：C．
3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为 ，
设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少 （用含x的代数式表示）．
【答案】平行于墙的一边长为 ，且 ．
【分析】本题主要考查了用代数式表示，
用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案．
【详解】解：平行于墙的一边长为 ，且 ，
解得 ，
所以平行于墙的一边长为 ，且 ．
4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点 ， ， 表示的数分
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学科网（北京）股份有限公司别为 ， ， ， 是 的中点，机器人 （看成点）从点 出发，以 个单位长度 秒的速度沿数
轴正方向运动，当机器人 到达点 时，机器人 （看成点）同时从点 出发，以 个单位长度 秒的
速度沿数轴正方向运动．设机器人 的运动时间为 秒．
(1) 的长为______个单位长度，x的值为______；
(2)当 时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时
长；
【答案】(1)8，6
(2)点 表示的数是
(3)机器人 变成彩色的总时长为8秒
【分析】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
（1）根据数轴的性质可得 ，再根据线段中点的定义可得 ，然后根据数轴
的性质可得 ，由此即可得；
（2）先判断出点 只能在点 的右侧，再根据线段和差可得 ，然后根据数轴的性质求解即可得；
（3）先确定 ，求出点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，再分三种情况：① ，
② 和③ ，根据 建立不等式求解即可得．
【详解】（1）解：∵数轴上点 表示的数分别为 ， ，
∴ ．
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵点 表示的数为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
（2）解：∵ ， ，且点 在点 的右侧，
∴点 只能在点 的右侧，位置如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵点 表示的数为 ，且点 在点 的右侧，
∴点 表示的数是 ．
（3）解：∵点 表示的数分别为 ，
∴ ，
由题意得：点 从点 运动到点 所需时间为 秒，
∴当 时，点 在 上，点 在点 处，此时 ，即 ，
∴当机器人 之间的距离小于等于2个单位长度时， ，
∴当机器人 的运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
令 ，解得 ．
①当 时，点 在点 的左侧，未追上点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴此时 ；
②当 时，点 与点 重合， ，符合题意；
③当 时，点 在点 的右侧，超过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴此时 ；
综上，当机器人 之间的距离小于等于2个单位长度时， ，
∵当机器人 之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人 变成彩色，
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学科网（北京）股份有限公司∴机器人 变成彩色的总时长为 （秒），
答：机器人 变成彩色的总时长为8秒．
5．（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图1，边长为 的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，
这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为 ．
(1)这个纸盒的底面积是______ ，高是______ ；（用含有a，x的代数式表示）
(2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算： ______， ______；（表中
的其余空格不用填）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
纸盒
容积 m n
(3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，
则该长方形盖子的两边长分别是______ ，______ ；（用含有a，y的代数式表示）
(4)某工厂计划用 张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个
纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁
法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一
种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作
该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
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学科网（北京）股份有限公司(4)见解析
【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可；
（2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把 ， 代入进行计算即可；
（3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答．
（4）根据侧面数 第一种方法 第二种方法 第三种方法，底面数 第二种方法 第三种方
法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可．
【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是 ，高是 ，
故答案为： ， ；
（2）由题意得：
当 时，纸盒的容积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ；
（3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是 ， ，
故答案为： ， ；
（4）由题意得：可以裁出的侧面： 个．
可以裁出的底面： 个．
∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴当 时，
∴可以裁出的侧面有 （个），
可以裁出的底面有 （个），
∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，
∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱 个．
【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式
加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
6．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，在 中， ， ， ． 为 的
中点，动点 从 点出发，先以 的速度沿 运动，到达点 后再以 的速度沿 向终点
运动．设点 的运动时间为 ， 的面积为 ．
(1)当 ______时，点 运动到点 ；
(2)当点 在 边上运动时， 的长度为多少厘米．（用含 的代数式表示）；
(3)在点 的运动过程中，请用含 的代数式表示 ；
(4)当 时，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 的取值范围为 或 或
【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键．
（1）根据时间等于路程除以速度求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求出 ，分点 在 上运动和点 在 上运动两种情况，分别列式即可；
（3）分点 在 上，点 在 上，点 在 上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可；
（4）分 ， ， 三种情况讨论，分别根据 列不等式，求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，以 的速度沿 运动，
∴点 运动到点 的时间为 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴点 运动到点 的时间为 ，
点 运动到点 的时间为 ，
∴当点 在 上运动时， ，
当点 在 上运动时， ，
综上， ；
（3）解：当点 在 上时，即 ，
根据题意，得 ；
当点 在 上时，即 ，
根据题意，得 ，
当点 在 上时，即 ，
根据题意，得 ，
∴ ；
（4）解：当 时，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意，得 ，
解得 ；
当 时，
根据题意，得 ，
解得 ；
当 时，
根据题意，得 ，
解得 ；
综上， 的取值范围为 或 或 ．
题型一 一元一次不等式综合
1．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）我们把 （ 为实数）叫做取整函数，也称之为高斯
（Gaussian）函数， 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，以下说法
正确的是（ ）
A．对于任意的实数 ，都有
B．对于任意的实数 ， ，若 ，则
C．满足不等式 的所有实数 的范围为 或
D．
【答案】BCD
【分析】本题主要考查了新定义、无理数估算、解一元一次不等式、数字规律等知识点，掌握新定义以及
运用反例法是解题的关键．
运用反例法可以判断A选项；根据新定义以及不等式的性质可判断B选项；设 （k为整数），不等
式化为 ，即 ．再结合 分类讨论即可判断C选项；根据新定义以及数
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学科网（北京）股份有限公司字规律进行计算可判断D选项．
【详解】解：A．当 时， ， ，则 ，故A选项
错误，不符合题意；
B． 若 ，则 ， ，两式相减得 ，因此 ，故B选项正
确，符合题意；
C．设 （k为整数），不等式化为 ，即 ．
结合 ，
当 时， ，代入得 ，故 ；
当 时， ，代入得 ，故 ；
当 时： ，代入得 ，故 ；
当 时： ，代入得 ，故 ；
当 或 时，不等式不成立．
综上，x的范围是 或 ，故 C正确，符合题意；
D．由题意可得： ， ，
，
……
，
∴
，即D选项正确，符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：BCD．
2．（25-26八年级上·北京西城·月考）在平面直角坐标系 中，过点 作直线 轴，图形 关
于直线 的对称图形为 ，图形 上任一点到 轴， 轴的距离的最大值是 ，称 是图形 关于直线
的 倍镜像“接收距离”．
已知点 ， ．
(1)①线段 关于直线 的1倍镜像“接收距离”是________；
②线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”是3， 的取值范围是________；
(2)点 ， 关于直线 的 倍镜像“接收距离”的最小值是________；
(3)点 ， ，线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”小于线段 关于直线 的 倍
镜像“接收距离”，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3)
【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数
形结合．
（1）①求出 、 关于直线 的 倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断；
②表示出 、 关于直线 的 倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果；
（2）可推出 、 关于直线 的 倍镜像 、 的距离之差也是 ，从而得出 关于直线 的 倍镜
像“接收距离”的最小值；
（3）表示出 、 、 、 于直线 的 倍镜像的对应点坐标， 关于直线 的 倍镜像的线段是 ，
根据当点 ， ，线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”等于线段 关于直线 的
倍镜像“接收距离”时，得出 ，从而求得临界 的值，进而得出结果．
【详解】（1）解：①设线段 关于直线 的 倍镜像的线段为 ，
∵ 倍镜像即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴直线 即为直线 ，
点 ， 关于直线 的对称点为 ， ，
到 轴最大距离为 ，到 轴最大距离为 ，
故线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”为 ；
②点 ， 关于直线 的对称点为 ， ，
∵线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”是3，
∴ ，得 ，
解得 ，
故答案为：① ；② ．
（2）解：如下图：
∵ ， ， ，
∵ 、 距离 轴的距离之差是 ，
∴ 、 关于直线 的 倍镜像 、 的距离之差也是 ，
∴ ， 关于直线 的m倍镜像“接收距离”的最小值是4，
故答案为： ．
（3）解：如图：
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学科网（北京）股份有限公司点 ， 关于直线 的对称点为 ， ，
点 ， 关于直线 的对称点为 ， ，
当点 ， ，线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”等于线段 关于直线 的 倍
镜像“接收距离”时，
，
解得 ，
当点 ， ，线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”小于线段 关于直线 的 倍
镜像“接收距离”时，
∴ ．
3．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式
可以配成完全平方式 ，因为 具有非负性，所以 ，这样的非负性
有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用 ， 代替x，y可得：
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴ ，
当且仅当 时，等号成立．
因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值．
例：当 时， ，当且仅当 ，即 时， 有最小值为2．
阅读材料二：对于一个关于x的方程 ，我们也可以通过配方的方式把它变形为
，从而解出该方程的解为 ．
例：若 ，则变形为 ，
∴该方程的解为 ，
化简后得： ．
请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题：
(1)若 ，当 _______时，式子 的最大值为_______．
(2)若 ，求出 的最小值及对应的x的值．
(3)已知关于 的代数式 ，求M的最小值及此时a和x的值．
【答案】(1)3，
(2) ，
(3) ， ，
【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值．
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学科网（北京）股份有限公司（1）先将式子变形为 ，由于 ，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和 ，有
，计算 的值，进而得到 的最小值，再根据 求出最大值，同时确定等
号成立时x的值；
（2）先将式子变形为 ，由于 ，根据完全平方式的非负性，对于正实数 和
，有 ，计算 的值，进而得到 的最小
值，再根据 求出最小值，同时确定等号成立时x的值；
（3）先对M进行变形，将分子 凑成含有 的形式，由于 ，根据完全平方式
的非负性，对于正实数 ，有 ，计算
的值，进而得到 的最小值，再根据 求出最小值，当
且仅当 ， ，且 ，此时确定等号成立时x的值．
【详解】（1）解：由题意知， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：3， ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）解： ，
当且仅当 ，即 ，解得 ，
∵ ，
∴ 时， 的最小值为 ．
（3）解：
,
当 时， ．
当且仅当 ， ，且 ，
∴ ， ．
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