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微专题 04 一元一次不等式与一次函数的综合应
用
题型 1 利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集
给出一次函数的图象（或与坐标轴的交点），要求解关于x的不等式（如 、 ）：
从图象中读取函数与x轴的交点横坐标（记为 ）；
根据函数的增减性（ 时递增， 时递减），确定解集：
(1) 若 ，则 的解集为 ， 的解集为 ；
(2) 若 ，则 的解集为 ， 的解集为 。
1．（25-26八年级下·全国·期末）关于一次函数 下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．y随x的增大而减小 D．当 时，2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，点 在直线 上，则当 时， 的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知一次函数 的图象如图所示，则当 时， 的
取值范围是______．
4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
那么不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知一次函数 ．
(1)若该函数图象经过原点，求m的值；
(2)在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
(3)若 ，当 时，直接写出x的取值范围．6．（24-25八年级上·山东济南·期中）（1）画出一次函数 的图像；
（2）根据图像回答下列问题：
①写出图象与x轴的交点坐标为_______，与y轴的交点坐标为_______；
②根据图像回答：当x_______时， ．
③与直线 平行，且过 的直线解析式______．
x
y
x 0 1
y 3 1
题型 2 由两直线的交点求不等式的解集
给出两条直线的交点坐标，要求解关于x的不等式：
两直线的交点坐标是方程组 的解；
不等式 的解集是直线 在直线 上方的部分对应的x取值范围；
不等式 的解集是直线 在直线 下方的部分对应的x取值范围。
1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）一次函数 与 的图象如图所示，下列结论中正确的
有（ ）① ；②函数 的图象经过一、三、四象限；③ ；④当 时， ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图， 和 的图象相交于 ，则不等式
的解集为______．
3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图一次函数 经过点 ，与 轴交于点B，与正比例
函数 交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．P为 的中点
C．方程 的解是 D．当 时，4．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）一次函数 （ 为常数，且 ）．
(1)若点 在一次函数 的图象上，求 的值；
(2)当 时，函数有最大值6，求出此时一次函数 的表达式；
(3)对于一次函数 ，若存在常数 对任意实数 都成立，求 的取值
范围．
5．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数 的图像与一次函数 的图像
交于点 ． 与x轴交于点D， 与x轴交于点A，且经过点 ．
(1)求m，k，b的值：
(2)根据图像，直接写出 的解集．
(3)在y轴上是否存在点P，使 的面积是 面积的 ？如果存在，求出点P的坐标；如果不存
在，请说明理由．
6．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 相交于点
，与 轴分别交于点 和点 ，点 的横坐标为4．(1)若 ，则 的取值范围为_；
(2)求 的面积；
(3)已知 是线段 上的一点，过点 作直线 轴，交直线 于点 ；过点 作 轴，
交 轴于点 ，连接 ．是否存在点 ，使 的两条直角边之比为 ？若存在，请求出满
足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型 3 根据不等式的解集求交点
给出关于x的不等式的解集，要求求两条直线的交点坐标或直线与坐标轴的交点：
将不等式解集转化为方程；
代入方程求出参数；
根据其他条件（如函数过某点）求出剩余参数，进而得到交点坐标。
1．（23-24八年级下·广东佛山·月考）已知关于 的不等式 的解集是 ，则直线
与 轴的交点坐标是___________．
2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，直线 与直线 交于点 ，
B为直线 与x轴的交点，关于x的不等式 的解集为 ．
(1) ______，点B的坐标为_____；
(2)求直线 的函数表达式．3．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点C，且点
，点 ．不等式 的解集是 ．
(1)求点C的坐标；
(2)求 与x轴的交点B的坐标．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业） 的图象如图，利用图象回答下列问题：
(1)求不等式 的解集；
(2)已知点 ，点 在直线 上，直线 与 轴的交点为 ．若 的面积为 ，
求点 的坐标．
5．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数 和 的图象如图所示，它们的交点
是B，一次函数 的图象分别与 轴交于点A，与x轴交于点C，且 ，(1)根据图象可得，不等式 的解集是__________；
(2)若不等式 的解集是 ．
①求点B的坐标；
②直接写出不等式组 的解集是__________.
6．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数
的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式 的解集是函数 图象在 轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在 轴上方（或 轴
下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是
__________．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程 的解是_________；不
等式 的解是__________．
【拓展延伸】
（3）如图3，直线 和 相交于点 ，分别与 轴相交于点 和点 ．
①求点 ， 的坐标；②若点 是直线 上 轴右侧一动点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，
若 ，请求出 的取值范围．
题型 4 一元一次不等式组与一次函数的综合
给出一个一元一次不等式组，要求结合一次函数的图象求解集或整数解：
分别解出每个不等式的解集（或根据图象确定解集）；
在数轴上表示两个解集，找出它们的公共部分（交集）；
若要求整数解，在交集中找出所有整数。
1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）一次函数 与一次函数 的图象如图，
两函数图象的交点的横坐标为 ，且直线 与 轴交点的横坐标为 ，则不等式组
的解集是________．
2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，一次函数 的图象与一次函数 的图象交于
点 ，则关于x的不等式组 的解集为_________________．
3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数 与一次函数 的图象交于点，则关于x的不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数 （ 且 ）和一次函数
互为“逆反函数”，如 和 互为“逆反函数”．如图，一次函数 的图象 分
别交 轴、 轴于点A，B两点．
(1)请直接写出一次函数 的“逆反函数” 的解析式为______；点 在“逆反函
数” 的函数图象 上，则 的值是______；
(2)若一次函数 的图象 上一点 又是它的“逆反函数” 的函数图象 上的点，
求出点 坐标并写出不等式组 的解集．
5．（23-24八年级下·广东揭阳·月考）如图，已知一次函数 的图象与一次函数 的图
象交于点 ．(1)根据图象，填空：
① k=______；
② 不等式 的解集为______；
③ 不等式组 的解集为______；
(2)当 时，求一次函数 函数值y的取值范围．
6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上
点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上
点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式 （或 ） 的解
集，是函数 图象在 轴上方（或 轴下方）部分的点的横坐标的集合．
根据以上信息回答下列问题：
【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式
的解集是___________．
【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数 与正比例函数 的交点坐标为___________，不等式 的解集是___________．
【问题拓展】（3）如图3，一次函数 与一次函数 的图象相交于点 ，分
别与 轴相交于点 和点 ，点 是 轴上一动点．当点 横坐标取值范围为不等式组
的解集时，连接 ，求 长度的取值范围．
题型 5 根据函数图象求最值
给出多个一次函数的图象，要求求“y取各函数最小值”或“y取各函数最大值”时的最大值或最小值。
求出任意两条直线的交点坐标；
根据交点坐标划分区间，确定每个区间内的最小值或最大值函数；
计算每个区间内的最值，比较得到全局最值。
1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知过点 的直线 不经过第四象限．设
，则（ ）
A． 有最大值，最大值为6 B． 有最小值，最小值为6
C． 有最大值，最大值为 D． 有最小值，最小值为
2．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知 ， 为实数，且 ， ，则下列关于 的值的说
法正确的是（ ）
A．有最大值，且最大值为
B．有最小值，且最小值为
C．有最小值，且最小值为
D．有最大值，且最大值为3．（24-25八年级下·福建福州·月考）已知 ， 为实数，且 ， ，则下列关于 的值的说
法正确的是（ ）
A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为
C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为
4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）如果两个正数a，b，即 ，则有：
①
而 ②
③
所以
当 时， ；当 时， ；即：当且仅当 时取到等号．
我们把 叫做正数a，b的算术平均数；把 叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表
述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，
是解决最值问题的有力工具．下面举一例子：
例：已知 ，求 的最小值．
解：因为 ，所以 ，所以 ，当 ，即 时， 的最小值为4．
利用这个结论解决下列适合八年级学生的问题：
(1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______；
(2)已知x＞0，求 的最小值，以及此时x的值；
(3)用一段长为 的篱笆围成一个长方形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？
最大面积是多少？
5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式 的最小值．解： ，
的最小值是1
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)求代数式 的最小值____________；
(2)若代数式 有最小值是6，求k的值____________；
(3)判断代数式 有最大值还是有最小值，并求出该最值；
(4)已知a、b为任意值，试比较 与 的大小关系，并说明理由．
6．（24-25七年级上·福建漳州·期中）【阅读材料】课堂学习中，小明通过大量求绝对值实例：
， ， ， ， ， ， ，……，通过归纳总结，猜想当 取值不同
时，其绝对值满足下列规律：当 时， ；当 时， ；当 时， ，再根据绝
对值的意义验证该结论．
【理解应用】请你应用小明的思维方法和学过的数学知识，写出下列各小题的正确结论．
(1) 的最小值为_；当 可取任意有理数时， 的值不可能为_；（只需写出一个符合条件的值）
(2)当 _时， 可取最_值，最值为_；
(3)若 为正数，当 _时， 可取最_值，最值为_；
(4)有理数 中，若 ，则下列结论：① ，② ，③ ，④ ，
其中正确的结论是_（ 填写正确结论的序号）．
(5)当 的取值范围不同时（ ），代数式 ， ， 的大小情况也不同，请直接写出所有 ， ，
的大小情况和 的对应取值范围（用“ ”从小到大排列，不要求写理由）．题型 6 一元一次不等式（组）与函数的多结论问题
给出多个关于一次函数的结论，要求判断哪些结论正确。
根据函数解析式判断增减性（ 时递增， 时递减）；
根据截距判断图象与y轴的交点（ 交于正半轴， 交于负半轴）；
结合图象验证不等式的解集是否正确；
总结正确结论的数量。
1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数 和 的图象如图所示，有下列结论：
① ；
② ；
③ ， 是直线 上不重合的两点，则 ；
④ ．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象交y轴正半轴
于点A，下列结论：① 且 ；②一次函数 经过点 ；③方程
（其中 ）的解为 ；④若 时， ，则 ．其中正确的有______（填写序号
即可）．
3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数 与 的图象交于点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确的结论有________．
4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）一次函数 与 的图象如图所示，则以下结论：
① ；② ；③当 时， ；④关于x的方程 的解是 ．
其中正确的有______．
5．（25-26八年级下·全国·周测）一次函数 （ ， ， 是常数）与 （ ， 是
常数）的图象交于点 ．下列结论正确的有（ ）
①关于 ， 的方程组 的解是 ②一次函数 （ ）的图象上任意不同两
点 和 满足 ；③若 （ ），则 ；④若 ，且
，则当 时， ．
A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
6．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，一次函数 图象与y轴交于点A，一次函数
图象与x轴交于点 ，两函数图象交于点 ．(1)求一次函数 的表达式；
(2)计算四边形 的面积．
(3)下列说法正确的有______（填序号）；
①关于x的不等式 的解集是 ；②关于x的方程 的解是 ；
③关于x的不等式 的解集是 ．
题型 7 不等式（组）、方程（组）与函数的综合探究
结合不等式、方程（组）与一次函数，要求探究函数图象的性质（如对称性、单调性）或解决实际问题
（如求点的坐标、面积）：
求出函数的解析式（如通过交点坐标用待定系数法）；
画出函数的图象（标注关键点：与坐标轴的交点、两直线的交点）；
结合图象探究性质（如对称性）；
解决实际问题（如求三角形面积）。
1．（24-25九年级下·北京海淀·月考）在平面直角坐标系 中，一次函数 经过点 ， ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，求m的取值范
围．
2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数 与经过点 的一次函数
相交于点 ，点 的坐标为 ．(1)观察图象，当 时，自变量 的取值范围是______；
(2)点 为正比例函数 上一动点，作 轴交一次函数 于点 ，若 ，求点
的坐标．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数 恒过定点 ．
(1)若一次函数 还经过点 ，求 的表达式；
(2)若有另一个一次函数 ．
①点 和点 分别在一次函数 和 的图象上，求证： ；
②当 时， 都成立，求a的取值范围．
4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）约定：如果函数的图象经过点 ，我们就把此函数称作“
族函数”．比如：正比例函数 的图象经过点(1，2)，所以正比例函数 就是“ 族函数”．
已知一次函数 （ 为常数， ）
(1)已知一次函数 是 族函数，求 之间的关系．
(2)当 时，无论 取何值，一次函数 必为 族函数．若直线 平分 的
面积，其中点 的坐标分别为 ， ， ， 是否为定值？如果是，请求出该
定值；如果不是，请说明理由；(3)已知一次函数 和 都是“ 族函数”．当 时，一次函数
的函数值 满足 ，求 的取值范围．
5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数 （k，b为常数， ）在x轴下方的图象沿x
轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，
例如，如图1就是函数 的“V”形图象．
(1)请在图2中画出一次函数 的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x
的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若一次函数 的“V”形图象与x轴交于点A，与直线 相交于B，
C两点，求 的面积；
(3)一次函数 （k为常数）的“V”形图象经过 ， 两点，且 ，求k的取
值范围．
6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数 （其中 为常数，且
），则称函数 为一次函数 的伴随函数．
例如：一次函数 ，它的伴随函数为 ．【理解运用】（1）对于一次函数 ，写出它的伴随函数的表达式．
（2）为了研究函数 的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格：
．．． 0 1 2 ．．．
．．． _______ 2 0 ________ ．．．
①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数 的伴随函
数的图象：
②已知直线 与 的伴随函数的图象交于 两点（点 在点 的下方），点 在
轴上，当 的面积为10时，求 的值．
【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，连接 ，当一次
函数 的伴随函数的图象与线段 的交点有且只有1个时，直接写出 的取值范围：
___________．
